16733解對初值的連續(xù)性和可微性定理(編輯修改稿)
2025-08-19 06:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 上關(guān)于滿足Lipschitz條件.由已知條件,對,存在以它為中心的開圓,根據(jù)有限覆蓋定理,可以找到有限個具有這種性質(zhì)的圓(不同的,其半徑和Lipschitz常數(shù)的大小可能不同),它們的全體覆蓋了整個積分曲線段,令,則,對,記,則以上的點為中心,以為半徑的圓的全體及其邊界構(gòu)成包含的有界閉域,且在上關(guān)于滿足Lipschitz條件, Lipschitz常數(shù)為.第二步:證明，使得當時,解在區(qū)間上也有定義.由于是一個有界閉域,且在其內(nèi)關(guān)于滿足Lipschitz條件,由解的延拓定理可知, ,由引理有 利用的連續(xù)性,對,必有存在,使當時有,取,則當時就有 ()于是對一切成立,特別地有 ,即點和均落在域的內(nèi)部,這與假設(shè)矛盾,故解在區(qū)間上有定義.第三步 證明.在不等式（）中將區(qū)間換成，可知當時，就有 .根據(jù)方程解對初值的連續(xù)依賴定理及解對自變量的連續(xù)性有解對初值的連續(xù)性定理若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部李普希茲條件,則
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