一致連續(xù)性的判定定理及性質畢業(yè)論文原稿(編輯修改稿)
2025-06-30 13:13 本頁面
【文章內容簡介】 xfhxfxDf h )2()2(l i m)( 0000 ???? ? . 引理 凸函數在任意開區(qū)間（有限或無窮 ） I 上連續(xù) . 引 理 若函數 )(xf 在 I 上連續(xù) ,且對 Ixx ?? 21, ,有 )2(2 )()( 2121 xxfxfxf ??? , 則 )(xf 為下凸函數 . 定 理 若函數 )(xf 在區(qū)間 I （有限或無窮）上單調 ,且 )(xDf 在 I內處處存在且有界 ,則函數 )(xf 在開區(qū)間 I 上一致連續(xù) . 證明 不妨設 )(xf 在開區(qū)間 I 上單調增加 . 因為 )(xDf 在 I 內處處存在 ,有界 ,即 IxM ???? ,0 ,有 MxDf ?)( . 下面證明：對 Ixxxx ?? 2121 , ,有 )(2)()( 1212 xxMxfxf ??? . 若不然 , 1111 , baIba ??? ,使 )(2)()( 1111 abMafbf ??? . 令 )(2111 bac ?? ,則區(qū)間 ],[1ca 和 ],[ 1bc 中至少一個 ,記為 ],[ 22 ba , 滿足 )(2)()( 2222 abMafbf ??? 由此 ,利用歸納法可得到區(qū)間套 ?? ???? ],[],[],[ 2211 nn bababa . )(2 1)2()(2)()()1(111 abababMafbfnnnnnnn??????? 根據區(qū)間套定理 ,這些區(qū)間有惟一的公共點 ,記為 ? . 隴南師范?？粕厴I(yè)論文 (設計 ) 第 8 頁 共 15 頁 8 由條件知 , MDf ?)(? .所以 , 0??? ,使當 ??h ,且 Ihh ???2,2 ??時 ，有 Mhfhfh ???? )]2()2([1 ?? . (3) 因為 ],[1 nnn ba?????,且 0?? nn ab ,故存在正整數 N,使22 ????? ????? Na .不妨設 ?? ??? NN ba .令 )(20 ??? Nbh ,則 ??0h ,且 2222 00 ?????? ?????????NN bhah . 故000 )(2)()()2()2( MhabMafbfhfhf NNNN ???????? ?? 此與（ 3）矛盾 ,從而（ 1）試對 I 內任意兩點都成立 ,因而可得 )(xf 在區(qū)間 I 上一致連續(xù) . 推論 1 若函數 )(xf 是開區(qū)間 I （有限或無窮）上的凸函數 ,且擬導數存在 ,有界 ,則 )(xf 在區(qū)間 I 上一致連續(xù) . 證明 不妨設 )(xf 為區(qū)間 I 上的下凸函數 , . 因為 )(xf 為凸函數 ,所以 )(xf 在 I 上連續(xù) .若 )(xf 在 I 上單調 ,由定理 3知結論成立 .若 )(xf 在 I 上不單調 ,由 )(xf 為區(qū)間 I 上的下凸函數可知 ,在 I 上至少存在三點 321 xxx ?? ,有 )()( 21 xfxf ? ,且 )()( 32 xfxf ? . 因為 )(xf 在 ],[ 31 xx 上連續(xù) ,故存在 ),( 310 xxx ? ,使 )(m in)(],[0 31 xfxf xxx?? .下證)(m in)( 0 xfxf Ix?? .否則 ,若存在 ][ 314 xxIx ??? ,且 )()( 04 xfxf ? .若04 xx ? ,則 ?? ,使 10,)1( 401 ????? ??? xxx ,從而 )())()1()()( 0401 xfxfxfxf ???? ?? ,矛盾 . 同理 04 xx? 不成立 .于是 ,由 )(xf 為區(qū)間 I 上的下凸函數定義可證 , 隴南師范?？粕厴I(yè)論文 (設計 ) 第 9 頁 共 15 頁 9 )(xf 在 ],( 0xa 上遞減 ,在 [ ),0bx 上遞增 .故 )(xf 在 ],( 0xa 與 0[ , )xb上一致連續(xù) .而 )(xf 在 I 上連續(xù) ,故 )(xf 在 I 上一致連續(xù) . 推論 2 若函數 )(xf 在開區(qū)間 I （有限或無窮）滿足條件： Ixx ?? 21,)1( ,有 )。2(2 )()( 2121 xxfxfxf ??? )(,)2( xfIx ??? . 和 )(xf? 都存在 )3( 在 I 上處處擬可導 ,且擬導數有界 . 則函數 )(xf 在區(qū)間 I 上一致連續(xù) . 證明 先證 )(xf 在 I 上連續(xù) .對 Ix ??0 ,下證 )()( 00 xfxf ?? ? .因為)()( 00 xfxf ?? ? , 則 不妨設 )()( 00 xfxf ?? ? ， 取 0,0))()((41 100 ????? ?? ?? xfxf , 100: ?????? xxIx ， 有 ???? )()( 0 xfxf , 100: ?????? xxIx ,有 ???? )()( 0 xfxf . }2,2 )()(m i n{,0,0 100 ??? M xfxfhM ?? ??????? 有hxfxfhxfxfhxfhhxfhxf )()()2()()2()2()2(0000000 ??? ?????????? MMxfxf xfxfh xfxfh xfxf ????????? ?? ?????? 2))()((2 )()(2 )()(2)()( 00 000000 ?. 與已知條件矛盾 ,所以 )()( 00 xfxf ??
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