【文章內(nèi)容簡介】 時的自相關函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)取最大值，即 ? ? ? ?0xx xxRR??? ? ? ? ?0xx xxCC?? (4) 若 X(t)=X(t+T)，則其自相關函數(shù)也是周期為 T的周期函數(shù)，即 ? ? ? ?xx xxR R T???? ? ? ? ?xx xxC C T???? (5) 若均值 m0x? ，當 ??? 時， ??Xt與 ? ?Xt?? 相互獨立，有 ? ?lim 0xxx R ??? ? ，即對于零均值的平穩(wěn)隨機信號，當時間間隔τ很大時， ??Xt與 ? ?Xt?? 相互獨立，互不相關。 平穩(wěn)隨機信號的功率譜 定義：設 { ??Xt, ?? t ?? }是均方連續(xù)的隨機過程，稱 ? ?21lim 2 TTTp E X t d tT ??? ??? ?????為 ??Xt的平均功率。稱? ? ? ? 2,1l im 2X XTTS E FT ?? ?? ??? ????為 ??Xt的功率譜密度，簡稱譜密度。 9 （ 1）若 ? ?XRd????? ??? ，則 ? ?XS ? 是 ???XR 的傅里葉變換； ? ? ? ?? ? ? ?12ixXXixS R e dR S e d???????????????? ???????? (2) SX(? )是 ? 的非負實函數(shù)； (3) 實平穩(wěn)過程的譜密度是偶函數(shù)； 當 ? ?XS ? 是 ? 的有理函數(shù)時，其形式必為 ? ? 2 2 22 2 2 02 2 22 2 0nnnnX na a aS bb??? ?? ??? ? ?? ? ? ?， 其中 2na , 2mb 為常數(shù)，且 2 0na ? , mn? ，分母無實根。 隨機序列 ??Xn，它的相關函數(shù) ? ?xRm滿足其功率譜密度 ? ?xSm 具有如下式子： ? ? ? ?? ? ? ?12jmXXmjmXXS R m eR S e d??????????????? ?????? ????? 估計質量的評價標準 對于待估參數(shù)，不同的樣本值就會得到不同的估計值，這樣，要確定一個估計量的好壞，就不能僅僅依據(jù)某次抽樣的結果來衡量，而必須由大量抽樣的結果來衡量．對此，一個自然而基本的衡量標準是要求估計量無系統(tǒng)偏差。也就是說，盡管在一次抽樣中得到的估計值不一定恰 好等于待估參數(shù)的真值，但在大量重復抽樣時，所得到的估計值平均起來應與待估參數(shù)的真值相同．換句話說，我們希望估計量的均值（數(shù)學期望）應等于未知參數(shù)的真值，這就是所謂無偏性(Unbiasedness)的要求。 定義 :設來自總體 X的一個樣本，是總體參數(shù) ? 的一個估計量，若 E???? ,則稱 ?? 是 ? 的無偏估計量 (Unbiased Estimator)。一個估計量如果不是無偏的就稱它是有偏估計量。 E???? 稱為 ?? 估計量的偏差。無偏估計的實際意義就是無 10 系統(tǒng)偏差，估計量是否無偏是評價估計量好壞的一個重要標準，若 E???? ，但有 limn E????? ?，則稱 ?? 是 ? 的漸近無偏估計。 比較兩個無偏估計量優(yōu)劣的一個重要標準就是觀察它們哪一個取值更集中于待估參數(shù)的真值附近，即哪一個估計量的方差更小，這就是下面給出的有效性(Effectiveness)概念。 定義 : 設與 ? ?nXXX ?， 2122 ?? ??? 都 是 總 體 參 數(shù) ? 的 無 偏 估 計 ， 若12DD????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ,則稱 1?? 比 2?? 更有效。在 ?? 的所有無偏估計量中，如果存在一個估計量 0?? ，它的方差最小，則此估計量應當最好，并稱此估計量 0?? 為 ?? 的最小方差無偏估計，也稱其為最有效的． 估計量 ?? 的無偏性和有效性都是在樣本容量 n 固定的情況下討論的。由于估計量 ?? 和樣本容量 n 有關，我們自然希望當 n 很大時，一次抽樣得出的的 ?? 值能以很大的概率充分接近被估參數(shù) ? ，這就提出了相合性 (Consistency)（一致性）的要求。 定義： 設 ? ?1 2 , nX X X????? 是總體參數(shù) ? 的估計量，如果對任意 0?? 都有l(wèi)im 1n p????? ??, 則稱 ?? 是 ? 的相合估計量（或一致估計量）。 ? 是 ?? 的相合估計就意味著 ?? 依概率收斂于 ? .根據(jù)大數(shù)定律，無論總體 X服從什么分布，只要其 k 階原點矩 ? ?kk EX? ? 存在，則對任意 0?? 都有11lim 1N iXN i XEn ??? ???? ? ??????，所以樣本的 k 階原點矩11 n kkiA X in ?? ?始終是總體 k 階原點矩 k? 的相合估計。 進一步地 , 可以證明：只要相應的總體矩存在，矩估計必定是相合估計。特別地， Xu?? 總是 XuE? XuE? 的相合估計 , 樣本方差 2S 和樣本的二階中心矩 2nS 都是總 11 體方差 2? 的相合估計 S 和 s 又都是 ? 的相合估計。由 相合性定義可以看出，若 ??是 ? 的相合估計，當樣本容量很大時，一次抽樣得到的 ?? 值便可作為 ? 的較好近似值 [14]。 3 經(jīng)典功率譜估計 經(jīng)典譜估計方法是以傅里葉變換為基礎的方法，主要有兩 類：周期圖法和自相關法（布萊克曼 — 圖基法，簡稱 BT 法）。這兩類方法都與相關函數(shù)有著密切的聯(lián)系，由維納 —— 辛欽定理可知，功率譜和相關函數(shù)之間的關系是一對傅里葉變換，因而可以從觀測數(shù)據(jù)直接估計相關函數(shù)，根據(jù)估計出來的相關函數(shù)，求它的傅立葉變換，就可以得到功率譜的估計值。 譜估計與相關函數(shù) 相關函數(shù)和功率譜 若 ?? xx mnm )( 常數(shù)， ? ? ? ?1 2 1 2,xx xxr n n r n n??即 ? ? ? ? ? ?][ * nxknxEkrxx ?? ，則稱 )}({ nx 為廣義平穩(wěn)序列。 若 )}({ nx 和 )}({ ny 均為廣義平穩(wěn)序列，且 ? ? ? ?2121 , nnrnnr xyxy ?? 即：? ? ? ? ? ?][ * nyknxEkrxy ?? ，則稱 )}({ nx 和 )}({ ny 為廣義聯(lián)合平穩(wěn)序列。廣義平穩(wěn)隨機序列 )}({ nx 的相關函數(shù) )(krxx 和它的功率譜密度 )(?xxP 之間是傅立葉變換對的關系，即 ? ? ? ? ?? ? dekrP kjk xxxx ???????? ? ? ? ?12 jkxx xxr k P e d? ?? ??? ?? ? 這一關系式常稱為維納 —— 辛欽定理。 由自相關函數(shù)和功率譜密度的定義，不難得出它們的一些基本性質，主要有： 當 )}({ nx 為復序列時， )(*)( krkr xxxx ?? ；若 )}({ nx 為實序列，則相關函數(shù)為偶函數(shù)，即 )()( krkr xxxx ?? 。 12 相關函數(shù)的極大值出現(xiàn)在 0?k 處，即 )0()( xxxx rkr ? 。 若 )(nx 含有周期性分量，則 )(krxx 也含有同一周期的周期性分量，否則，當 ??k 時， 0)( ?krxx 。 當 )(nx 為實序列時， )(?xxP 為非負實對稱函數(shù)，即 )()( ?? xxxx PP ?? 和0)( ??xxP 。 平穩(wěn)隨機序列 )}({ nx 的自相關函數(shù) )0(xxr 是實的且為正，而且對任一 )(na序列和任一 M ，自相關函數(shù)（ ACF）滿足： ? ?)1(,),1(),0( ?Nxxx ? ，這個函 數(shù)稱為半正定的。 自相關函數(shù)（ ACF）和互相關函數(shù)（ CCF）的 z 變換定義為： ? ? ? ? kk xxxx zkrzP ???????? ； ? ? ? ? kk xyxy zkrzP ???????? ， 若令 ff,2??? 為歸一化頻率，頻率區(qū)間 2121 ??? f 為基本周期。則上述兩式功率譜密度又可分別表示為： ?????? ?? k fkjxxxx ekrfP ?2)()( ?????? ?? k fkjxyxy ekrfP ?2)()( 其中， )(fPxx 是實的，且非負。 當一平穩(wěn)隨機序列 )}({ nx 通過一個脈沖響應為 )(nh 的線性非時變系統(tǒng)時，其輸出序列 )}({ ny 也是一平穩(wěn)隨機序列。它的自相關函數(shù)為： )(kryy )()()( * krkhkh xx???? )()*1(*)()( zPzHzHzP xxyy ? 若 )(nh 為實系統(tǒng)，則 )1()*1(* zHzH ? 。令 )2e x p ()e x p ( fjjz ?? ?? ，得到相應的功率譜表達： )()()( 2 ??? xxyy PHP ? 或 )()( 2 fPfHf xxyy ? ，上述關系對 13 以后討論譜估計問題是很有用的。 ???? ??2/12/1 )()(21)0( dffPdPr yyyy?? ???為輸出過程 )}({ ny 的平均功率。 經(jīng)常會遇到的一種過程是離散白噪聲，它的自相關函數(shù)（ ACF）定義為： )()( 2 kkr xxx ??? ，其中 )(k? 是離散沖激函數(shù)。這就是說，各樣本之間彼此是不相關的。 所以 222/12/1 )()( xfjxxxx dfekrfP ?? ?? ??? ， 這表明它在各頻率上是完全平坦的。換句話說，白噪聲的所有頻率分量均具有相同的功率 [15]。 相關函數(shù)的估計 自相關函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性 一般說來，嚴格各態(tài)歷經(jīng)過程允許我們用時間平均來代替系綜平均（集合平均或統(tǒng)計平均），用時間平均作為廣義平穩(wěn)隨機過程均值的估計。 ????? ??? M Mn xM nxEnxM ?)}({)(12 1l i m ????? ????? M Mn xxM krknxnxEknxnxM )()]()(*[)()(*12 1l i m 實際所能得到的隨機序列的樣本數(shù)總是有限的，由有限個樣本通過某種運算求出的序列的均值和自相關函數(shù)統(tǒng)計特征值叫做它們的估計值。下面討論隨機序列有限個樣本的相關函數(shù)的估計問題。 設 }1,1,0),({ ?? Nnnx ?為實隨機序列 )}({ nx 的一批樣本，共有 N 個值。有時簡稱之為長度為 N的隨機序列 )(nx 。 方法一：根據(jù)假定的自相關函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性（或遍歷性），可用下式估計它的自相關函數(shù)，即 ? ?? ? ??? 10 )()(1)(? kN nxx nxknxkNkr ])()([1)](?[ 10? ?? ? ??? kN nxx nxknxEkNkrE ? ??? ??? 10 )()(1 kN n xxxx krkrkN 14 當 ??N 時， 0)}(?var{ ?krxx ，因此 )(? krxx 是相關函數(shù) )(krxx 的無偏估計且是漸近一致的，即當 k 為有限值時， )(? krxx 是 )(krxx 的一致估計。 方法二：有限長度序列 }1,1,0),({ ?? Nnnx ?的相關函數(shù) )(krxx 的另一種估計方法可表示為 ? ??? ?? 10 )()(1)(? kN nxx nxknxNkr （ 31） )()]()([1)](?[ 10 krN kNnxknxENkrE xxkN nxx ? ?? ? ???? 可見，它是相關函數(shù) )(krxx 的有偏估計。但是，當 ??N ，估計值是漸近無偏的。 當 ??N 時， 0)}(?var{ ?krxx ，即（ 31）式的 )(? krxx 也是 )(krxx 的一致估計。（ 31）式所定義的相關函數(shù)取傅立葉變換求功率譜估計時，在計算上有某些方便之處，以后的討論中，如不作特別申明，將采用這種有偏估計表示式求相關函數(shù)的估計式。 功率譜密度的另一個定義 : 可以證明，功率譜密度（ PSD）的一個近似等效的定義是 })2(e xp)(12 1{l i m)( 2fnjnxMEfP M MnMxx ???? ????? （ 32） 上式定義的 PSD 與維納一辛欽定理 ?????? ?? k xxxx fkjkrfP )2e xp ()()( ?（ 33） 是等效的。 由（ 32）式和由（ 33）式維納一辛欽定理給出的 PSD的等效定義將作為經(jīng)典譜估計方法的基礎 [16]。 15 周期圖法 周期圖法的定義 周期圖法，它是把隨機序列 ??xn的 N 個觀測數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計算 ??xn的離散傅立葉變換，得 ??Xk， 然后再取其幅值的平方，并除以 N，作為序列 ??xn真實功率譜的估計。 周期圖譜估計定義為： 210 )2e xp ()(1)(? ??? ??NnPER fnjnxNfP ? 可以證明，周期圖等于估計出的自相關序列的傅里葉變換，或 )](?[ fPE PER ????? ??1)1( )2e xp()(?)(? NNk xxPER fkjkrfP ?