第11講子群(編輯修改稿)
2024-10-11 16:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 GH ?? ? )( . 由定理 1 中（ 2） Hb ?? ?1 ，再由（ 1）知 .1 Hab ?? )(? （往證（ 1）和（ 2）成立） Hx?? . 由條件知 Hxx ??1 ，即 Hl? ，那么 HblbHba ???? ?? 11, ，并且Hbaab ?? ?? 11 )( ，所以（ 1）和（ 2）都成立，由定理 1 GH?? 。 有限子群 的判定定理： 設(shè) GH??? ，且 ???||H ，那么 HbaGH ???? , 有 ab? . 證明： 必要性：顯然。 充分性：（ 1）條件表明 H 滿(mǎn)足封閉 . （ 2） G 中滿(mǎn)足結(jié)合律 H? 也滿(mǎn)足結(jié)合律 . （ 3）因?yàn)?G 中滿(mǎn)足消去律 H? 中也滿(mǎn)足消去律 . 由（ 1） 、（ 2）和（ 3） GH?? （注 H 是有限集） . 思考題 1： ? 每個(gè)群都有二個(gè)不同的平凡子群?jiǎn)幔? ? G 的二個(gè)子群 1H 和 2H 有可能會(huì) ??21 HH ? 嗎？ 為了加深印象，可從集合的角度對(duì)上述定 理進(jìn)行論述： 設(shè) BA, 是群 G 的兩個(gè)非空子群，那么定義： },|{ BbAaabAB ????? }|{ 11 AaaA ??? ?? 顯然 AB 和 1?A 都是 G 的非空子集，至此，可以重新定義子群： 結(jié)論 1：設(shè) GH??? ，那么 HHHGH ??? 且 HH ??1 結(jié)論 2：設(shè) GH??? ，那么 HHHGH ??? ?1 對(duì)于上述結(jié)論的證明是顯而易見(jiàn)的。 注意 ：結(jié)論 1 正是判定定理 1 的另一種表述； 結(jié)論 2 是判定定理 2 另一種表述。 思考題 2： 一個(gè)群 G 能表成它的兩個(gè)真子空間的并集嗎？ 答：不能。如果 GHGH ?? 21 , ，且 21 HHG ?? 。那么必有 21 HH ? 且 12 HH ? 。故第 4 頁(yè) 共 6 頁(yè) 存在， 11 Hh? 且 21 Hh? ， 22 Hh? 且 12 Hh? ， 而 21 HHG ?? 是群 Ghh ?? 21 ，即121 Hhh ? 或 221 Hhh ? ， 但 若 121112121 )( HhhhhHhh ???? ?矛 盾 。 同 理 ， 若212211221 )( HhhhhHhh ???? ?，矛盾。這表明 21 HHG ?? 是不可能的。 思考題 3： 一個(gè)群能否表成它的三、四個(gè)真子群的并集？ 例 2 設(shè) )}23)(14(),24)(13(),34)(12
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