第12講子群的陪集(編輯修改稿)
2024-10-11 16:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??1 ,于是 Hbhba ?? 即 Hba? . 由上述 (ⅰ )(ⅱ )和 (ⅲ )知 (1)成立 . 明示 4. 利用定理 1 和明示 3 可知下列命題必是等價的： HH b aHH a bHbHaHabHba ????????? ?? 11 HbaHab ???? ?? 11 明示 5. 利用定理 1 知 , 每個陪集中任一個元素都可以“擔任”該陪集的代表元 ,進而知 ,每個陪集一般其表示形式是不唯一的 . 定理 2. 設(shè) GH? ,設(shè) Gba ?, ,那么 (1) Haa? . (2) 對于陪集 Ha 和 Hb 而言 ,只有二種關(guān) 系： HbHa? 或 ??HbHa? (3) HaGGa?? ?. 證明： (1) GH?? aeaHe ??? 而 ., HaaHaeaa ???? 即 (2) 如果 ??HbHa? , ,HbHax ???? 由定理 1 HbHxHxHa ??? , , HbHa?? . (3) ? 每個陪集 Ha 都是 G 的子集 ? 這些陪集的并也是 G 的子集 , HaGGa??? ?.別外 , Gg?? 由 (1) Hgg?? . 但 Ha 是 G 的陪集 ,即 HaHgGa?? ?, HagGa??? ?.由 g 的任意性 HaGGa??? ?, 所以 HaGGa?? ?. 可以利用引例 2 對定理 2 作進一步的解釋： 設(shè) 3SH? ,其中 ? ?? ?? ?,12,1?H 用 3S 中全部 b 個元素做代表元 ,則變得 b 個陪集： ? ? ? ? ? ?? ?,12,11 ?H ? ? ? ? ? ?? ?1,1212 ?H . ? ? ? ? ? ?? ?123,1313 ?H ? ? ? ? ? ?? ?.132,2323 ?H ? ? ? ? ? ?? ?,13,1 2 31 2 3 ?H ? ? ? ? ? ?? ?.23,1 3 21 3 2 ?H 首先 ,從上全部陪集中看到：每個陪集的代表元都含在該陪集內(nèi) . 其次 ,上列中任二個陪集要么相等 ,要么不相交 . 最后 ,將上列不重復(fù)的全部陪集并起來后恰好等于 3S . 注意： HaGa??似乎表明全部陪集的并，然而由集合論的知識知道，只需取那些不重復(fù)的陪集作并即可， 例如， 3S 中全部的右陪集共6 有個，然而不重復(fù)的只有 3 個， 故 ? ? ? ?2313 HHHS ??? 。 三．群的陪集分解 由定理 1 知，“ Hab ??1 ”的真正含義是“ a 與 b 同在一個陪集之中”，那么將“同在一個陪集”看作是群的一個關(guān)系，這個關(guān)系有何性質(zhì)？ 定理 3 設(shè) GH? ,在 G 中定義關(guān)系“～” ： , Gba ?? a ～ b Hab ?? ?1 那么“～”必是個等價關(guān)系。 證明： (1) Ga?? . Heaa ???1? ?a～ a (2)若 a ～ b Hab ?? ?1 ,由明示 4? ,1 Hba ?? ? b ～ a . (3) 若 a ～ b 且 a ～ c ,則有 Hab ??1 且 Hbc ??1 . ? ? ?? ? HacbcabGH ???? ??? 111, 即 a ～ c . 由 (1),(2),(3)知關(guān)系“～”是中的一個等價關(guān)系 . 由第一章16
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