數(shù)值分析第6章線性代數(shù)方程組的直接法(編輯修改稿)
2025-06-14 01:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 111112111232221212111??????????????????????nnnnnbacbacbacbA11122211???????????????????????nkarbaydyarbcrbdybcrkkkkkkkkkkkk,3,2111111111??????????? 1,2,11 ?nnkxryxyxkkkknn167。 3 矩陣的 三角分解法 ? 高斯消元法的矩陣形式 每一步消去過程相當(dāng)于左乘初等下三角矩陣 Lk 11211 1 113111 1101 230 0 1L( ) ( )iin i , , , nll a all????????????????其 中( 2 ) ( 1 )( 2 ) ( 1 )11 , bbA L A L??記 ：222 2 22322210101 340 0 1L( ) ( )iini , , , nl a all???????????????( 3 ) ( 1 )( 3 ) ( 1 )2 1 2 1 , bbA L L A L L??記 ( 3 ) ( 2 )( 3 ) ( 2 )22 , bbA L A L??i1,1011L = 0101iinill???????????????11 2 111 2 1( n) ( )nn( n) ( )nn A L L L AbbL L L??????( 1 ) 1 1 1 ( ) ( )1 2 1 nnnA L L L A LA LU? ? ? ?? ? ?A 的 LU 分解 ( LU factorization ) 1i1,1011 0101iiniLll???????? ????????定理 2： （矩陣的三角分解）設(shè) A為 n ? n實(shí)矩陣，如果 求解 AX = b用順序高斯消去法能夠完成（即 ），則矩陣 A可分解 為單位下三角矩陣 L與上三角矩陣 U的乘積。 A = LU 且這種分解是唯一的。 nka kkk ,2,1,0)( ???注 ： （ 1） L 為單位下三角陣而 U 為 一般 上三角陣的分解稱為 Doolittle 分解 （ 2） L 為一般下三角陣而 U 為 單位 上三角陣的分解稱為 Crout 分解 。 ? Doolittle分解法 ： 通過比較法直接導(dǎo)出 L 和 U 的計(jì)算公式。 思路 ?????????????????????????????????????????nnnnnnnnuuullaaaa....... ... ..1. ... .....11. ............... ..1111211111??),m i n (1jikjkki ul?? jiaLU 分解求解線性方程組 L Y b , U X Y AX b? ? ? ? 11222131 321 2 ( 1)111 1nnn n n nybybLY bybllll l l ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???111 1 1 2 1 n222 2 2 nnnUXnnxyxyYxyu u uuuu?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???直接三角分解法解 AX = b的計(jì)算公式 niau ii ,2,111 ???niual ii ,2,11111 ???對于 r = 2, 3, …, n計(jì)算 （ 2） 計(jì)算 U的第 r行元素 ),1,( 11nrriulaurkkirkriri ????? ???（ 3） 計(jì)算 L的第 r 列元素 (r ? n) ),1()(11 nriuulalrrrkkrikirir ????????(1) ????????????),3,2(111niylbybykikikii ??????????????????????)1,2,1(1?niuxuyxuyxiiknikikiinnnn(4) (5) ( 14 , 18
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