微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算(編輯修改稿)
2025-06-19 21:46 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 果我們能用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似地表示 一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù) ， 這樣將會(huì)帶來(lái)很大的方便 。 一般地說(shuō) ， 多項(xiàng)式函數(shù)是最簡(jiǎn)單的函數(shù) 。 那么 我們?cè)鯓影岩粋€(gè)函數(shù)近似地化為多項(xiàng)式函數(shù)呢 ? [定理 ] 設(shè) f(x)在 x＝ 0點(diǎn)及其附近有直到 n＋ 1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù) ， 那么 其中 Rn(x)＝ (ξ 在 0與 x之間 ) 上式稱為函數(shù) f(x)在 x＝ 0點(diǎn)附近關(guān)于 x的泰勒展 開(kāi)式簡(jiǎn)稱泰勒公式 。 式中的 Rn(x)叫做拉格朗日余項(xiàng) 。 )(! )0(!2 )0()0(39。)0()()(2 xRxnfxfxffxfnnn?????? ?1)1()!1()( ???nnxnf ? 當(dāng) x→ 0時(shí) ， 拉格朗日余項(xiàng) Rn(x)是關(guān)于 xn的高階無(wú) 窮小量 ， 可表示為 Rn(x)＝ O(xn)。 O(xn)稱為皮亞諾余項(xiàng) 。 這樣 ， 函數(shù) f(x)在 x＝ 0點(diǎn)附近的泰勒展開(kāi)式又表 示為： 一般地 ， 函數(shù) f(x)在 x＝ x0點(diǎn)附近泰勒展開(kāi)式為： )(! )0(!2 )0()0(39。)0()()(2 nnnxOxnfxfxffxf ?????? ?nnnxxOxxn xfxxxfxxxfxfxf )()(! )()(!2 )())((39。)()( 000)(200000 ?????????? ? 幾個(gè)初等函數(shù)的泰勒公式 例 求函數(shù) f(x)＝ ex在 x＝ 0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式 解： ∵ f39。(x)＝ f(x)＝ …＝ f(n)(x)＝ ex ∴f( 0)＝ f39。(0)＝ f(0)＝ …＝ f(n)(0)＝ 1 于是 ， ex在 x＝ 0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式為： 在上式中 ， 令 x＝ 1， 可得求 e的近似公式 )(!!212nnx xOnxxxe ?????? ?!1!2111ne ????? ?例 求函數(shù) f(x)＝ sinx在 x＝ 0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式 解： ∵ f39。(x)＝ cosx， f(x)＝ sinx， f39。(x)＝ cosx f(4)(x)＝ sinx， … ∴f( 0)＝ 0， f39。(0)＝ 1， f(0)＝ 0， f39。(x)＝－ 1 f(4)(0)＝ 0， … f(2n－ 1)(0)＝ (－ 1)n－ 1， f(2n)(0)＝ 0 于是 ， sinx在 x＝ 0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式為 ： )()!12()1(!5!3s i n 212153nnn xOnxxxxx ???????????
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