立體幾何9-4線面、面面平行的判定與性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-06-18 12:46 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 線 a、 b， a?α、 b?β、a∥ β、 b∥ α ? D．存在兩條異面直線 a、 b， a?α、 b?β、a∥ β、 b∥ α ? 解析： 在正方形 ABCD－ A1B1C1D1中，取ABCD為 α， ADD1A1為 β， B1C1為直線 a，可知 A錯(cuò)；如圖 (1)， α∩β＝ l， a?α， a∥ l，可知滿足 B的條件，故 B錯(cuò)；如圖 (2)， α∩β＝ l，a?α， b?β， a∥ l， b∥ l，滿足 a∥ β， b∥ α，故 C錯(cuò)；由面面平行的判定定理知 D正確． ? 答案： D ? [例 4] 用平行于四面體 ABCD一組對(duì)棱 AB、CD的平面截此四面體 (如圖 ) ? (1)求證：所得截面 MNPQ是平行四邊形； ? (2)如果 AB＝ CD＝ ：四邊形 MNPQ的周長(zhǎng)為定值； ? (3)如果 AB＝ a， CD＝ b， AB、 CD成 θ角．求四邊形 MNPQ面積的最大值，并確定此時(shí)點(diǎn) M的位置． ? 分析： (1)由 AB∥ 平面 MNPQ及線面平行的性質(zhì)定理得到四邊形一組對(duì)邊平行，由CD∥ 平面 MNPQ得到另一組對(duì)邊平行． ? (2)由平行得到比例關(guān)系，將四邊形 MNPQ的兩鄰邊的和用 AB(CD)表達(dá)出來(lái)． ? (3)利用正弦定理將四邊形面積用兩鄰邊表示，設(shè)四邊形一個(gè)頂點(diǎn) (如 M)到四面體的 M所在棱的端點(diǎn)的距離為 x(如 AM＝ x)，將面積表達(dá)為 x的函數(shù)求極值． ? 解析： (1)∵ AB∥ 平面 MNPQ. ? 平面 ABC∩平面 MNPQ＝ AB?平面ABC. ? ∴ 由線面平行的性質(zhì)定理知， ? AB∥ PQ∥ AB. ? ∴ 由平行公理可知 MN∥ PQ. ? 同理可得 MQ∥ NP. ? ∴ 截面四邊形 MNPQ為平行四邊形． ( 2) ∵ 由 ( 1) 可知 MN ∥ AB . ∴MNAB＝MCAC. 從而有AB － MNAB＝AC － MCAC＝AMAC. ? 又 ∵ AB＝ CD＝ a， ∴ MN＋ MQ＝ a. ? ∴ 平行四邊形 MNPQ的周長(zhǎng)為 ? 2(MN＋ MQ)＝ 2a定值． ? (3)設(shè) AC＝ c， AM＝ (1)得： 又 ∵ MQ ∥ CD ， ∴AMAC ＝MQCD . 從而有AB － MNAB ＝MQCD . MNa＝c － xc，MQb＝xc ∴ S? M N P Q＝ MN MQ sin θ ＝abc2 x ( c － x ) sin θ ≤abc2 ????????x ＋ ? c － x ?22 sin θ ＝14ab sin θ 此時(shí) x ＝c2，點(diǎn) M 處于 AC 中點(diǎn)． ? 如圖所示，平面四邊形 ABCD的四個(gè)頂點(diǎn) A、B、 C、 D均在平行四邊形 A′B′C′D′所確定的平面 α外，且 AA′、 BB′、 CC′、 DD′互相平行．求證：四邊形 ABCD是平行四邊形． ? 分析： 欲證四邊形 ABCD為平行四邊形，須證其兩組對(duì)邊分別平行，欲證 AD∥ BC，從圖中可見(jiàn) AD、 BC是平面 ABCD與平面AA′D′D和 BB′C′C的交線，故只須證平面AA′D′D∥ 平面 BB′C′∥ CD同樣可找到證明思路． ? 解析： ∵ 四邊形 A′B′C′D′是平行四邊形，∴ A′D′∥ B′C′.∵ AA′∥ BB′，且 AA′、 A′D′是平面 AA′D′D內(nèi)的兩條相交直線， BB′、 B′C′是平面 BB′C′C內(nèi)的兩條相交直線， ∴ 平面AA′D′D∥ 平面 BB′C′ ∵ AD、 BC分別是平面 ABCD與平面 AA′D′D、平面 BB′C′C的交線，故 AD∥ AB∥ CD.∴ 四邊形ABCD是平行四邊形 . ? [例 5] 如圖，四邊形 ABCD為矩形， AD⊥平面 ABE， AE＝ EB＝ BC＝ 2， F為 CE上的點(diǎn)，且 BF⊥ 平面 ACE. ? (1)求三棱錐 D－ AEC的體積； ? (2)設(shè) M在線段 AB上，且滿足 AM＝ 2MB，試在線段 CE上的確定一點(diǎn) N，使得 MN∥ 平面DAE. ? 解析： (1)∵ AD⊥ 平面 ABE， AD∥ BC， ? ∴ BC⊥ 平面 ABE，則 AE⊥ BC. ? ∵ BF⊥ 平面 ACE，則 AE⊥ BF， ? ∵ BC∩BF＝ B，且 BC、 BF?平面 BCE， ? ∴ AE⊥ 平面 BCE，又 BE?平面 BCE，∴ AE⊥ BE. ∴ AB ＝ AE2＋ BE2＝ 2 2 ， S △ A DC ＝12 AD DC ＝12 BC AB ＝12
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1