第11講子群(參考版)
2024-09-09 16:02本頁面
【正文】 由命題（ 2）知 8 的正因子只有G?8,4,2,1 只有 4 個(gè)子群。（注：有二個(gè)重要命題需要用到：（ 1）循環(huán)群 的子群 必是循環(huán)群。 第 6 頁 共 6 頁 例 5 設(shè) }0|||)({ ??? ARMAL n ，而令 }|{ 階初等矩陣是 nALAS ?? 。 定義 2： 設(shè) ,GS??? ，那么有 （ 1） 子群 },1,|{ 21 21 NmrSaaaaK iirmrr m ????? ? .叫做由子集 S 生成的子群，記作)(SK? ，并稱 S 為 K 的生成子集， （ 2） 若 },{ 21 naaaS ?? 為有限集，那么稱 )(SK? 是有限生成的，并稱 naaa , 21 ? 為K 的生成 元 集，此時(shí)可記 ),()( 21 naaaSK ??? . （ 3） 若 }{aS? 為單元集時(shí)， )(aK? 就叫做循環(huán)群，其中 a 為 K 的生成元（這正是167。 證明： （ 1） ??S? ， 且 S 中每元素都能表示 mrmrr aaa ?21 21 的形式（取 1,1 1 ?? rm ，即可） ? KS? .且 ??K . （ 2） Kbbbyaaax nm tnttrmrr ???? ?? 2121 2121 ,其中： 1,1, ????? jiji trSba , Nnm ?, 于是 . KKbbaaxy nm tntrmr ??? .11 11 ?? 中乘法封閉。 如 果 將 那 些 應(yīng) 添 加 的 元 素 做 成 的 集 合 記 為 1S ，則}.,{ 11111111 ?????????? lc bagbd c gbcacaS 。也就是說， S 可能不滿足“ SSS?或 SS ??1 ” . 仔細(xì)分析， S 不能構(gòu)成群的本質(zhì)原因是“不夠大”。 例 3 對(duì)于三次對(duì)稱群 )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3 ?S ， 令 )}132(),123(),1{() } ,23(),1{() } ,13(),1{() } ,12(),1{( 4321 ???? HHHH ， 可知 )4,3,2,1.(3 ?? iSH i ， 并顯然 43213 HHHHS ???? , 上二例表明：群有可能表成三個(gè)或四個(gè)真子群的并。（即 44 SK ? ），現(xiàn)令)}34)(12(),1{(1 ?H ， )}24)(13(),1{(2 ?H ， )}23)(14(),1{(3 ?H 。這表明 21 HHG ?? 是不可能
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