高考數(shù)學(xué)橢圓性質(zhì)92條,含證明(編輯修改稿)
2025-05-23 12:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 橢圓（ a＞ b＞ 0）的右準(zhǔn)線與 x 軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于 A、 B 兩點 ,點在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線 AC經(jīng)過線段 EF 的中點 . 68． OA、 OB 是橢圓（ a＞ 0,b＞ 0）的兩條互相垂直的弦， O 為坐標(biāo)原點，則（ 1）直線AB 必經(jīng)過一個定點 .(2) 以 O A、 O B 為直徑 的兩圓的另一個交點 Q的軌跡方程是 . 69．是橢圓（ a＞ b＞ 0）上一個定點， P A、 P B 是互相垂直的弦，則（ 1）直線 AB 必經(jīng)過一個定點 .（ 2）以 P A、 P B 為直徑的兩圓的另一個交點 Q的軌跡方程是 (且 ). 70．如果一個橢圓短半軸長為 b，焦點 F F2 到直線的距離分別為 d d2，那么（ 1），且 F F 2 在 同側(cè)直線 L 和橢圓相切 .（ 2），且 F F2 在 L 同側(cè)直線 和橢圓相離，（ 3），或 F F2 在 L異側(cè)直線 L和橢圓相交 . 71． AB 是橢圓（ a＞ b＞ 0）的長軸，是橢圓上的動點，過的切線與過 A、 B 的切線交于、兩點，則梯形 ABDC 的對角線的交點 M 的軌跡方程是 . 72．設(shè)點為橢圓（ a＞ b＞ 0）的內(nèi)部一定點， AB 是橢圓過定點的任一弦，當(dāng)弦 AB 平行（或重合）于橢圓長軸所在直線時 .當(dāng)弦 AB 垂直于長軸所在直線時 , . 73．橢圓焦三角形中 ,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切 . 74．橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側(cè)的長軸端點 . 75．橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁 切圓的切線長為定值 a+c 與ac. 76．橢圓焦三角形的非焦頂點到其內(nèi)切圓的切線長為定值 ac. 77．橢圓焦三角形中 ,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù) e(離心率 ). (注 :在橢圓焦三角形中 ,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點 .) 78．橢圓焦三角形中 ,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比 e. 79．橢圓焦三角形中 ,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項 . 80．橢圓焦三角形中 ,橢圓中心到內(nèi)點的距離、內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、半焦 距及外點到同側(cè)焦點的距離成比例 . 81．橢圓焦三角形中 ,半焦距、外點與橢圓中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)焦點連線段成比例 . 82．橢圓焦三角形中 ,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線 ,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行 . 83．橢圓焦三角形中 ,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線 ,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的長 . 84．橢圓焦三角形中 ,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線 ,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長軸為直徑的圓的切點 . 85．橢圓焦三角形中 ,非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值 e. 86．橢圓焦三角形中 ,非焦頂點的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線 . 87．橢圓焦三角形中 ,非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線 . 88．橢圓焦三角形中 ,過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交 ,則以兩交點為直徑的圓必過兩焦點 . 89. 已知橢圓 (包括圓在內(nèi) )上有一點 ,過點分別作直線及的平行線，與軸于，與軸交于 .,為原點，則：（ 1）；（ 2） . 90. 過平面上的點作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于 .（ 1）若，則的軌跡方程是 .(2)若，則的軌跡方程是 . 91. 點為橢圓 (包括圓在內(nèi) )在第一象限的弧上任意一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，則： . 92. 點為第一象限內(nèi)一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，已知，則的軌跡方程是 . 橢圓性質(zhì) 92條證明 。 。 義。 4. 如圖，設(shè)，切線 PT（即）的斜率為 k，所在直線斜率為，所在直線斜率為。 4 圖 5 圖 由兩直線夾角公式得： 同理可證其它情況。故切線 PT 平分點 P處的外角。 ，延長 F1P 至 A，使 PA=PF2，則是等腰三角形， AF2 中點即為射影 H2。則，同理可得，所以射影 H1， H2 的軌跡是以長軸為直徑的圓除去兩端點。 P， Q 兩點到與焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離分別為，以 PQ 中點到準(zhǔn)線的距離為，以 PQ 為直徑的圓的半徑為 r，則，故以 PQ 為直徑的圓與對應(yīng)準(zhǔn)線相離。 7 圖 8 圖 ，兩圓圓心距為，故兩圓內(nèi)切。 ，由切線長定理：， 而，與重合，故旁切圓與 x 軸切于右頂點，同理可證 P 在其他位置情況。 9. 10. 在橢圓上，對求導(dǎo)得： 切線方程為即 ，由 10 得：，因為點在直線上，且同時滿足方程，所以 ： 12 可得： 14.
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