基于dsp的fft算法進行頻譜分析畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-19 16:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 換得出 （8） （9）其中。式（8）稱為離散傅立葉正變換，式（9）稱為離散傅立葉逆變換，x(n)與X(k)構(gòu)成了離散傅立葉變換對。根據(jù)上述公式，計算一個X(k)，需要N次復數(shù)乘法和N1次復數(shù)加法，而計算全部X(k)( )，共需要次復數(shù)乘法和N(N1)次復數(shù)加法。實現(xiàn)一次復數(shù)乘法需要四次實數(shù)乘法和兩次實數(shù)加法，一次復數(shù)加法需要兩次實數(shù)加法，因此直接計算全部X(k)共需要4次實數(shù)乘法和2N(2N1)次實數(shù)加法。當N較大時，對實時信號處理來說，對處理器計算速度有十分苛刻的要求，于是如何減少計算離散傅里葉變換運算量的問題變得至關(guān)重要。為減少運算量，提高運算速度，就必須改進算法。計算DFT過程中需要完成的運算的系數(shù)里，存在相當多的對稱性。通過研究這種對稱性，可以簡化計算過程中的運算，從而減少計算DFT所需的時間。如前所述，N點的DFT的復乘次數(shù)等于。顯然，把N點的DFT分解為幾個較短的DFT，可是乘法的次數(shù)大大減少。另外，旋轉(zhuǎn)因子具有明顯的周期性和對稱性，其周期為：其對稱性表現(xiàn)為： 或FFT算法就是不斷地把長序列的DFT分解成幾個短序列的DFT，并利用的周期性和對稱性來減少DFT的運算次數(shù)。具有以下固有特性：(1)的周期性：(2)的對稱性： (3)的可約性：另外。利用的上述特性，將x(n)或X(k)序列按一定規(guī)律分解成短序列進行運算，這樣可以避免大量的重復運算，提高計算DFT的運算速度。算法形式有很多種，但基本上可以分為兩大類，即按時間抽取(Decimation In Time，DIT)FFT算法和按頻率抽取(Decimation In Frequency，DIF)FFT算法。 基2FFT算法 如果序列x(n)的長度，其中M是整數(shù)(如果不滿足此條件，可以人為地增補零值點來達到)，在時域上按奇偶抽取分解成短序列的DFT，使最小DFT運算單元為2點。通常將FFT運算中最小DFT運算單元稱為基(radix)，因而把這種算法稱為基2時間抽取FFT(DITFFT)算法[4]。將x(n)按n為奇偶分解成兩個子序列，當n為偶數(shù)時，令n=2r；當n為奇數(shù)時，令n=2r+l；可得到 （10）則其DFT可寫成 （11）和均分別是N/2點序列和的DFT，而且r與k的取值滿足0,1,…,N/21。而X(k)是一個N點的DFT，因此式（11）只計算了X(k)的前N/2的值。由DFT和的性質(zhì)可得到X(k)的后N/2的值為： （12）式（11）和式（12）表明，只要計算出兩個N/2點的DFT 和，經(jīng)過線性組合，即可求出全部N點的X(k)。由于，仍為偶數(shù)，因而這樣的分解可以繼續(xù)進行下去，直到最后的單元只需要做2點DFT為止。若Xm(p)和Xm(q)為輸入數(shù)據(jù)，和為輸出數(shù)據(jù)，為旋轉(zhuǎn)因子，則對于基2DITFFT算法，蝶形運算的基本公式為 其圖形表示如圖1所示，稱Xm(P)為上結(jié)點，Xm(q)為下結(jié)點。圖1 時間抽取蝶形運算單元對于一個8點的FFT，根據(jù)上述算法可以得到一個完整的N=8的基2DITFFT的運算流圖，如圖2所示。圖2 N=8 DITFFT運算流圖根據(jù)上述算法原理及運算流圖，可以得出基2DITFFT的基本特點，特點如下。(1)級數(shù)分解：對于。共分了M級，每級包含N/2個蝶形運算單元，總共所需蝶形運算個數(shù)為。(2)運算量估計：每個蝶形運算需要一次復數(shù)乘法和兩次復數(shù)加(減)法，N點FFT共需要次復數(shù)乘法，次復數(shù)加(減)法。實際上有些蝶形運算不需要做復乘。(3)原位運算：當數(shù)據(jù)輸入到存儲器以后，每一組蝶形運算后，結(jié)果仍然存放在這同一組存儲器中的同一位置，不需要另辟存儲單元，直到最后輸出。(4)位碼倒序：由圖2可以看到，F(xiàn)FT輸出的X(k)的次序正好是順序排列的，即X(0)，X(1)，…,X(7)，而輸入X(n)是按x(0)，X(4)，…,X(7)的倒序存入存儲單元，即為倒序輸入，正序輸出。這種順序看起來相當雜亂，然而它是有規(guī)律的，即位碼倒序規(guī)則。(5)旋轉(zhuǎn)因子的確定：由8點FFT的三次迭代運算可以看出的變化。在第一級迭代中，只有一種類型的蝶形運算系數(shù)，即，參加蝶形運算的兩個數(shù)據(jù)點間隔為l；在第二級迭代中，有兩種類型的蝶形運算系數(shù)，分別是和，參加蝶形運算的兩個數(shù)據(jù)點間隔為2；在第三級迭代中，有四種類型的蝶形運算系數(shù)，分別是，，參加蝶形運算的兩個數(shù)據(jù)點間隔4?？梢?，每次迭代的蝶形類型比前一迭代增加一倍，間隔也增大一倍。最后一次迭代的蝶形類型最多，參加蝶形運算的兩個數(shù)據(jù)點的間隔也最大，為N/2。4 FFT算法的DSP實現(xiàn) MATLAB仿真 相關(guān)的MATLAB功能函數(shù)簡介（1）圖像顯示函數(shù)：plot，x軸和y軸均為線性刻度。(2) 圖形生成函數(shù)：figure，生成圖形窗口。（3）FFT函數(shù)：fft（S），其中S為加窗后的一個幀信號。因為實時信號FFT的頻域樣值關(guān)于中點（即采樣頻率的1/2）對稱，所以fft(S)給出的矩陣數(shù)據(jù)只有前半部分有用。（4）復數(shù)取共軛函數(shù)：conj（Z），其中Z是fft的結(jié)果。該函數(shù)在求X(m,k)（是個復數(shù)）的幅度時是有用的。(5) randn：產(chǎn)生正態(tài)分布的隨機數(shù)或矩陣的函數(shù)[56]。 用FFT變換進行頻譜分析在MATLAB軟件上的驗證 為了驗證FFT算法的正確性，在這里設定一個由=50Hz，=200Hz正弦波組成的信號，給信號加上一個高斯白噪聲。以=1000Hz的采樣頻率進行采樣，進行N=2048點的FFT分析。在MATLAB軟件上進行編程仿真，我們可以得到信號的時域波形（如圖3所示）和譜分析曲線（如圖4
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