數(shù)值分析27常微分方程初值問題的數(shù)值方法(編輯修改稿)
2025-06-19 02:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 對(duì) y 滿足 Lipschitz條件 ,即存在 L0,使得 ),( hyxhQyy nnnn ??? 11 1( ) ( )pO h p? ? ( , , )nnQ x y h( , , ) ( , , )Q x y h Q x y h L y y? ? ?數(shù)值分析 數(shù)值分析 對(duì)一切 成立 ,則該方法收斂 ,且有 yy和 )( pn hOe ?由該定理可知整體截?cái)嗾`差總比局部截?cái)嗾`差低一階 對(duì)改進(jìn)的 Euler法 , ? ?)),(,(),(),( yxhfyhxfyxfhyxQ ???? 21于是有 1( , , ) ( , , ) ( , ) ( , )2( , ( , ) ) ( , ( , ) )Q x y h Q x y h f x y f x yf x h y h f x y f x h y h f x y? ? ? ?? ? ? ? ?設(shè) L為 f關(guān)于 y的 Lipschitz常數(shù) ,則由上式可得 ( , , ) ( , , ) ( 1 / 2 )Q x y h Q x y h L h y y? ? ? ?限定 h即可知 Q滿足 Lipschitz條件 ,故而改進(jìn)的 Euler法收斂 . 數(shù)值分析 數(shù)值分析 例： 考察初值問題 在區(qū)間 [0, ]上的解。 分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解。 ???????1)0()(30)(yxyxy 精確解 改進(jìn)歐拉法 歐拉隱式 歐拉顯式 節(jié)點(diǎn) xi xey 30?? ? ? ?101 ??101 ?10?1 ?10?2 ?10?2 ?10?3 ?10?4 ?101 ?101 ?101 ?10?2 ?10?3 ?10?4 ?10?6 ?10?7 3. 穩(wěn)定性 數(shù)值分析 數(shù)值分析 定義 若某算法在計(jì)算過程中任一步產(chǎn)生的誤差在以后的計(jì)算中都 逐步衰減 ， 則稱該算法是 絕對(duì)穩(wěn)定的 /*absolutely stable */。 一般分析時(shí)為簡(jiǎn)單起見，只考慮 試驗(yàn)方程 /* test equation */ yy ???常數(shù)，可以是復(fù)數(shù) 當(dāng)步長(zhǎng)取為 h 時(shí)，將某算法應(yīng)用于上式，并假設(shè)只在初值產(chǎn)生誤差 ，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該算法相對(duì)于 絕對(duì)穩(wěn)定 ， 的全體構(gòu)成 絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域 。我們稱 算法 A 比算法 B 穩(wěn)定 ，就是指 A 的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域比 B 的 大 。 000 yy ???h ? h ? h 數(shù)值分析 數(shù)值分析 例： 考察顯式歐拉法 110 ( 1 ) nn n ny y h y h y?? ? ? ? ??000 yy ??? 110( 1 ) nny h y?? ??11 1 1 0( 1 ) nn n ny y h ?? ? ?? ? ? ???由此可見，要保證初始誤差 ?0 以后逐步衰減， 必須滿足： hh ??1|1| ?? h0 1 2 Re Img 例： 考察隱式歐拉法 11n n ny y h y???? ?111nnyyh???? ?????11011nn h????? ???????可見絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域?yàn)椋? 1|1| ?? h2 1 0 Re Img 注： 一般來說，隱式歐拉法的絕對(duì)穩(wěn)定性比同階的顯式法的好。 數(shù)值分析 數(shù)值分析 1239。 ( )1139。 39。39。 39。 39。()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! !( ) ( , ) , ( ) ( , ) ( , ) ( ) , ,nppn n n n n nxyp T a y lor y xhhy y x y x h y x y x y xPy x f x y y x f x y f x y f x y???? ? ? ? ? ?? ? ?若用 階 多項(xiàng)式近似函數(shù) 有：其中 。但由于公式中各階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算復(fù)雜，不實(shí)用。第二節(jié) 高精度的單步法 在高精度的單步法中 ,應(yīng)用最廣泛的是 RungeKutta(龍格庫塔 )方法 一 、 RungeKutta法的基本思想（ 1） 數(shù)值分析 數(shù)值分析 39。 ( 0 )( 0 ) ( 0 )39。39。 ( 1 )( 1 ) ( 1 )39。39。 39。 ( 2 )( 2 ) ( 2 )( ) ( 1 )。 。 2 , 3 ,jjjjy f fffy f fxyffy f fxyffy f f jxy???????? ? ?????? ? ?????? ? ? ???一般地有數(shù)值分析 數(shù)值分析 1111 1 2121 ( , )11()22( , )(, )nnnnnnnnnnE u l e r E u l e ry y h KE u l e rK f x yy y h K KE u l e rK f x yK f x h y h K???????
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