自控原理cai(編輯修改稿)
2024-10-07 07:29 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 一般非線性系統(tǒng)相軌跡實(shí)際上就是分段線性系統(tǒng)相軌跡，我們只需做好相軌跡在開(kāi)關(guān)線上的銜接工作。用相平面法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟： （ 1） 將非線性特性用分段的直線特性來(lái)表示 ， 寫(xiě)出相應(yīng)線段的數(shù)學(xué) 表達(dá)式 。 （ 2） 首先在相平面上選擇合適的坐標(biāo) ， 一般常用誤差及其導(dǎo)數(shù)分別為橫縱坐標(biāo) 。 然后將相平面根據(jù)非線性特性分成若干區(qū)域 ， 使非線性特性在每個(gè)區(qū)域內(nèi)都呈線性特性 。 （ 3） 確定每個(gè)區(qū)域的奇點(diǎn)類別和在相平面上的位置 。 （ 4） 在各個(gè)區(qū)域內(nèi)分別畫(huà)出各自的相軌跡 。 （ 5） 將相鄰區(qū)域的相軌跡 ， 根據(jù)在相鄰兩區(qū)分界線上的點(diǎn)對(duì)于相鄰兩區(qū)具有相同工作狀態(tài)的原則連接起來(lái) ， 便得到整個(gè)非線性系統(tǒng)的相軌跡 。 （ 6） 基于該相軌跡 ， 全面分析二階非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性例 ， 試取其系統(tǒng)在輸入信號(hào) （ 1 ） )(1)( tRtr ?? （ 2 ） vtRtr ??)( 作用下的相軌跡，并分析該系統(tǒng)的特性。1?k 1?K 1?T 初始狀態(tài) 0)0( ?c 0)0( ?c?解：死區(qū)特性的數(shù)字表達(dá)式為?????????????????eeeeeeeeeex0線性部分微分方程為KxccT ?? ???而 cre ??故有 rrTKxeeT ?????? ????根據(jù)死區(qū)特性，系統(tǒng)可分為三個(gè)區(qū)I 區(qū) rrTeeT ?????? ??? ?ee ?II 區(qū) rrTeeKeeT ???????????? )( ?ee ??III 區(qū) rrTeeKeeT ???????????? )( ?ee ??（ 1 ） )(1)( tRtr ??三個(gè)區(qū)的微分部分分別為I 0?? eeT ??? ?ee ?II 0)( ???? ???? eeKeeT ?ee ??III 0)( ???????? eeKeeT ?ee ??在 I 區(qū) ???Tdeed 1?常量 說(shuō)明相軌跡是斜率為T(mén)1? 的直線或 0?e? 的橫軸在 II 區(qū) eeeKedeed????)( ????奇點(diǎn)為 ?? eee ?? ,0 奇點(diǎn)正好位于 I ， II 區(qū)分界線上令 ??deed ?則有等傾線方程 ?????1)(??eeKe這里斜率為 ???1K得直線方程過(guò))0,(?e點(diǎn)2101?????????????????????? ????????459045???????????????????? ????????5045045??????????????????????同理在 III 區(qū)，等傾線為?????1)(??eeKe起始坐標(biāo)0)0()0()0()0()0()0()0()0(??????????ccreRcRcre????（ 2 ） vtRtr ??)(veeT ?? ??? ?ee ? 漸近線 ve ??veeKeeT ???? )( ???? ?ee ? 實(shí)奇點(diǎn) )0,(?eKv?veeKeeT ???? )( ???? ?ee ?? 虛奇點(diǎn) ( 0,?eKv? )例 1 求下列方程的奇點(diǎn)，并確定奇點(diǎn)類型（ 1 ） 02 2 ??? xxx ???（ 2 ） 0)1( 2 ???? xxxx ???解： 奇點(diǎn) 00?dxxd ? dxxdxx???? ? xxxfdxxd??? ),(?故可由0),(,0 ??? xxfxx ????來(lái)確定奇點(diǎn)（ 1 ） )(212xxx ??? ???令 ???????????????????000)(2102xxxxx???在奇點(diǎn)處，將),( xxf ?進(jìn)行泰勒 ( T a y l o r ) 級(jí)數(shù)展開(kāi)xxxxxxfxxxxxffxxfxxxx21)(),()(),()0,0(),(0000?????????????????????????故有 021??x??特征方程 0212??? 21j???故奇點(diǎn)為中心點(diǎn)?e（ 2 ）xxxx ??? ??? )1(2?????00xx?xxx ?? ??? 即 0??? xxx ???012??? ?? 231 j???所以為不穩(wěn)定焦點(diǎn)m?e例 3 解： )(10trKxeeTcerKxccT????????? ???????????????MMM s i g n ex00 ???????meemeeeemeeeeeme?????????? 0000????eeee????I 0?? eeT ??? ???????????0,0,emeeeeeeme??????II 0??? KMeeT ??? ??????0, emeeee???III 0??? KMeeT ??? ????????0, emeeee???I 區(qū) 相軌跡斜率為T(mén)1? 的直線或0?e?II 、 III 區(qū) 等傾線 ?? ?????11KMeKMe ??漸近線 KMeKMe ???? ??0?衰減振蕩，最終穩(wěn)態(tài)誤差為常值N ( A ) 一 ． 本質(zhì)非線性特性的諧波線性化 1． 諧波線性化：具有 本質(zhì)非線性的非線性 元件在正弦輸入作用 下 ， 在其非正弦周期函數(shù)的輸出響應(yīng)中 ， 假設(shè)只有基波分量有意義 ，從而將本質(zhì)非線性特性在這種假設(shè)下視為線性特性的一種近似 。 2 ．基波假設(shè)：自振狀態(tài)下，非線性部分和線性部分的輸入、輸出均可視為為同頻率的正弦信號(hào) （這里自振即 0)( ?tr ）3． 應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的前提 a所時(shí)的典型結(jié)構(gòu) x(t)中的基波分量最強(qiáng) G(s)的低通濾波效應(yīng)較好 4 ．描述函數(shù)定義 描述函數(shù)的模等于非正線周期輸出的基波 )s i n ()( 111 ??? wtxtx 的振幅與輸入正弦 wtAte s i n)( ? 的振幅 A 之比 Ax 1 ，其幅值為正線輸出 )(1 tx 相對(duì)正弦輸入 )( te 的相移 1? ，因此 11)( ?jeAxAN ? 設(shè)wtAte si n)( ?為非線性元件的正弦輸入其非線性周期輸出 )( tx 付立葉級(jí)數(shù)為)s i nc o s()(1wtBn w tAAtxnnn??? ???? )s i n (1nnnn w txA ???? ????式中 ????20c o s)(1n w t d w ttxAnnnnnnnBAa r c t gBAxwtn w t dtxnB????????22201)(s i n)(
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