數(shù)學(xué)建模案例分析第11講回歸分析(已修改)
2025-01-27 05:47 本頁(yè)面
【正文】 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 1 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 回歸分析 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 2 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 2．掌握用數(shù)學(xué)軟件求解回歸分析問(wèn)題 . 1．直觀了解回歸分析基本內(nèi)容 . 1． 回歸分析 的基本理論 . 3． 實(shí)驗(yàn) 作業(yè) . 2．用數(shù)學(xué) 軟件求解回歸分析問(wèn)題 . 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 3 一元線性回歸 多元線性回歸 回歸分析 數(shù)學(xué)模型及定義 *模型參數(shù)估計(jì) *檢驗(yàn)、預(yù)測(cè)與控制 可線性化的一元非線 性回歸（曲線回歸） 數(shù)學(xué)模型及定義 *模型參數(shù)估計(jì) 逐步回歸分析 * 多元線性回歸中的 檢驗(yàn)與預(yù)測(cè) 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 4 一、數(shù)學(xué)模型 例 1 測(cè) 16名成年女子的身高與腿長(zhǎng)所得數(shù)據(jù)如下： 身高(c m ) 1 4 3 1 4 5 1 4 6 1 4 7 1 4 9 1 5 0 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5 7 1 5 8 1 5 9 1 6 0 1 6 2 1 6 4 腿長(zhǎng)(c m ) 88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 1 0 0 1 0 2 以身高 x為橫坐標(biāo)，以腿長(zhǎng) y為縱坐標(biāo)將這些數(shù)據(jù)點(diǎn)（ xi， yi）在平面直角坐標(biāo)系上標(biāo)出 . 140 145 150 155 160 1658486889092949698100102散點(diǎn)圖 ??? ??? xy 10解答 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 5 一般地，稱(chēng)由??? ??? xy 10確定的模型為 一元線性回歸模型 ， 記為 ????????210,0 ??????DExy 固定的未知參數(shù)0?、1?稱(chēng)為回歸系數(shù)，自變量 x 也稱(chēng)為回歸變量 . 一元線性回歸分析的 主要任務(wù) 是： 1 ． 用試驗(yàn)值（樣本值）對(duì)0?、1?和 ? 作點(diǎn)估計(jì)； 2 ． 對(duì)回歸系數(shù)0?、1?作假設(shè)檢驗(yàn)； 3 ． 在 x =0x處對(duì) y 作預(yù)測(cè)，對(duì) y 作區(qū)間估計(jì) . xY 10 ?? ?? ，稱(chēng)為 y 對(duì) x 的回歸直線方程 . 返回 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 6 二、模型參數(shù)估計(jì) 1．回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì) 有 n 組獨(dú)立觀測(cè)值 （ x1， y1），（ x2， y2），?，（ xn， yn） 設(shè) 01212, 1 , 2 , . . . ,0 , , . . . ,iii i ny x i nED? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ????????且 相 互 獨(dú) 立 記 ? ??????????niiiniixy12101210),( ????? 最小二乘法 就是選擇0?和1?的估計(jì)0??，1??使得 ),(min)?,?(10,1010?????? ? 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 7 ??????????22110???xxyxxyxy???解得（經(jīng)驗(yàn)）回歸方程為 : )(???? 110 xxyxy ????? ??? 或 ? ?? ?? ?????????niiniiixxyyxx1211?? 其中 ? ? ? ? ? ? n i i n i i y n y x n x 1 1 1 , 1 ， ? ? ? ? ? ? n i i i n i i y x n xy x n x 1 1 2 2 1 , 1 . 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 8 2 ． 2? 的無(wú)偏估計(jì) 記 ? ?? ?? ???????niniiiiieyyxy1 1221010)?(??)?,?( ???? 稱(chēng) Qe為 殘差平方和 或 剩余平方和 . 2?的無(wú)偏估計(jì) 為 )2(? 2 ?? nQ ee? 稱(chēng)2?e?為 剩余方差（殘差的方差） ， 2?e?分別與0??、1??獨(dú)立 . e??稱(chēng)為 剩余標(biāo)準(zhǔn)差 . 返回 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 9 三、檢驗(yàn)、預(yù)測(cè)與控制 1．回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 對(duì)回歸方程 xY10?? ?? 的顯著性檢驗(yàn)，歸結(jié)為對(duì)假設(shè) 0:。0:1110?? ?? HH進(jìn)行檢驗(yàn) .假設(shè) 0: 10 ??H 被拒絕，則回歸顯著，認(rèn)為 y 與 x 存在線性關(guān) 系，所求的線性回歸方程有意義；否則回歸不顯著， y 與 x 的關(guān)系 不能用一元線性回歸模型來(lái)描述，所得的回歸方程也無(wú)意義 . 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 10 （ Ⅰ ） F檢驗(yàn)法 當(dāng)0H成立時(shí)， )2/( ??nQUFe~ F （ 1 ， n 2 ） 其中 ? ?????nii yyU12?（ 回歸平方和） 故 F )2,1(1 ?? nF ?，拒絕0H，否則就接受0H. （ Ⅱ ） t 檢驗(yàn)法 ???????? niiniixx xnxxxL12212)(其中當(dāng)0H成立時(shí)，exxLT????1?~t （ n 2 ） 故)2(21?? ? ntT ?，拒絕0H，否則就接受 0H. 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 11 （ Ⅲ ） r 檢驗(yàn)法 當(dāng) | r| r 1 ?? 時(shí)，拒絕 H 0 ；否則就接受 H 0 . 記 ? ??? ???????niniiiniiiyyxxyyxxr1 1221)()())((其中 ? ? ? ?1 111 2 1 , 2r n F n? ?? ?? ? ? ? 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 12 2．回歸系數(shù)的置信區(qū)間 0? 和1? 置信水平為 1 α 的置信區(qū)間分別為 ????????????????xxexxeLxnntLxnnt221022101?)2(?,1?)2(???????和 ????????????xxexxeLntLnt /?)2(?,/?)2(?211211??????2? 的置信水平為 1 ? 的置信區(qū)間為 ?????????????)2(,)2( 22221nQnQ ee?? ?? 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 13 3．預(yù)測(cè)與控制 （ 1）預(yù)測(cè)
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