【文章內(nèi)容簡介】 都在點 ),( yx 具有對 x 及對 y 的偏導數(shù)，函數(shù)),( vufz? 在對應點 ),( vu 具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù) )],(),([ yxyxfz ??? 的兩個偏導數(shù)存在，且有 ,xv vzxu uzxz ?? ????? ????? 復合函數(shù)的中間變量 既有一元函數(shù)，又有多元的情形。 定理 3 如果函數(shù) ),( yxu ?? 在點 ),( yx 具有對 x 及對 y 的偏導數(shù) , )(yv ?? 在點 y 可導， ),( vufz? 在對應點 ),( vu 具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù) )](),([ yyxfz ??? 的兩個偏導數(shù)存在 ,且有 ,xu uzxz ?? ????? ,vdyzdvyu uzyz ????? ????? 例 1 設 yxvxyuvez u ???? ,s in ,求 yx zz, . 例 4 設 tveutuvz t c o s,s in ???? ,求全導數(shù) dtdz . 全微分形式的不變性 如果函數(shù) ),(),(),( vufzyxvvyxuu ??? 分別有連續(xù)的偏導數(shù)，則復合函數(shù))],(),([ yxvyxufz ? 的全微分為 dyyzdxxzdz ?????? 而 xvvzxuuzxz ???????????? , yvvzyuuzyz ?????????? 隱函數(shù)的求導公式 一、一個方程的情形 隱函數(shù)存在定理 1 設函數(shù) F(x,y)在點 P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) ≠ 0 ，則方程 F(x,y) = 0在點 (x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù) y = f(x)，它滿足條件 y0 = f(x0)，并有 。 上面公式就是隱函數(shù)的求導公式。 隱函數(shù)存在定理 2 設函數(shù) F(x,y,z)在點 P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且 F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) ≠ 0 ，則方程 F(x,y,z) = 0在點 (x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能 唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù) z = f(x,y)，它滿足條件 z0 = f(x0,y0)，并有 。 例 1 04222 ???? zzyx 求22xz?? 三、 方程組的情形 隱函數(shù)存在定理 3 設 ),( vuyxF , ),( vuyxG 在點 ),( 0000 vuyxP 的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)的偏導數(shù)，又 0),( 0000 ?vuyxF ， 0),( 0000 ?vuyxG 且偏導數(shù)所組成的函數(shù)的行列式 vGuG vFuFvuGFJ???? ???????? ),( ),( 在點 ),( 0000 vuyxP 不等于零則有 。 例 2 1,0 ???? xvyuyvxu 求 xu?? ,yv?? 多元函數(shù)微分學的幾何應用 一、空間曲線的切線與法平面 設空間曲線 Г 的參數(shù)方稱為 x=φ(t) ， y=ψ(t) ， z=ω(t) ， 這里假定上式的三個函數(shù)都可導。在曲線 Г 上取對應于 t=t0的一點 M（ x0， y0， z0）。 曲線在點 M處的切線方程 ? ?)()( 0 00 00 0 tzztyytxx ??? ???????? 切線的方向向量稱為曲線的切向量。向量 T={φ39。 （ t0）， ψ39。 （ t0）， ω39。 （ t0） } 就是曲線 Г 在點 M處的一個 切向量 。 通過點而與切線垂直的平面稱為曲線 Г 在點 M處的法平面，它是通過點 M（ x0， y0， z0）而以 T為法向量的平面 法平面的方程 φ39。 （ t0）（ xx0） +ψ39。 （ t0）（ yy0） +ω39。 （ t0）（ zz0） = 0。 例 求曲線 32 , tztytx ??? 在點 )1,1,1( 處的切線方程和法平面方程。 二、 曲面的切平面與法線 設曲面 Σ 由方程 F（ x,y,z） = 0給出， M（ x0， y0， z0）是曲面 Σ 上的一點，并設函數(shù) F（ x,y,z）的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零。則根據(jù)解析幾何，可得曲面上通過點 M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上。這個平面稱為曲面 Σ 在 點 M的切平面。這切平面的方程是 Fx（ x0， y0， z0）（ xx0） +Fy（ x0， y0， z0）（ yy0） +Fz（ x0， y0， z0）（ zz0） = 0 通過點 M（ x0， y0， z0）而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線。法線方程是 x=3 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量。向量 n = {Fx（ x0， y0， z0）， Fy（ x0， y0， z0）， Fz（ x0， y0， z0） } 就是曲面 Σ 在點 M處的一個法向量。 例 1 求球面 14222 ??? zyx 在點 )3,2,1(0P 處的切平面方程與法線方程。 方向?qū)?shù)與梯度 一、 方向?qū)?shù) 定理 如果函數(shù) ),( yxf 在點 ),( 00 yxP 可微分，那么函數(shù)在該點沿任一方向 l 的方向?qū)?shù)存在，且有 ?? c os),(c os),( 0000).( 00 yxfyxflf yxyx ???? 二、 梯度 jyxfiyxfyxg r a d f yx ),(),(),( 000000 ?? ?? c os),(c os),( 0000).( 00 yxfyxflf yxyx ???? = eyxgradf ?),( 00 多元函數(shù)極值的求法 一、 多 元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設函數(shù) ),( yxfz? 的定義域為 ),(, 00 yxPD O 為 D 的內(nèi)點，若存在 0p 的某個鄰域DPU ?)( 0 ,使得對于該鄰域內(nèi)異于 0P 的任何點 ),( yx ,都有 ),(),( 00 yxfyxf ? 則稱函數(shù) ),( yxf 在點 ),( 00 yx 有極大值 ),( 0 oyxf ,點 ),( oo yx 稱為函數(shù) ),( yxf 的極大值點。 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。 二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導數(shù)來解決。 定理 1（必要條件） 設函數(shù) z = f(x,y)在點 (x0,y0)具有偏導數(shù)，且在點 (x0,y0)處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零： fx(x0,y0) = 0， fy(x0,y0) = 0。 定理 2（充分條件） 設函數(shù) z = f(x,y)在點 (x0,y0)的某領域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又 fx(x0,y0) = 0， fy(x0,y0) = 0，令 f