第11講子群(已修改)
2024-09-21 16:02 本頁面
【正文】 第 1 頁 共 6 頁 167。 8 子 群（ Subgroups） 本講教學(xué)目的和要求： 對于群這個新的教對象，應(yīng)該如何入手，從哪幾個方面去研究它，這一直是我們所關(guān)心的問題。概括些說，對群的研究，可分為互相聯(lián)系的兩個方面：群的結(jié)構(gòu)和群的表示。與集合比較，群就是多了一個運(yùn)送（正是這個運(yùn)算才給群帶來了生命力），所以群論研究的初步可以仿照集合論去討論，只是關(guān)系群的一切討論都要圍繞這個運(yùn)送展開，子群是非常重要的概念，了解子群是了解群的結(jié)構(gòu)的一個重要渠道，本講中要求： 能判斷子群的構(gòu)成和掌握彼此等價的判斷條件 有限群的判斷定理 子群 （集）的乘積和生成子群的概念 循環(huán)群的子群所具有的特性 本講的重點(diǎn)和難點(diǎn)： 為了更好的學(xué)習(xí)下一講內(nèi)容，本講中增添了部分內(nèi)容（也都是群論中最基本的內(nèi)容）。循環(huán)群的子群的性質(zhì)；子群之積的性質(zhì)，?都是本講中的要點(diǎn)和難點(diǎn)，通過這方面的訓(xùn)練可使我們對子群有一個更深入的了解。生成子群的概念在本教材中談的很少，本講中也作了適當(dāng)?shù)丶訌?qiáng)。結(jié)合高等代數(shù)中生成子空間的理論，會使我們有一種溫故而知新的感覺。此外，本講中還引入了中心，中心化子，正規(guī)化子等概念，以便拓寬知識量。 一、 子群的定義及判定條件 定義 設(shè) G 是一個群，而 ??? HGH , ，如果 H 關(guān)于 G 中的運(yùn)算本身也能作成群，則稱 H 是 G 的一個子群 ,記為 .HG? 例 1 設(shè) G 為任意一個群，那么由 G 的單位元組成子集 }{e ，自然有 Ge ?}{ ，另外 G 本身也有 GG? ，所以 G 一般有兩個子群，統(tǒng)稱它們?yōu)榈?G 平凡子群。如果 G 除了平凡子群外還有其他子群，那就稱為 G 的真子群，記為 GH? 。 例 2 Z 是整數(shù)加群，而一切偶數(shù)構(gòu)成的集合為 Z2 ，其中： },4,2,0,2,4,{2 ?? ???Z ，那么關(guān)于整數(shù)的加法有 ZZ?2 明示 1：任取一個整數(shù) m ，那么 }|{ ZnnmmZ ???? 為一切 m 的倍數(shù)構(gòu)成的集合，可知ZmZ? . 例 3 設(shè) }0|||)({ ??? ARMAL n 表示一切可逆 n 階方陣組成的集合，用矩陣通常的乘法可知： ? L 中方陣對乘法封閉（任二個 n 階可逆陣之積仍可逆） ? L 中方陣滿足乘法結(jié)合律 ? 單位元為 E ? ALA ?? . 的逆元為 AA —1? 的逆陣 所以 L 是個群。 第 2 頁 共 6 頁
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1