第12講子群的陪集-資料下載頁(yè)
2025-08-27 16:02本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】分類與集合上的等價(jià)關(guān)系——他們是互相兼容的兩個(gè)代數(shù)概念。進(jìn)而引出拉格朗日定理，得到了“每個(gè)子。集（元素）的階都是有限母群階的因子”這一重要結(jié)論。引例1對(duì)整數(shù)加群???,Z而言，取定模4，則可確定Z的一個(gè)分。其中Z中的4個(gè)剩余類分別為：。,Z的一個(gè)子集.而其余的剩余類??1就是用代表元1與??0中每個(gè)元素相加所成的剩余。同上例一樣可以發(fā)現(xiàn)：。中只有H是3S的子群，而MK,都不是3S的子群。的討論中,都是在乘群上展開(kāi)的).是一個(gè)單元集,而設(shè)???.此時(shí)我們記XY為Xy,并稱Xy為元素y右乘X的積.在什么條件下才會(huì)發(fā)生呢?,那么代表著二個(gè)集合相等而千萬(wàn)不能記為。,由陪集的含義可知,必存在Hh?由上述(ⅰ)(ⅱ)和(ⅲ)知成立.
【正文】 ?.0?H ? ? 4: ?? HZ 在引例 2 中 ,令 ? ?? ?? ?,12,1?H ? ? 3:3 ?? HS . 明示 7 由上可知 ,當(dāng) 8, ??? ?? HG 時(shí) ,則 ? ? ???HG: . 當(dāng) ?????? HG 且 時(shí) , ? ?HG: 也可以是有限的 . 思考題 2 ① 在定理 4 的證明中 ,若 ? ? aHHa ?? 設(shè)時(shí) ,能完成定 理的證明嗎 ? ② 若 G 是無(wú)限的 ,而子群 H 是有限的 , ? ?HG: 會(huì)是怎樣 ? 五、 Lagrange 定理 引理 設(shè) GH? ,那么 H 與 H 的任一個(gè)右陪集 H a 之間都存在雙射 . 證明 : 設(shè) HaH ?:? ,其中 ? ? .hah ?? Hh?? . (ⅰ ) Hh?? ,作為 h 在 ? 下的象 ha 是唯一確定的 , ?? 是映射 . (ⅱ ) .Haha?? ,則顯然 ha 有原象 h , ?? 是滿射 . (ⅲ ) 設(shè) ? ? ? ? ahhahh 2211 , ?? ?? , 如果 ,21 ahah ? 則 必有 (群的消去 律 ) ?? 必是單射 . 由 (ⅰ ),(ⅱ )和 (ⅲ )知 ? 是雙射 . 由上引理可知 ,子群的互不相等的陪集不相交而且彼此都含有相同數(shù)目的元素 . 定理 5 (Lagrange 定理 ) 設(shè) GH? ,如果 nHNG ?? , ,且慢? ?HG: j? ,那么 .njN? 證明 : ?? ?HG: j? ,這表明 H 在 G 中的右陪集只有 j 個(gè) ,從而有 G的右陪集分解 : jHaHaHaHaG ???? 321? （其中 HHa?1 ） 由引理知 , nHaHaHa j ???? ?21 所以 njNjHaG ??? 1 . 由上等式“ njN? ”知子群 H 的階 n 是 G 的 N 階的因子，于是可得到下面 推論 推論 設(shè)是 G 有限群， Ga?? ，若 ma? ，那么 m 必是 G 的因子。 證明：由元素 a 生成 G 的一個(gè)循環(huán)子群 ? ?aH? . 由 Lagrange定理 知 GH ,但 .mH? Gm? . 拉格朗日（ Lagrange），法國(guó)數(shù)學(xué)家，力學(xué)家，天文學(xué)家。生于意大利都靈的一個(gè)陸軍會(huì)計(jì)官家里是 11 個(gè)兄弟姐妹的最長(zhǎng)者。 17 歲時(shí)，在偶然讀到哈雷的一篇介紹牛頓微積分的 短文《論分析方法的優(yōu)點(diǎn)》后，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣。 1753 年他尚未畢業(yè)于都靈炮兵學(xué)校，就擔(dān)任了該校數(shù)學(xué)課教學(xué)工作。 1755 年 9 月成為該校教授。 1756 年經(jīng)歐拉推薦，被提名為柏林科學(xué)院通訊院士。 1759 年成為院士， 1776 年被評(píng)為彼得堡科學(xué)院名譽(yù)院士，1783 年成為都靈科學(xué)院名譽(yù)主席及倫敦皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。 1795 年任新成立的巴黎高等師范學(xué)院數(shù)學(xué)教授，巴黎理工學(xué)院的第一位幾何教授與第一任校長(zhǎng)。后被路易十六授與伯爵爵位。 在拉格朗日的數(shù)學(xué)研究生涯中，他對(duì)數(shù)學(xué) 分析，辯論，代數(shù)方程理論，變分法，分析力學(xué)，數(shù)論，常微分方程和偏微分方程等領(lǐng)域做出了巨大貢獻(xiàn)。因此，至今數(shù)學(xué)中有許多公式，定理都以拉格朗日命名。他逝世后，拿破侖曾下令收集他的論著并保存圖 在法國(guó)科學(xué)院。后經(jīng)整理了出版了拉格朗日的著作集共 14 卷。在數(shù)學(xué)史上，拉格朗日的地位在歐拉與拉普拉斯之間，是 18 世紀(jì)后半葉和 9 世紀(jì)初期大數(shù)學(xué)家之一。
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