數(shù)值分析27常微分方程初值問題的數(shù)值方法-wenkub
2023-05-25 02:19:43 本頁面
【正文】 Lipschitz條件 ,即存在 L0,使得 ),( hyxhQyy nnnn ??? 11 1( ) ( )pO h p? ? ( , , )nnQ x y h( , , ) ( , , )Q x y h Q x y h L y y? ? ?數(shù)值分析 數(shù)值分析 對(duì)一切 成立 ,則該方法收斂 ,且有 yy和 )( pn hOe ?由該定理可知整體截?cái)嗾`差總比局部截?cái)嗾`差低一階 對(duì)改進(jìn)的 Euler法 , ? ?)),(,(),(),( yxhfyhxfyxfhyxQ ???? 21于是有 1( , , ) ( , , ) ( , ) ( , )2( , ( , ) ) ( , ( , ) )Q x y h Q x y h f x y f x yf x h y h f x y f x h y h f x y? ? ? ?? ? ? ? ?設(shè) L為 f關(guān)于 y的 Lipschitz常數(shù) ,則由上式可得 ( , , ) ( , , ) ( 1 / 2 )Q x y h Q x y h L h y y? ? ? ?限定 h即可知 Q滿足 Lipschitz條件 ,故而改進(jìn)的 Euler法收斂 . 數(shù)值分析 數(shù)值分析 例： 考察初值問題 在區(qū)間 [0, ]上的解。 1?nx定義 若某算法的局部截?cái)嗾`差為 ， 則稱該算法有 p 階精度 。1( ) .2nn n nnnp n nnnc n ppn p chxy y h yyxy y h yyxy y h yyy y y????? ? ??? ? ????? ? ????? ???取 步 長(zhǎng) ，尤 拉 公 式 為 ： 改 進(jìn) 的 尤 拉 公 式 為 ：計(jì)解 ：算 結(jié) 果 略 。 39。 一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值，再 迭代 求解。39。 |||),(),(| 2121 yyLyxfyxf ???要計(jì)算出解函數(shù) y(x) 在一系列節(jié)點(diǎn) a = x0 x1… xn= b 處的近似值 ),. ..,1()( nixyyii ??節(jié)點(diǎn)間距 為步長(zhǎng)，通常采用 等距節(jié)點(diǎn) ，即取 hi = h (常數(shù) )。 )1,. ..,0(1 ???? ? nixxh iii第一節(jié) 求解初值問題數(shù)值方法的基本原理 數(shù)值解 (101) 一 、 初值問題的數(shù)值解 數(shù)值分析 數(shù)值分析 求解 (101)最基本的方法是 單步法 單步法 :從初值 開始 ,依次求出 ,后一步的值 只依靠前一步的 0y?, 21 yy 1ny ?ny典型的單步法是 Euler(歐拉 )方法 ,其計(jì)算格式是 : 1 ( , ) ( 0, 1 , 2, .. . )n n n ny y h f x y n? ? ? ?例 :求解常微分方程初值問題 ?????????1001)(39。 ?yhxhyxyhxyT a y l o rxhxynnnnn22????? 展開作在點(diǎn)將數(shù)值分析 數(shù)值分析 忽略高階項(xiàng) ,取近似值可得到 Euler公式 1 ( , ) ( 0, 1 , 2, .. . )n n n ny y h f x y n? ? ? ?3. 數(shù)值積分法區(qū)間 將 區(qū)間 積分 39。 三 、 Euler法的改進(jìn)及梯形公式 1 1 1( , ) ( 0 , 1 , 2 , .. . )n n n ny y h f x y n? ? ?? ? ?數(shù)值分析 數(shù)值分析 梯形公式 /* trapezoid formula */ — 顯、隱式兩種算法的 平均 n 1 n n n n 1 n 1hy y [ f ( x , y ) f ( x , y ) ] ( n 0 , 1 , 2 )2? ? ?? ? ? ? 中點(diǎn)歐拉公式 /* midpoint formula */ 中心差商近似導(dǎo)數(shù) hxyxyxy2)()()( 021???x0 x2 x1 ))(,(2)()( 1102 xyxfhxyxy ??n 1 n 1 n ny y 2 h f ( x , y ) n 1 , 2 ,??? ? ?改進(jìn)歐拉法 /* modified Euler’s method */ Step 1: 先用 顯式 歐拉公式作 預(yù)測(cè) ，算出 ) , ( n n n y x f h y ? ? 1 ? n y Step 2: 再將 代入 隱式 梯形公式的右邊作 校正 ，得到 1 ? n y )] , ( ) , ( [ 2 1 1 ? ? ? ? ? n n n n n x f y x f h y y 1 ? n y 數(shù)值分析 數(shù)值分析 ? ?n 1 n n n n 1 n n nhy y f ( x , y ) f x , y h f ( x , y ) ( n 0 , 1 , 2 )2?? ??? ? ? ? ???注： 此法亦稱為 預(yù)測(cè) 校正法 /* predictorcorrector method */。 2( 0 1 ) 。數(shù)值分析 數(shù)值分析 局部
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1