幾類常見的不可數(shù)集合證明(編輯修改稿)
2024-10-08 13:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1,0 可以排成一個(gè)序列 ： ??1,0 =? ?,...,..., 21 naaa . 利用 Lebesgue 測(cè)度知識(shí) ,知 ? ?? ? 11,0 ?m . 而 實(shí)際上 ? ?? ? 0,...,..., 21 ?naaam .兩者是矛盾的 ,所以 ??1,0 是不可數(shù)集 . 證法 四 利用 Baire 綱定理證明 . 把閉區(qū)間 ??1,0 看作完備度量空間 1R (一維 Euclid 空間）的閉子集 .由于 完備長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 6 空間內(nèi)的閉集本身構(gòu)成完備的子空間 ,所以 ??1,0 是一完備子空間 . 一方面 ,由 Baire 綱 定理 ,我們知道 任一完備空間是第二綱的 ,所以 ??1,0 是第二綱集 ； 另一方面 ,由于單點(diǎn)集是 ??1,0 中的疏朗集 .假若 ??1,0 是可數(shù)集 ,則 它 可表示為可數(shù)個(gè)疏朗集的并 ,從而為第一綱集 .這便推出了矛盾 .這樣就證明了 ??1,0 是不可數(shù)集 . 證法 五 利用單調(diào)有界法則證明 . 假設(shè) ??1,0 是可數(shù)集 ,令 ??1,0 =? ?,...,..., 21 naaa . 現(xiàn)構(gòu)造遞歸數(shù)列如下： 令 01?X ,????????????，若，若，nnnnnnnnnn XaXXaXX3232321 21，?n ,? , 則｛ Xn ｝顯然是遞增數(shù)列 ,且 1X =0,Xn ? 1?nX +132?n?122 3 23 2 ??? ?? nnnX? ?? ??321X? +12 3232 ?? ? nn? 1 ? ?...32 ，?n 根據(jù)單調(diào)有界法則 , ? ?10lim ，且 ???? XXX nn,但 X 不等于任一 na .假若不然 ,則有某個(gè) ra =X ,下面分兩種情形討論： (1)若 ra rX +r32,則 X =nn X1sup?? 1?rX = rX +r32 ra ,這與 X = ra 矛 盾 . (2)若 ra ? rX +r32,則此時(shí)有 1?rX = rX , 2?rX ? 1?rX + 232?r = rX + 132?r , ??????????? , krX? ? 11 3 2 ???? ? krkrX ? 122 3 23 2 ?????? ?? krkrkrX ?? ? rX + ??132r? +12 3 23 2 ???? ? krkr 令 ??k ,兩邊取極限得： 長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 7 X = krk X???lim? rX +311321??r =rX + r31 . 故 ra ? rX +r32? rX +r31? X .這也與 X = ra 矛盾 .因此 ,不論哪種情形 ,總有 X ? na ( ...21 ，?n ).所以 ,??1,0 ? ? ?,...,..., 21 naaa . 這與假設(shè)矛盾 ,從而 ??1,0 是不可數(shù)集合 . 3 其它 幾類 常見 的 不可數(shù)集證明 其它幾類常見的不可數(shù)集合有：無理數(shù)集 、康托爾集、可數(shù)集的冪集等等 . 無理數(shù)集是 一個(gè)不可數(shù)集合 無理數(shù) 集 是 由全體無理數(shù)所組成的集合 .無理數(shù) ,即非有理數(shù)之實(shí)數(shù) ,不能寫作兩整數(shù)之比 .若將它寫成小數(shù)形式 ,小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無限多個(gè) ,并且不會(huì)循環(huán) . 常見的無理數(shù)有大 多數(shù) 平方 根、 ? 和 e （其中后兩者同時(shí)為 超越數(shù) ）等 .無理數(shù)的另一特征是無限的 連分?jǐn)?shù) 表達(dá)式 . 定理 無理數(shù)集是 一個(gè)不可數(shù)集合 . 證明 第一步 ,先證 明 有理數(shù)集是可數(shù)集： 設(shè)??????? ...321 ，， iiiAi ? ?...321 ，，?i ,則 iA 是可數(shù)集 ,由可數(shù)集的性質(zhì) (4)我們知道全體正有理數(shù)成一可數(shù)集 ???? ?1i iAQ. 因正負(fù)有理數(shù)通過 ? ? rr ??? ,成為 1— 1 對(duì)應(yīng) .故全體負(fù) 有理數(shù)成一可數(shù)集?Q ,但有理數(shù)全體所成之集合 ?Q ?Q ? ?Q ? ??0 ,所以由可數(shù)集的性質(zhì) (5)知 Q為可數(shù)集 . 第二步 ,再證有限個(gè)可數(shù)集的并集還是可數(shù)集 . 容易找到一種 有限個(gè)可 數(shù)集 iA 的 排列順序 : ? ?,..., 141312111 aaaaA ??? , 長春師
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1