幾類常見的不可數(shù)集合證明-文庫吧資料
2024-09-10 13:37本頁面
【正文】 a , 3a ,? , na ,? . 例如 ,全體正偶數(shù)的集合是一個(gè)可數(shù)集 ,全體正奇數(shù)的集合也是可數(shù)集 ,它們與自然數(shù)集可以建立如下的一一對應(yīng) . 自然數(shù) 1,2,3,4,5,6,? ,n ,? , 正偶數(shù) 2,4,6,8,10,12,? ,2n ,? , 正奇數(shù) 1,3,5,7,9,11,? ,2n － 1,? . 這說明一個(gè)可數(shù)集可以含有可數(shù)的真子集 ,反過來 ,兩個(gè)可數(shù)集也可 以并 成一個(gè)可數(shù)集 .整數(shù) 集與 有理數(shù) 集都是可數(shù)集 . 定義 不是可數(shù)集合的無限集合我們 稱為不可數(shù)集合 . 不可數(shù)集是無窮集合中的一種 .一個(gè)無窮集合和整數(shù)集合之間要是不存在一個(gè)雙射（不存在一一對應(yīng)關(guān)系 和 法則） ,那么它就是一個(gè)不可數(shù)集 .譬如無理數(shù)集就是不可數(shù)集 . 可數(shù)集和不可數(shù)集的性質(zhì) 可數(shù)集的性質(zhì)： (1) 任何無限集合都至少包含一個(gè)可數(shù)子集 . (2) 可數(shù)集合的任何無限子集必為可數(shù)集合 ,從而可數(shù)集合的任何子集或者是有限集或者是可數(shù)集 . (3) 設(shè) A 為可數(shù)集 ,B 為有限或可數(shù)集 ,則 A ? B 為可數(shù)集 . (4) 設(shè) ? ?,...3,2,1?iAi 都是可數(shù)集 ,則 ???1i iA也是可數(shù)集 . (5) 設(shè) ? ?niAi ,...,2,1? 是有限集或可數(shù)集 ,則 ?ni iA1?也是有限集或可數(shù)集 ,但長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 3 如果至少有一個(gè) iA 是可數(shù)集 ,則 ?ni iA1?必為可數(shù)集 . (6) 有理數(shù)全體成一可數(shù)集合 . (7) 若 A 中每個(gè)元素可由 n 個(gè)互相獨(dú)立的記號一對一地加以決定 ,各記號跑遍一個(gè)可數(shù)集 A =? ?nxxxa ,..., 21 ? ?,...,2,1,...。, )2()1( nkxxx kkk ?? 則 A 為可數(shù)集 . (8) 代數(shù)數(shù)的全體成一可數(shù)集 . 不可數(shù)集的性質(zhì)： (1) 全體實(shí)數(shù)所成之集合 R 是一個(gè)不可數(shù)集合 . (2) 任意區(qū)間 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ,0,0, bababa 均具有連續(xù)基數(shù) c .（這里 ba? ） . (3) 設(shè) ,...,..., 21 nAAA 是一列互不相交的集合 ,它們的基數(shù)均為 c ,則它們的和集 的 基數(shù)也為 c . (4) 實(shí)數(shù)列全體 E∞的基數(shù)為 c . (5) n 維歐幾里得空間 nR 的基數(shù)為 c . (6) 設(shè) M 是任意的一個(gè)集合 ,它的所有子集作成新的集合 ? 則 ? ? M . (7) 若用 c 表示全體實(shí)數(shù)所成集合 R 的基數(shù) ,用 a 表示全體正整數(shù)所成集合N 的基數(shù) ,則 c ? a . (8) 設(shè)有 c 個(gè)（ c 表示連續(xù)基數(shù)）集的并集 ,若每個(gè)集的基數(shù)都是 c ,則其和集的基數(shù)也是 c . 2 全體實(shí)數(shù)所成之集合 R 是一個(gè)不可數(shù)集合 實(shí)數(shù) 包括有理數(shù)和無理數(shù) .其中無理數(shù)就是 無限不循環(huán)小數(shù) ,有理數(shù)就包括整數(shù)和分?jǐn)?shù) .通俗地認(rèn)為 ,包含所有 有理數(shù) 和無理數(shù)的集合就是 實(shí)數(shù) 集 . 18 世紀(jì) ,微積分學(xué)在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來 .但當(dāng)時(shí)的實(shí)數(shù)集并沒有精確的定義 .直到 1871 年 ,德國數(shù)學(xué)家康托爾第一次提出了實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義 .定義是由四組公理為基礎(chǔ)的： 加法公理 ； 乘法公理 ； 序公理 ； 完備公理 ； 符合以上四組公理的任何一個(gè)集合都叫做實(shí)數(shù)集 ,實(shí)數(shù)集的元素 就是 實(shí)數(shù) . 定理 全體實(shí)數(shù)所成之集合 R 是一個(gè)不可數(shù)集合 . 長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 4 證法一 用 反證法 證明 .因?yàn)閷?shí)數(shù)集合與 ? ?1,0 是有一一對應(yīng)的 ,故只需說明? ?1,0 不可數(shù)就可以了 . 因?yàn)?f ： ? ?1,0 → R 是雙射函數(shù) ,令 S ={x |x ∈ R (0x 1)} ,若能證 S 是不可數(shù)集 ,則 R 也必為不可數(shù)集 . 假設(shè) S 是可數(shù)的 ,則 S 必可表示為 ： S ＝ { 1S , 2S ,…} ,其中 iS 是 ? ?1,0 區(qū)間的任意實(shí)數(shù) . 設(shè) iS ＝ .....0 321 yyy ,其中 iy ∈ ? ?9,...,2,1,0 ,設(shè) .......0 11312111 naaaaS ? , .......0 22322212 naaaaS ? , .......0 33332313 naaaaS ? , ???????? 其次 ,我們構(gòu)造一 個(gè)實(shí)數(shù) r = ....0 321 bbb 使 ．， 112
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