第11講子群-資料下載頁
2025-08-27 16:02本頁面
【導(dǎo)讀】本講教學(xué)目的和要求：對于群這個新的教對象，應(yīng)該如何入手，從哪幾個方面去研究它，這一直是我們所關(guān)心的問題。概括些說，對群的研究，可分為互相聯(lián)系的兩個方面：群。的結(jié)構(gòu)和群的表示。與集合比較，群就是多了一個運送（正是這個運算才給群帶來了生。中最基本的內(nèi)容）。循環(huán)群的子群的性質(zhì)；子群之積的性質(zhì)，?都是本講中的要點和難。點，通過這方面的訓(xùn)練可使我們對子群有一個更深入的了解。生成子群的概念在本教材。中談的很少，本講中也作了適當(dāng)?shù)丶訌?。有一種溫故而知新的感覺。此外，本講中還引入了中心，中心化子，正規(guī)化子等概念，以便拓寬知識量。HGH,，如果H關(guān)于G中的運算本身也能作成群，則。稱H是G的一個子群,記為.HG?，所以G一般有兩個子群，統(tǒng)稱它們?yōu)榈腉平凡子群。群外還有其他子群，那就稱為G的真子群，記為GH?。為一切m的倍數(shù)構(gòu)成的集合，可知。ARMALn表示一切可逆n階方陣組成的集合，用矩陣通常的乘法。L中方陣滿足乘法結(jié)合律
【正文】 GK? . （ 3）如果 GK? 且 HS? ，那么 S 中有限個元素的乘積，逆元素的乘積，元素與逆元素的乘積都含在 H 中， HSSKHS ?????? 11 . . 由 H 的任意性， K? 是含 S 的最小的子群。 定義 2： 設(shè) ,GS??? ，那么有 （ 1） 子群 },1,|{ 21 21 NmrSaaaaK iirmrr m ????? ? .叫做由子集 S 生成的子群，記作)(SK? ，并稱 S 為 K 的生成子集， （ 2） 若 },{ 21 naaaS ?? 為有限集，那么稱 )(SK? 是有限生成的，并稱 naaa , 21 ? 為K 的生成 元 集，此時可記 ),()( 21 naaaSK ??? . （ 3） 若 }{aS? 為單元集時， )(aK? 就叫做循環(huán)群，其中 a 為 K 的生成元（這正是167。 7中的內(nèi)容） 明示 2：如果 GS? 時，那么 SS ?)( . 例 4 在例 6 中 )}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(4 ?K .若 令 )34)(12(),1( ?? ae )23)(14(),24)(13( ?? cb .那么 ecba ??? 222 且 bcaaccbaab ???? , . acbbc ?? .這說明 : ),(),(),(4 cbcabaK ??? . 也就是說， 4K 可由 cba , 中任意兩個元素生成，但不可能由一個 元素生成，即 4K 不是 循環(huán)群。 第 6 頁 共 6 頁 例 5 設(shè) }0|||)({ ??? ARMAL n ，而令 }|{ 階初等矩陣是 nALAS ?? 。由高等代數(shù)知識知：“每個可逆陣可寫成初等矩陣之積”，所以 )(SL? . 訓(xùn)練題 設(shè) 8|| ?a ，找出 )(aG? 的全部子集。（注：有二個重要命題需要用到：（ 1）循環(huán)群 的子群 必是循環(huán)群。（ 2） n 階循環(huán) G 中， n 的任一個正因子 r ， G 都有唯一的一個 r 階子群） 解：由上命題（ 1）知， G 的每個子群都必是循環(huán)群。 由命題（ 2）知 8 的正因子只有G?8,4,2,1 只有 4 個子群。 )()()()()()().().( 7534623421 aaaaHaaHaHeH ???????? 設(shè) G 是 9 階群 , 則 G 有 1,3,9 階子群 . 設(shè) G 是 10 階群 , 則 G 有 1,2,5,10 階子群 .
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