幾類常見的不可數(shù)集合證明-在線瀏覽
2024-11-05 13:37本頁面
【正文】 ,這與 X = ra 矛 盾 . (2)若 ra ? rX +r32,則此時有 1?rX = rX , 2?rX ? 1?rX + 232?r = rX + 132?r , ??????????? , krX? ? 11 3 2 ???? ? krkrX ? 122 3 23 2 ?????? ?? krkrkrX ?? ? rX + ??132r? +12 3 23 2 ???? ? krkr 令 ??k ,兩邊取極限得： 長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 7 X = krk X???lim? rX +311321??r =rX + r31 . 故 ra ? rX +r32? rX +r31? X .這也與 X = ra 矛盾 .因此 ,不論哪種情形 ,總有 X ? na ( ...21 ，?n ).所以 ,??1,0 ? ? ?,...,..., 21 naaa . 這與假設(shè)矛盾 ,從而 ??1,0 是不可數(shù)集合 . 3 其它 幾類 常見 的 不可數(shù)集證明 其它幾類常見的不可數(shù)集合有：無理數(shù)集 、康托爾集、可數(shù)集的冪集等等 . 無理數(shù)集是 一個不可數(shù)集合 無理數(shù) 集 是 由全體無理數(shù)所組成的集合 .無理數(shù) ,即非有理數(shù)之實數(shù) ,不能寫作兩整數(shù)之比 .若將它寫成小數(shù)形式 ,小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個 ,并且不會循環(huán) . 常見的無理數(shù)有大 多數(shù) 平方 根、 ? 和 e （其中后兩者同時為 超越數(shù) ）等 .無理數(shù)的另一特征是無限的 連分?jǐn)?shù) 表達(dá)式 . 定理 無理數(shù)集是 一個不可數(shù)集合 . 證明 第一步 ,先證 明 有理數(shù)集是可數(shù)集： 設(shè)??????? ...321 ， iiiAi ? ?...321 ，?i ,則 iA 是可數(shù)集 ,由可數(shù)集的性質(zhì) (4)我們知道全體正有理數(shù)成一可數(shù)集 ???? ?1i iAQ. 因正負(fù)有理數(shù)通過 ? ? rr ??? ,成為 1— 1 對應(yīng) .故全體負(fù) 有理數(shù)成一可數(shù)集?Q ,但有理數(shù)全體所成之集合 ?Q ?Q ? ?Q ? ??0 ,所以由可數(shù)集的性質(zhì) (5)知 Q為可數(shù)集 . 第二步 ,再證有限個可數(shù)集的并集還是可數(shù)集 . 容易找到一種 有限個可 數(shù)集 iA 的 排列順序 : ? ?,..., 141312111 aaaaA ??? , 長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 8 ↙ ↗ ↙ ? ?,..., 242322212 aaaaA ? , ↓↗ ↙ ? ?,..., 343332313 aaaaA ? , ↙ ? ?,..., 444342414 aaaaA ? ↓ ?????????? . 按照箭頭順序可將 ???1i iA排成 : ???1i iA=? ?,..., 14132231211211 aaaaaaa 因此 , ???1i iA是可數(shù)集 . 第三步 ,接著證明實數(shù)集是不可數(shù)集 . 關(guān)于這個證明 本文在前面已經(jīng)給出了很多種證明方法 ,在此 就不贅述了，基本 上都 是用反證法 ,即先用一種排列 來 表示實數(shù)集 ,再由這種表示法推出一定有一個實數(shù)不能被這種排列所表示 ,由此推出矛盾 . 第四步 ,證明無理數(shù)集是不可數(shù)集 . 用 反證 法證明 .假設(shè) 無理數(shù)集是可數(shù)集 ,在第一步我們已經(jīng)證出有理數(shù)集是可數(shù)集 ,那么實數(shù)集 也應(yīng)該是可數(shù)集 (實數(shù)集等于有理數(shù)與無理數(shù)的并 ).而第三步我們已經(jīng)證出了 實數(shù)集是不可數(shù)集 ,與 假設(shè) 矛盾 .所以無理數(shù)集是不可數(shù)集 .證畢 . Cantor 集是一個不可數(shù)集合 Cantor集 ,又稱三分集 .是位于一條線段上的一些點的集合 ,具有許多顯著和深刻的性質(zhì) ,常常是集合論中構(gòu)造特例的基礎(chǔ) .最常見的構(gòu)造是康托爾三分點集 ,長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 9 由不斷地去掉一條線段的中間三分之一得出 .著名的康托爾集是這樣構(gòu)成的： 定義 (1)設(shè)閉區(qū)間 ??1,0 R? ,將 ??1,0 三等分 ,并除去中間開區(qū)間 1I =(31 , 32 ).得兩個閉區(qū)間 =[0,31 ], =[32 ,1],區(qū)間長度為 1L =31 . (2)分別將閉區(qū)間 , 三等分 ,并出去中間兩個開區(qū)間 =(91 ,92 ), = (97 ,98 ).得到四個閉區(qū)間 =[0,91 ]
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