第11講子群-wenkub.com
2024-09-01 16:02 本頁面
【正文】 （ 2） n 階循環(huán) G 中， n 的任一個(gè)正因子 r ， G 都有唯一的一個(gè) r 階子群） 解：由上命題（ 1）知， G 的每個(gè)子群都必是循環(huán)群。 7中的內(nèi)容） 明示 2：如果 GS? 時(shí)，那么 SS ?)( . 例 4 在例 6 中 )}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(4 ?K .若 令 )34)(12(),1( ?? ae )23)(14(),24)(13( ?? cb .那么 ecba ??? 222 且 bcaaccbaab ???? , . acbbc ?? .這說明 : ),(),(),(4 cbcabaK ??? . 也就是說， 4K 可由 cba , 中任意兩個(gè)元素生成，但不可能由一個(gè) 元素生成，即 4K 不是 循環(huán)群。現(xiàn)令 1SSK ?? ，那么 K 中元素應(yīng)如何表示？ K 是什么結(jié)構(gòu)？ 結(jié)論 3： 設(shè) GS??? ，那么上述的 K 為 第 5 頁 共 6 頁 miNmrSaaaaK iirmrr m ,3,2,1,1,21 21 ?? ?????? 其中 K 是含有 S 的最小的群。 二、 生成子群 任取出 G 的一個(gè)非空子集 S ，它未必能構(gòu)成子群。 思考題 3： 一個(gè)群能否表成它的三、四個(gè)真子群的并集？ 例 2 設(shè) )}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(4 ?K ，則易知 4K 是群。那么必有 21 HH ? 且 12 HH ? 。 充分性：（ 1）條件表明 H 滿足封閉 . （ 2） G 中滿足結(jié)合律 H? 也滿足結(jié)合律 . （ 3）因?yàn)?G 中滿足消去律 H? 中也滿足消去律 . 由（ 1） 、（ 2）和（ 3） GH?? （注 H 是有限集） . 思考題 1： ? 每個(gè)群都有二個(gè)不同的平凡子群?jiǎn)幔? ? G 的二個(gè)子群 1H 和 2H 有可能會(huì) ??21 HH ? 嗎？ 為了加深印象，可從集合的角度對(duì)上述定 理進(jìn)行論述： 設(shè) BA, 是群 G 的兩個(gè)非空子群，那么定義： },|{ BbAaabAB ????? }|{ 11 AaaA ??? ?? 顯然 AB 和 1?A 都是 G 的非空子集，至此，可以重新定義子群： 結(jié)論 1：設(shè) GH??? ，那么 HHHGH ??? 且 HH ??1 結(jié)論 2：設(shè) GH??? ，那么 HHHGH ??? ?1 對(duì)于上述結(jié)論的證明是顯而易見的。 ? 結(jié)合律在 G 中成立
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1