一致連續(xù)性的判定定理及性質(zhì)畢業(yè)論文原稿(存儲(chǔ)版)
【正文】 n xfxf 對(duì)一切 k 成立 .另一方面 ,由于 ??xf 在 0x 連續(xù) ,亦 即 ? ? ? ?00lim xfxfxx ?? . 由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 ,有 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?0201 l i m,l i m xfxfxfxf kk nknk ?? ????.而 ? ?? ? ? ?? ?? ? 0lim 21 ???? kk nnk xfxf . 這同 ? ?? ? ? ?? ? 021 ??? kk nn xfxf 對(duì)一切 k 成立相矛盾 .即假設(shè)不成立 .即原命題成立 . 定理 函數(shù) ??xf 在有限開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)一致連續(xù)的充要條件是??xf 在 ? ?ba, 內(nèi)連續(xù)且極限 ? ?xfax??lim 和 ? ?xfbx ??lim 存在 . 證明 ［ 充分性 ］ 令 ???????????bxbfbaxxfaxafxg),0(),(),(),0()( 則 )(xg 在 ? ?ba, 上連續(xù) ,從而 )(xg 在 ? ?ba, 上一致連續(xù) . ［必要性］ 因?yàn)???xf 在 ? ?ba, 內(nèi)一致連續(xù) .? ??xf 在 ? ?ba, 內(nèi)連續(xù) ,并且 ????? 21 ,0,0 xx?? ? ?ba, ,當(dāng) ??? 21 xx 時(shí) , 有 ? ? ? ? ??? 21 xfxf 于是當(dāng) ? ???? aaxx , 21 時(shí) ， 有 ? ? ? ? ??? 21 xfxf . 根據(jù) 柯西 準(zhǔn)則 ,極限 ? ?xfax ??lim 存在 .同理可證 ? ?xfbx ??lim 也存在 . 定理 ??xf 在區(qū)間 I 上有定義 , 在 I 上一致連續(xù)的充要條件是對(duì) 區(qū) 間 I 上的任意兩數(shù)列 }{nx 與 }{ny ,當(dāng) 0)(lim ???? nnn yx 時(shí) , 有 ? ? ? ? 0)(lim ???? nnn yfxf . 隴南師范?？粕厴I(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 第 5 頁 共 15 頁 5 證明 ［ 必要性 ］ 因?yàn)???xf 在 I 上 一 致 連 續(xù) , 所以Iyx ?????? ,0,0 ?? , 當(dāng) ???yx 時(shí)有 ??? )()( yfxf . 任取 I 上的兩數(shù)列 }{nx 與 }{ny 并且滿足 0)(lim ???? nnn yx . 則對(duì) N?? ,00? ,當(dāng) Nn? 時(shí)有 0??? nn yx . 于是 ??? )()( nn yfxf ,即 0)]()([lim ???? nnn yfxf . ［ 充分性 ］ 假設(shè) ??xf 在 I 上不一致連續(xù) , 則 ??? ???????? 21210 :,0,0 xxIxx ,但 ? ? ? ? 021 ??? xfxf . 特別 ,取 )(1 Nnn ??? ,則 nyxIyxnnnn 1, ???,但 0)]()([l i m)()( ,0 ????? ?? nnnnn yfxfyfxf ?, 這與已知條件矛盾 .所以原命題成立 . 判定函數(shù)一致連續(xù)性的幾個(gè)充分條件 定理 若 ??xf 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù) ,且 )(lim),(lim xfxfxx ?????? 都存在 ,則 ??xf 在 ),( ???? 上一致連續(xù) . 證明 0,)(l i m,0,01 ???????? ??? bAxfx??? ,當(dāng) bx? 時(shí) , 有 2)( ??? Axf , 從而當(dāng) 12121 , ???? xxbxx 時(shí) , 有 隴南師范專科生畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 第 6 頁 共 15 頁 6 ??????? AxfAxfxfxf )()()()( 2121 . 所以 ??xf 在 ),[ ??b 上一致連續(xù) . 同理可證當(dāng) 221 ???xx 時(shí) ,有 ? ? ? ? ??? 21 xfxf , 即知 ??xf 在 ],( a?? 上一致連續(xù) . 又 ??xf 在 ? ?ba, 上連續(xù) , 03 ??? ? 當(dāng) 321 ???xx 時(shí) ， 有 ? ? ? ? ??? 21 xfxf , 故 ??xf 在 ? ?ba, 上一致連續(xù) . 取 },m in{ 321 ???? ? ,當(dāng) ??? 21 xx 時(shí)便有 ? ? ? ? ??? 21 xfxf 即 ??xf 在 ),( ???? 上一致連續(xù) . 定理 若函數(shù) )(xf 在區(qū)間 I 上的導(dǎo)數(shù)有界 ,則 )(xf 在 I 上一致連續(xù) . 推論 若函數(shù) )(xf 在 ),[ ??a 上單調(diào)增加 ,可導(dǎo)且其圖形是上凸的 ,則 )(xf 在區(qū)間 ),[ ??a 上一致連續(xù) . 證明 ：由 )(xf 可導(dǎo)且單增 ,從而 0)(39。 xf 在區(qū)間 I 上有界 ,即 IxL ???? ,0 ,有 Lxf ?)(39。21 ????? ?? Gxxfxfxf. 故 )(xf 在 ),[ ??A 非一致連續(xù) ,這與 )(xf 在 ),[ ??a 一致連續(xù)矛盾 . 上定理的結(jié)論相當(dāng)完美 ,它使得許多初等函數(shù)在無限區(qū)間上一致連續(xù)與非一致連續(xù)的判別 ,都變得簡便易行 . 性質(zhì) 若 )(xf 和 )(xg 都是區(qū)間 I 上的有界的一致連續(xù)函數(shù) ,則)()()( xgxfxF ? 也在 I 上一致連續(xù) . 證明 由 題 設(shè) )(xf , )(xg 有界 , 從 而 存 在 0?M , 使.,)(,)( IxMxgMxf ???? .
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