幾類常見的不可數集合證明-展示頁
2024-09-14 13:37本頁面
【正文】 1 ????? jjjjj aab ,....2,1?j . 這樣 ,r 與所有實數 ,...,..., 21 nSSS 不同 ,這證明了 r ? S ,與假設 產生矛盾 ,因此 S 是不可數的 ,即 R 是不可數集 . 在第 二 種證明方法之前先來回顧一下閉區(qū)間套定義以及定理 . 定義 設有一閉區(qū)間列 ? ?? ?, nn ba 具有如下性質 : (1)? ? ? ? ；， ...21, 11 ?? ?? nbaba nnnn (2) ? ? 0lim ???? nnn ab 則稱這閉區(qū)間列 ? ?? ?, nn ba 為一個閉區(qū)間套 ,或簡稱區(qū)間套 . 定理 若 ? ?? ?nn ba , 是一區(qū)間套 ,則存 在唯一的 ，R?? 使得 ?? ?na , ?nb ， ）（ ,...2,1?n ,即 ）（ ,...2,1??? nba nn ? . 下面我們利用 閉區(qū)間套 定義和定理來證明實數集合是不可數集合 . 長春師范學院本科畢業(yè)論文（設計） 5 證法 二 用 閉區(qū)間套定理 證明 . 假設 ??1,0 是 可數 集 ,則可設 ??1,0 =? ?,...,..., 21 naaa 記 0I =??1,0 ,在 0I 內作一閉區(qū)間 1I ,使其長度 |1I |21 且 ?1a 1I ；然后又在 1I 內作一閉區(qū)間 2I ,使得 | 2I |221且 2a ? 2I .一般說來，設已經作好了一個包含一個閉區(qū)間： 0I ? 1I ? ? ? nI , |iI |i21,ia ? iI ( ni ， ...21? ), 取 1?nI ? nI ,且滿足 | 1?nI |121?n, 1?na ? 1?nI .根據歸納法 ,我們就得到了一個區(qū)間套： 0I ? 1I ? ? ? nI ? ? , |nI |n21, na ? nI ( ， 21?n ? ) 因為n21 ?0 ( ??n ),所以由區(qū)間套定理 ,存在點 ?? nI ( ， 21?n ? ).由于na ? nI ,故 ?? na ( ， 21?n ? ).但 ?? 0I ,因而 ? 是 ??1,0 中的點 ,因此 ,??1,0 ? ? ?,...,..., 21 naaa .這與假設矛盾 ,因此 ??1,0 是不可數集合 . 證法 三 利用 Lebesgue 測度證明 . 假設 ??1,0 可以排成一個序列 ： ??1,0 =? ?,...,..., 21 naaa . 利用 Lebesgue 測度知識 ,知 ? ?? ? 11,0 ?m . 而 實際上 ? ?? ? 0,...,..., 21 ?naaam .兩者是矛盾的 ,所以 ??1,0 是不可數集 . 證法 四 利用 Baire 綱定理證明 . 把閉區(qū)間 ??1,0 看作完備度量空間 1R (一維 Euclid 空間）的閉子集 .由于 完備長春師范學院本科畢業(yè)論文（設計） 6 空間內的閉集本身構成完備的子空間 ,所以 ??1,0 是一完備子空間 . 一方面 ,由 Baire 綱 定理 ,我們知道 任一完備空間是第二綱的 ,所以 ??1,0 是第二綱集 ； 另一方面 ,由于單點集是 ??1,0 中的疏朗集 .假若 ??1,0 是可數集 ,則 它 可表示為可數個疏朗集的并 ,從而為第一綱集 .這便推出了矛盾 .這樣就證明了 ??1,0 是不可數集 . 證法 五 利用單調有界法則證明 . 假設 ??1,0 是可數集 ,令 ??1,0 =? ?,...,..., 21 naaa . 現構造遞歸數列如下： 令 01?X ,????????????，若，若，nnnnnnnnnn XaXXaXX3232321 21，?n ,? , 則｛ Xn ｝顯然是遞增數列 ,且 1X =0,Xn ? 1?nX +132?n?122 3 23 2 ??? ?? nnnX? ?? ??321X? +12 3232 ?? ? nn? 1 ? ?...32 ，?n 根據單調有界法則 , ? ?10lim ，且 ???? XXX nn,但 X 不等于任一 na .假若不然 ,則有某個 ra =X ,下面分兩種情形討論： (1)若 ra rX +r32,則 X =nn X1sup?? 1?rX = rX +r32 ra
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