橢圓方程及幾何性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-05-26 12:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 例 3： 設(shè) P是橢圓 在第一象限的點， A(2,0)、 B(0,1)， O為原點，求四邊形OAPB的面積的最大值 。 x y A O P B 練習(xí) （ 2022 全國卷 ）設(shè)橢圓 中心在坐標(biāo)原點，點 是 它的兩個頂點，直線 與 相交于點 ，與橢圓相交于 兩點。 （ Ⅰ ）若 ，求 的值； （ Ⅱ ）求四邊形 面積的最大值． 。 小結(jié)：橢圓中最值問題的求解策略： 總方針：建立目標(biāo)函數(shù)（或目標(biāo)不等式） 具體方法 ： （ 1）轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題。 （ 2）利用三角換元，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的最值問題。 （ 3）結(jié)合圓錐曲線的定義，利用圖形的幾何特征求最值。 （ 4）利用基本不等式放縮求最值。 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 (1)定義法； (2)待定系數(shù)法．若已知焦點的位置可惟一確定標(biāo)準(zhǔn)方程；若焦點位置不確定，可采用分類討論法來確定方程的形式，也可以直接設(shè)橢圓的方程為 Ax2＋ By2＝ 1，其中 A， B為不相等的正常數(shù)或由已知條件設(shè) 橢圓系 (如 ＝ λ， λ0)來求解，以 避免討論和繁瑣的計算． 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點三 x 2a 2＋y 2b 2 例 4 (2)由題意，可知直線 l的斜率存在，設(shè) 直線斜率為 k，則直線 l的方程為 y＝ k(x＋ 1)，則有 M(0， k)． 設(shè) Q(x1， y1)，由于 Q、 F、 M三點共 線，且根據(jù)題意得 (x1， y1－ k)＝ 177。 2(x1＋ 1， y1)， 據(jù)題意得 (x1， y1－ k)＝ 177。 2(x1＋ 1， y1)， 解得 k＝ 0， k＝ 177。 4， 所以直線 l的斜率為 0或 177。 4. 【 點評 】 求橢圓的方程，關(guān)鍵在于 尋找到能求 a2， b2的關(guān)系式或條件， 觀察圖形，由條件轉(zhuǎn)化是常用到的解 題辦法． 練習(xí) 1(09年廣東 )已知橢圓 G的中心在坐標(biāo)原點，長軸在 x軸上，離心率為 ，兩個焦點分別為 F1和 F2，橢圓 G上一點到 F1和 F2的距離之和為 Ck： x2＋ y2＋ 2kx－4y－ 21＝ 0(k∈ R)的圓心為點 Ak. (1)求橢圓 G的方程； (2)求△ AkF1F2的面積； (3)問是否存在圓 Ck包圍橢圓 G？請說明理由． 32 (3)∵ 橢圓 G與圓心 Ak所在直線 y＝ 2均關(guān)于 y軸對稱． ∴ 不妨考慮 k≥0的情形，此時，圓心 Ak(－ k,2)到橢圓 G的右頂點 N(6,0)的距離為 ∴ 點 N(6,0)總在圓外；若 k0， 由 (－ 6)2＋ 0－ 12k－ 0－ 2＝ 15－ 12k0， 可知點
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