橢圓方程及性質應用(編輯修改稿)
2025-09-01 09:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2222220022xy1ab2x x 2y y1ab?????????????，【 變式訓練 】 直線 y=x+1被橢圓 所截得的弦的中點 坐標是 ( ) 【 解析 】 選 消去 y,得 3x2+4x2=0, 22xy 142??2 5 4 7A .( , ) B .( , )3 3 3 32 1 13 17C .( , ) D .( , )3 3 2 2? ? ?22y x 1,x 2 y 4???????設弦的兩端點坐標為 (x1,y1),(x2,y2), 中點坐標為 (x中 ， y中 )， 則 x1+x2= 所以 x中 = 從而 y中 =x中 +1= 所以中點坐標為 4,3?2.3?21133? ? ? ，21( , ).33?【 補償訓練 】 橢圓 x2+4y2=16被直線 截得的弦長為 ____________. 【 解析 】 由 消去 y并化簡得 x2+2x6=0. 設直線與橢圓的交點為 M(x1,y1),N(x2,y2), 則 x1+x2=2,x1x2=6. 所以弦長 = 答案： 1y x 12??22x 4y 16 ,1y x 1,2? ???? ????2 12M N 1 k | x x |? ? ?? ? ? ?21 2 1 255x x 4 x x 4 2 4 3 5 .44? ? ? ? ?［ ］35類型三 與橢圓有關的綜合問題 【 典例 3】 (1)橢圓 (a＞ b＞ 0)與直線 x+y=1交于 P， Q兩點，且 OP⊥OQ ，其中 O為坐標原點，則 =_______. 2222xy 1ab??2211ab?(2)(2022 成都高二檢測 )已知橢圓 (ab0)的離心 率為 短軸的一個端點到右焦點的距離為 直線 l: y=kx+m交橢圓于不同的兩點 A， B. ① 求橢圓的方程； ②若坐標原點 O到直線 l的距離為 求△ AOB面積的最大值 . 2222xy 1ab??6,3 3,3,2【 解題探究 】 (1)中一般將條件 OP⊥OQ 轉化為什么？ (2)中求△ AOB面積的最大值，關鍵是求什么？ 【 探究提示 】 OP⊥OQ ，一般轉化為向量 來處 理 . |AB|的最大值 . O P O Q 0?uur uuurg【 自主解答 】 (1)設 P(x1,y1)， Q(x2， y2)， 由 OP⊥OQ ? ?x1x2+y1y2=0. 因為 y1=1x1,y2=1x2,代入上式得： 2x1x2(x1+x2)+1=0 (*) 又將 y=1x代入 ?(a2+b2)x22a2x+a2(1b2)=0，因為 Δ ＞ 0，所以 x1+x2= x1x2= 代入 (*)化簡得 答案 ： 2 O P O Q 0?uur uuurg2222xy 1ab??2222aab? ，? ?2222a 1 bab?? ，2211 2.ab??(2)① 由 所以 b=1, 所以橢圓的方程為 : ② 由已知 所以 聯(lián)立 l:y=kx+m和 消去 y,整理可得： (1+3k2)x2+6kmx+3m23=0, 所以 Δ=(6km) 24(1+3k2)(3m23)0, c6 , a 3 ,a3?? c 2,?2 2x y 1.3 ??2m 3 ,21k ?? ? ?223m 1 k ,4??2 2x y 1,3 ??設 A(x1,y1),B(x2,y2), 則 所以 |AB|2=(1+k2)(x1x2)2= = = (k≠0), 21 2 1 2226 k m 3 m 3x x , x x ,1 3 k 1 3 k??? ? ???? ? ? ?? ?2 2 2221 2 1 k 3 k 1 m1 3 k? ? ??? ? ? ?? ?22 22 4223 k 1 9 k 1 12k39 k 6 k 11 3 k?? ?????22123419k 6k????當且僅當 時取等號， 驗證知 滿足題意， 顯然 k=0時， |AB|2=34. 所以 (S△ AOB)max= 3k3??3k3??1 3 32.2 2 2? ? ?【 方法技巧 】 解橢圓綜合問題的常用技巧 橢圓是圓錐曲線中重要的一種曲線，它可以同其他章節(jié)知識結合考查，如不等式、三角函數(shù)以及平面向量等 .解決這類問題時要注意方程思想、函數(shù)思想及轉化的思想，其中利用方程中根與系數(shù)的關系構造方程或函數(shù)是常用的技巧 . 【 變式訓練 】 (2022 安徽高考 )設 F1,F2分別是橢圓 E: (ab0)的左、右焦點 ,過點 F1的直線交橢圓 E于 A, B兩點 ,|AF1|=3|BF1|. (1)若 |AB|=4,△ ABF2的周長為 16,求 |AF2|. (2)若 cos∠AF 2B= ,求橢圓 E的離心率 . 2222xy 1ab??35【 解題指南 】 (1)利用橢圓的定義求解 . (2)設 |BF1|=k
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