【正文】 值大時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定 ， 。 在不同的初始條件下 ， 運(yùn)動(dòng)的最終狀態(tài)可能完全不同 。 對(duì)于線性定常系統(tǒng) ， 穩(wěn)定性僅取決于特征根在 s平面的分布 。通常是把討論問題的重點(diǎn)放在系統(tǒng)是否穩(wěn)定，系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩，計(jì)算機(jī)自持振蕩的振幅和頻率，消除自持振蕩等有關(guān)穩(wěn)定性的分析上。目前，還沒有像求解線 性微分方程那樣求解非線性微分方程的通用方法。而非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，不能使用疊加原理。同時(shí)抑制高頻低振幅噪聲，提高系統(tǒng)響應(yīng)控制信號(hào)的準(zhǔn)確度。 危害：使系統(tǒng)輸出信號(hào)在相位上產(chǎn)生滯后 ， 從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 ， 使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩 。 一 ． 控制系統(tǒng)中的典型非線性特性 下面介紹的這些特性中 ， 一些是組成控制系統(tǒng)的元件所固有的 ， 如飽和特性 ， 死區(qū)特性和滯環(huán)特性等 ， 這些特性一般來說對(duì)控制系統(tǒng)的性能是不利的；另一些特性則是為了改善系統(tǒng)的性能而人為加入的 ， 如繼電器特性 ， 變?cè)鲆嫣匦?， 在控制系統(tǒng)中加入這類特性 ， 一般來說能使系統(tǒng)具有比線性系統(tǒng)更為優(yōu)良的動(dòng)態(tài)特性 。自控原理 CAI 1 引言 第七章 非線性控制系統(tǒng)分析 非線性：指元件或環(huán)節(jié)的靜特性不是按線性規(guī)律變化。 非線性系統(tǒng)：如果一個(gè)控制系統(tǒng) ， 包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性靜特性的元件或環(huán)節(jié) ， 則稱這類系統(tǒng)為非線性系統(tǒng) ， 其特性不能用線性微分方程來描述 。 非線性系統(tǒng)分析 ?)( tx???????atetk a s i g neatetke)()()()(飽和特性 式中 ?a線性區(qū)寬度?k線性區(qū)特性的斜率)( te????????0)(10)(1)(tetets i gn e（ 2） 死區(qū)特性 ? ????????atetas i gekatetx)()()()(0)(式中 ?a 死區(qū)寬度k 線性輸出的斜率式中 ??2 間隙寬度?k 間隙特性斜率危害：使系統(tǒng)輸出信號(hào)在相位上產(chǎn)生滯后 ， 從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 ， 使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩 。 （ 4） 繼電器特性 ? ?? ????????????0)()(0)()(0)()()(txtb s i g n etxtektxtektx?????功能：改善系統(tǒng)性能的切換元件 （ 4） 繼電器特性 ???????????????????????0)(,)(0)(,)()()(0)(,)(00)(,)(0)(tematebtematebatetb s i g n etemateateatematx????變?cè)鲆嫣匦??????atetekatetektx)()()()()(21式中 21 , kk 變?cè)鲆嫣匦孕甭? a 切換點(diǎn)特點(diǎn)：使系統(tǒng)在大誤差信號(hào)時(shí)具有較大的增益，從而使系統(tǒng)響應(yīng)迅速；而在小誤差信號(hào)時(shí)具有較小的增益，從而提高系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。 本質(zhì)非線性：不能應(yīng)用小偏差線性化概念將其線性化 非本質(zhì)非線性：可以進(jìn)行小偏差線性化的非線性特 二 ． 非線性控制系統(tǒng)的特性 （ 1）對(duì)于線性系統(tǒng)，描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型量線性微分方程，它的根本標(biāo)志就在于能使用疊加原理。由于兩種系統(tǒng)特性上的這種差別，所以它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是很不相同的。而對(duì)非線性系統(tǒng)，一般并不需要求解其輸出響應(yīng)過程。 （ 2） 在線性系統(tǒng)中 ， 系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān) ， 而與初始條件無關(guān) 。 但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性除和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)有關(guān)外 ， 還和初始條件有關(guān) 。 如有的系統(tǒng)初始值處于較小區(qū)域內(nèi)時(shí)是穩(wěn)定的 ， 而當(dāng)初始值處于較大區(qū)域內(nèi)時(shí)則變?yōu)椴环€(wěn)定 。 甚至還會(huì)出現(xiàn)更為復(fù)雜的情況 。 自持振蕩：無外作用時(shí)非線性系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的穩(wěn)定的等幅振蕩稱為自持振蕩 ， 簡稱自振蕩 。 對(duì)線性系統(tǒng) ， 圍繞其平衡狀態(tài)只有發(fā)散和收斂兩種運(yùn)動(dòng)形式 ， 其中不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩 。而非線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量在一般情況下并不具有與輸入相同的函數(shù)形式。 對(duì)非本質(zhì)非線性系統(tǒng) 基于小偏差線性化概念來處理 對(duì)本質(zhì)非線性系統(tǒng) 二階系統(tǒng)：相平面法 高階系統(tǒng)：描述函數(shù)法 相平面法是一種通過圖解法求解二階非線性系統(tǒng)的準(zhǔn)確方法。因此對(duì)方程 （ 1 ）的研究，可以用研究方程 （ 3 ）來代替。用 x 和 x? 描述方程 （ 1 ）的解，也就是用質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài) （如位置和動(dòng)量）來表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。在自動(dòng)控制理論中，把具有直角坐標(biāo)的 x 和 x? 的平面稱為相平面，相平面是二維的狀態(tài)空間。 （ 1 ）無阻尼運(yùn)動(dòng)形式 （ 0?? ）?dxxd ?xxw n?2?積分有 x d xwxdx n? ? ?? 2??2222Awxxn???（ 2 ）欠阻尼運(yùn)動(dòng)形式 )10( ?? ?（ 2 ）欠阻尼運(yùn)動(dòng)形式 )10( ?? ?（ 3 ）過阻尼運(yùn)動(dòng)形式 （ 1?? ）（ 4 ）負(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)形式 （ 01 ??? ? ）（ 5 ） 1???（ 6） 三 .相軌跡的繪制 （ 1 ）解析法 繪制相軌跡的關(guān)鍵在于找出 x 和 x? 的關(guān)系用求解微分方程的辦法找出 xx ?, 的關(guān)系，從而可在相平面上繪制相軌跡，這種方法稱為解析法。在這兩個(gè)解中消去作為參變量的 t ，就得到 xx ?? 的關(guān)系。求其相軌跡。相軌跡必然以 ? 的斜率經(jīng)過等傾線步驟：a. 根據(jù)等傾線方程式 I ，做出不同 ? 值的等傾線b. 根軌初始條件確定相軌跡的起始點(diǎn)c. 從起始點(diǎn)處的等傾線向相鄰的第二條等傾線畫直線，它的斜率近似等于這兩條相鄰等傾線斜率的平均值。這段直線的斜率等于第二 . 第三等傾線斜率的平均值，如此繼續(xù)下去，即可作出相軌跡。 ? 函數(shù)定義如下22),(),(wxwxxfxx?????? 函數(shù)值取決于變量 x 和 x? ，而當(dāng) x 和 x? 變化很小時(shí) ),( xx?? 可以看作一個(gè)常量。 ),( 11 wxx ?附近的相軌跡可用這段圓弧來代替做圖步驟①在wxx?? 平面上，根據(jù)初始狀態(tài)的坐標(biāo) （ ),????wxx 計(jì)算出??②以 （ )0,?? 為圓心，過初始狀態(tài)作一小段圓弧，使系統(tǒng)的狀態(tài)從),(wxx???轉(zhuǎn)移到 ),(11wxx?③根據(jù) 1x 和wx1?求出 1? 后，以 )0,( 1? 為圓心，作過 ),(11wxx?的一段圓弧。 極限環(huán)內(nèi)部 （ 或外部 ） 的相軌跡 ， 總是不可能穿過極限環(huán)而進(jìn)入它的外部 （ 或內(nèi)部 ） 。 這時(shí) ， 系統(tǒng)表現(xiàn)為等幅持續(xù)振蕩 。在這種情況下，如果相軌跡起始于極限環(huán)內(nèi)，則該相軌跡收斂于極限環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)，如果相軌跡起始于極限環(huán)外，則該相軌跡發(fā)散至無窮遠(yuǎn)。或者相反，起始于極限環(huán)外部各點(diǎn)的相軌跡收斂于極限環(huán)，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡收斂于圓點(diǎn)。在相平面的不同區(qū)域內(nèi)，代表該非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微分方程是線性的，因而每個(gè)區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是線性系統(tǒng)的相軌跡，僅在不同區(qū)域的邊界上相軌跡要發(fā)生轉(zhuǎn)換。因此，一般非線性系統(tǒng)相軌跡實(shí)際上就是分段線性系統(tǒng)相軌跡，我們只需做好相軌跡在開關(guān)線上的銜接工作。 （ 2） 首先在相平面上選擇合適的坐標(biāo) ， 一般常用誤差及其導(dǎo)數(shù)分別為橫縱坐標(biāo) 。 （ 3） 確定每個(gè)區(qū)域的奇點(diǎn)類別和在相平面上的位置 。 （ 5） 將相鄰區(qū)域的相軌跡 ， 根據(jù)在相鄰兩區(qū)分界線上的點(diǎn)對(duì)于相鄰兩區(qū)具有相同工作狀態(tài)的原則連接起來 ， 便得到整個(gè)非線性系統(tǒng)的相軌跡 。1?k 1?K 1?T 初始狀態(tài) 0)0( ?c 0)0( ?c?解：死區(qū)特性的數(shù)字表達(dá)式為?????????????????eeeeeeeeeex0線性部分微分方程為KxccT ?? ???而 cre ??故有 rrTKxeeT ?????? ????根據(jù)死區(qū)特性，系統(tǒng)可分為三個(gè)區(qū)I 區(qū) rrTeeT ?????? ??? ?ee ?II 區(qū) rrTeeKeeT ???????????? )( ?ee ??III 區(qū) rrTeeKeeT ???????????? )( ?ee ??（ 1 ） )(1)