一致連續(xù)性的判定定理及性質(zhì)畢業(yè)論文原稿(文件)
【正文】 ca 上一致連續(xù) . 證明 由 )(xf 在 ],[ ba 一致連續(xù) ,故 0,0 1 ???? ?? ,使當(dāng) ],[, 21 baxx ? ,隴南師范?？粕厴I(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 第 12 頁(yè) 共 15 頁(yè) 12 且 121 ???xx 時(shí) ,有 2)()( 21 ??? xfxf (i) 同理 , )(xf 在 ],[ cb 上 一致 連 續(xù) ,對(duì)上述 0?? ,存在 02?? ,使當(dāng)],[, 43 cbxx ? ,且 243 ???xx 時(shí) ,有 2)()( 43 ??? xfxf (ii) 令 },min{ 21 ??? ? ,則對(duì) 0?? ,當(dāng) ],[, 65 caxx ? 且 ??? 65 xx 時(shí) , （ 1） 若 ],[, 65 baxx ? 由（ i）式有 ?? ??? 2)()(65 xfxf （ 2） 若 ],[, 65 cbxx ? ,由（ ii）式也有 ??? )()( 65 xfxf （ 3） 若 ],[],[ 65 cbxbax ?? 時(shí) ,則 ?? ???? bxbx 65 , 所以 ??? ???????? 22)()()()()()(6565 xfbfbfxfxfxf. 從而得證 )(xf 在 ],[ ca 上一致連續(xù) . 性質(zhì) 設(shè)函 數(shù) )(xf 在 ),[ ??a 連續(xù) ,函數(shù) )(xg 在 ),[ ??a 一致連續(xù) ,且0)()(lim ????? xgxfx ,則 )(xf 在 ),[ ??a 一致連續(xù) . 證明 0)()(lim ????? xgxfx,故 AxxaA ?????? 21 ,0? ,有 3)()(,3)()( 2211 ?? ???? xgxfxgxf . 及函數(shù) )(xg 在 ),[ ??a 一致連續(xù) ,故對(duì)上述 Axx ????? 21 ,0,0 ?? ,且 ??? 21 xx ,有 3)()( 21 ??? xgxg . 綜上 Axx ?? 21, ,且 ??? 21 xx ,有 )()()()()()()()( 22211121 xgxfxgxgxgxfxfxf ??????? . 隴南師范?？粕厴I(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 第 13 頁(yè) 共 15 頁(yè) 13 ???? ???? 333 即 )(xf 在 ),[ ??A 一致連續(xù) ,再由 Cantor 定理知 )(xf 在 ],[ Aa 上一致連續(xù) ,故 )(xf ),[ ??a 在 一致連續(xù) . 定理 5 表明：若連續(xù)函數(shù)可在無(wú)窮遠(yuǎn)處充分接近一個(gè)一致連續(xù)函數(shù) ,則其必一致連續(xù) .考慮到線性函數(shù)必一致連續(xù) ,如果某連續(xù)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處充分接近一個(gè)線性函數(shù) ,即此函數(shù)存在斜漸近線 ,則它必一致連續(xù) .即是如下推論 . 推論 設(shè)函數(shù) )(xf 在 ),[ ??a 連續(xù) ,且有斜漸近線 ,即有數(shù) b 與 c ,使 0])([lim ?????? cbxxfx ,則 )(xf 在 ),[ ??a 一致連續(xù) . 利用一致連續(xù)性定義或判斷函數(shù)一致連續(xù)性的定理來(lái)判斷某函數(shù)的一致連續(xù)性 . 例 1 判斷 ),0(,1 1)(2 ????? xxxf 的一致 連續(xù)性 . 解 ： 因?yàn)? 01 1lim 2 ????? xx ， 11 1lim 20 ??? xx 又 )(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù) ,所以 )(xf 在 ),0( ?? 上一致連續(xù) . 本題利用定理 ， )(xf 在無(wú)限區(qū)間上連續(xù)且在端點(diǎn)極限存在，則 )(xf在此無(wú)限區(qū)間上一直連續(xù) . 例 2 證明 )(xf = xe 在 R 上非一致連續(xù) . 證明 1 :ln),1l n(),11(0,21210 Rnxnxen ???????????? ??? ,ln)11l n(ln)1l n(21 ?? ???????? ennnxx 有 021 211)1()()( ???????? nnxfxf. 隴南師范?？粕厴I(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 第 14 頁(yè) 共 15 頁(yè) 14 所以 )(xf = xe 在 R 上非一致連續(xù) . 根據(jù)一直連續(xù)性定義證得 . 證 明 2 取 Rnynx nn ???? ln),1ln ( , 且 0)11l n(l i m]ln)1[l n(l i m)(l i m ??????? ?????? nnnyx nnnnn . 但 01)1(l i m][l i m)]()([l i m ln)1l n( ??????????????? nneeyfxf nnnnnnn . 所以 )(xf = xe 在 R 上非一致連續(xù) . 此題根據(jù)判定函數(shù)一直連續(xù)性的充要條件即定理 . 例 3 判斷 )1,0(,1c os)( ?? xxexf x 的一致連續(xù)性 . 解 ：因?yàn)?xexx1coslim0?? 不存在 , 所以 )(xf = xe 在 )1,0( 內(nèi)不一致連續(xù) . 此題根據(jù)判定連續(xù)函數(shù)在有限開區(qū)間 一致連續(xù)性的方法即定理 例 4 證明： xexf ?)( 在 ),( a?? 上一致連續(xù) ,而在 ),( ??a 上非一致連續(xù) . 證明 ? 0lim ???? xx e且 axax ee ???lim. 所以 xe 在 ),( a?? 上一致連續(xù) . ????
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