數(shù)學(xué)建模案例分析第11講回歸分析-文庫吧
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【正文】 用 y 0 的回歸值 0100 ??? xy ?? ?? 作為 y 0 的預(yù)測值 . 0y 的置信水平為 ??1 的 預(yù)測區(qū)間 為 ? ?)(?),(? 0000 xyxy ?? ??其中 ? ?xxe Lxxnntx2021011)2(?)( ?????? ??? 特別，當(dāng) n 很大且 x 0 在 x 附近取值時 , y 的置信水平為 ??1 的 預(yù)測區(qū)間近似為 ??????????2121??,?? ?? ?? uyuy ee 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 14 （ 2）控制 要求： ??? ??? xy 10 的值以 ??1 的概率落在指定區(qū)間 ? ?yy ???,只要控制 x 滿足以下兩個不等式 yxyyxy ??????? )(?,)(? ?? 要求 )(2 xyy ?????? . 若 yxyyxy ??????? )(?,)(? ?? 分別有解 x ? 和 x ?? ，即 yxyyxy ?????????? )(?,)(? ?? . 則 ? ?xx ???, 就是所求的 x 的控制區(qū)間 . 返回 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 15 四、可線性化的一元非線性回歸 （曲線回歸） 例 2 出鋼時所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕， 容積不斷增大 .我們希望知道使用次數(shù)與增大的容積之間的關(guān) 系 .對一鋼包作試驗(yàn)，測得的數(shù)據(jù)列于下表： 使用次數(shù) 增大容積 使用次數(shù) 增大容積234567896. 428. 209. 589. 509. 7010. 009. 939. 991011121314151610. 4910. 5910. 6010. 8010. 6010. 9010. 76解答 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 16 2 4 6 8 10 12 14 1667891011散 點(diǎn) 圖 此即 非線性回歸 或 曲線回歸 問題 （ 需要配曲線 ） 配曲線的一般方法是： 先對兩個變量 x 和 y 作 n 次試驗(yàn)觀察得 niyxii , .. .,2,1),( ?畫出散點(diǎn)圖， 根據(jù)散點(diǎn)圖確定須配曲線的類型 . 然后由 n 對試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定每一類曲線的未知 參數(shù) a 和 b . 采用的方法是通過變量代換把非線性回歸化成線性回歸，即采用 非線性回歸線性化的方法 . 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 17 通常選擇的六類曲線如下： （ 1 ） 雙曲線 xbay ??1（ 2 ） 冪函數(shù)曲線 y = a bx , 其中 x 0, a 0 （ 3 ） 指數(shù)曲線 y = a e bx 其中參數(shù) a 0 . （ 4 ） 倒指數(shù)曲線 y = a /e bx 其中 a 0 ， （ 5 ） 對數(shù)曲線 y = a + b l o g x ,x 0 （ 6 ） S 型曲線 1 exy ab ?? ? 返回 解例 2. 由散點(diǎn)圖我們選配到 指數(shù)曲線 y = a /e bx 根據(jù)線性化方法，算得 , ??? Ab 由此 ?? e 1 1 .6 7 8 9Aa ?? 最后得 1 . 6 7 8 9 e xy ?? 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 18 一、數(shù)學(xué)模型及定義 一般稱 2( ) 0 , C O V ( , )nYXEI??? ? ? ???????? 為高斯 馬爾可 夫線性模型 ( k 元線性回歸模型 ) ， 并簡記為),( 2 nIXY ?? 12nyyYy?????????????，11 12 121 22 2121 .. .1 .. .1 .. .kkn n nkx x xx x xXx x x?????????，01k?????????????????，12n????????????????? kk xxy ??? ???? . ..110 稱為 回歸平面方程 . 返回 線性模型 ),( 2nIXY ??考慮的主要問題是 ： （ 1 ） 用試驗(yàn)值（樣本值）對 未知參數(shù) ? 和 2? 作點(diǎn)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，從而建立 y 與kxxx , . . . , 21之間的數(shù)量關(guān)系； （ 2 ）在 ,. .. ,0022022 kk xxxxxx ???處對 y 的值作預(yù)測與控制，即對 y 作區(qū)間估計(jì) . 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 19 二、模型參數(shù)估計(jì) 1 ．對 i? 和 2? 作估計(jì) 用最小二乘法求k?? ,...,0的估計(jì)量：作離差平方和 ? ????????niikkii xxyQ12110 ... ??? 選擇k?? ,...,0使 Q 達(dá)到最?。? 得到的 i?? 代入回歸平面方程得： kk xxy ??? ?...?? 110 ????稱為 經(jīng)驗(yàn)回歸平面方程 . i?? 稱為 經(jīng)驗(yàn)回歸系數(shù) . 注意 ： ?? 服從 p +1 維正態(tài) 分 布， 且為?的無偏估計(jì)，協(xié)方差陣 為 C2? . C = L 1= (c ij ), L = X T X 解得估計(jì)值 ? ? ? ? Y X X X T T 1 ? ? ? ? 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 20 2 . 多項(xiàng)式回歸 設(shè)變量 x 、 Y 的回歸模型為 ????? ?????? pp xxxY .. .2210 其中 p 是已知的，),2,1( pii ???是未知參數(shù)， ? 服從正態(tài)分布 ),0( 2?N. 令 ii xx ? ， i =1 ， 2 ， … ， k 多項(xiàng)式回歸模型變?yōu)槎嘣€性 回歸模型 . 返回 kk xxxY ???? ????? ...2210稱為 回歸多項(xiàng)式 . 上面的回歸模型稱為 多項(xiàng)式回歸 .2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 21 三、多元線性回歸中的檢驗(yàn)與預(yù)測 1 ． 線性模型和回歸系數(shù)的檢驗(yàn) 假設(shè) 0 0 1:0 kH ? ? ?? ? ? ? （ Ⅰ ） F 檢驗(yàn)法 （ Ⅱ ） r 檢驗(yàn)法 定義eyy QUULUR???為 y 與 x 1 , x 2 ,..., x k 的 多元相關(guān)系數(shù) 或 復(fù)相關(guān)系數(shù) ． 由于2211RRkknF???? ，故用 F 和用 R 檢驗(yàn)是等效的． 當(dāng) H 0 成立時，)1,(~)1/( / ????? knkFknQ kUFe 如果 F F 1 α （ k ， n k 1 ），則拒絕 H 0 ，認(rèn)為 y 與 x 1 , ? , x k 之間顯著 地有線性關(guān)系；否則就接受 H 0 ，認(rèn)為 y 與 x 1 , ? , x k 之間線性關(guān)系不 顯著 . 其中 ? ?????nii yyU12? （ 回歸平方和） ?? ??ni iie yyQ 12)?( (殘差平方和 ) 2022/2/12 數(shù)學(xué)建模 22 2．預(yù)測 （ 1）點(diǎn)預(yù)測 求出回歸方程0 1 1? ? ?? kky x x? ? ?? ? ? ?，對于給定自 變量的值 *1 , kxx ?，用 * * *0 1 1? ? ?? kky x x? ? ?? ? ? ?來預(yù)測 **0 1 1 kky x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?. 稱 *?y 為 *y 的點(diǎn)預(yù)測
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