【正文】 2 對 ??Rn進(jìn)行傅立葉變換，便得到 ??xn的功率譜估計(jì)。周期圖法包含了下列二條假設(shè)： 認(rèn)為隨機(jī)序列是廣義平穩(wěn)且各態(tài)遍歷的，可以用其一個樣本 ??xn中的一段來估計(jì)該隨機(jī)序列 ??Xn的功率譜 ,這當(dāng)然必帶來誤差。如果隨機(jī)信號是平穩(wěn)的，那么其相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換就是它的功率譜密度函數(shù)，簡稱功率譜。從信號的特征來分，在這之前所說的方法都是對平穩(wěn)隨機(jī)信號而言，其譜分量不隨時間變化，對非平穩(wěn)隨機(jī)信號，其譜是時變的，近 20 年來，以 wigner 分析為代表的時域分析引起了人們的廣泛興趣，形成了現(xiàn)代譜估計(jì)的一個新的研究領(lǐng)域。 現(xiàn)代譜估計(jì)的內(nèi)容極 其豐富，涉及的學(xué)科及應(yīng)用領(lǐng)域也相當(dāng)廣泛，方法大致可分為參數(shù)模型譜估計(jì)和非參數(shù)模型譜估計(jì)，前者有 AR 模型法 (最大熵譜分析法 )、MA 模型， ARMA 模型、 Prony 指數(shù)模型等；后者有最小方差法，多分量的 MUSIC 1 方法等 [8]。之后又陸續(xù)提出了 Wienerkhintchine 定理 、譜估計(jì)自相關(guān)法 BT 法等。周期圖較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。 “譜”最早是由英國科學(xué)家牛頓提出來的，后來法國工程師傅里葉提出了著名的傅里葉諧波分析理論，該理論至今仍然是我們進(jìn)行信號分析和處理的理論基礎(chǔ)。 關(guān)鍵字 ：數(shù)字信號處理，功率譜估計(jì)，周期圖法，自相關(guān)法， AR 模型法 II ABSTRACT Digital signal processing (DSP) important application of one of the field. Actually, we can’t get the expression of a specific signal, so we need to estimate the power spectral of a signal according to some sample data spectrum estimation which is widely used in various signal processing. In this thesis, some mon methods of Power Spectral Estimation, such as classical spectral estimation and modern spectral estimation, are studied. The quality of each estimation method is derived, simulation program and simulation figure is given. Classical methods of Power Spectral Estimation mainly include the Periodogram and the BT method. But both of them have a mon drawback: the data sequences, beyond the area of the observed sequences, are all presumed to zero. So the Windows and the average method are introduced to improve the quality of the Periodogram. Therefore the improvement of The Periodogram estimation method is proposed. The classification of modern spectral estimation methods are more , AR，MA, and ARMA is the most important parameters of modern spectral estimation. This thesis will focus on discussion of AR model parameters method. At the same time , It can be seen from the parison and realization of classical spectral estimation and modern spectral estimation, classical power spectrum estimation variance is poor, low resolution .The goal of modern spectral estimation is working to improve the resolution of spectral estimation, better results of the estimation of the power spectrum can be obtained, so it is applied more widely. Keywords: digital signal processing, Power Spectrum Estimation, The Periodogram, the BT methods， AR model 0 目 錄 摘 要 ....................................................... I ABSTRACT ................................................................................... 錯誤 !未定義書簽。在實(shí)際應(yīng)用中往往不能獲得具體信號的表達(dá)式 ,需要根據(jù)有限的數(shù)據(jù)樣本來獲得較好的譜估計(jì)效果，因而譜估計(jì)被廣泛的應(yīng)用于各種信號處理中 [1]。 本論文研究了功率譜估計(jì)的幾種常用的方法，包括經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)的各種方法，且對每種方法的估計(jì)質(zhì)量做了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，并給出仿真程序及仿真圖。 1 緒論 功率譜估計(jì)的發(fā)展 ........................................... 0 功率譜估計(jì)的方法 ........................................... 0 功率譜估計(jì)的提出 ........................................... 1 經(jīng)典譜估計(jì) ................................................. 1 現(xiàn)代譜估計(jì) ................................................. 2 功率譜估計(jì)應(yīng)用及用途 ....................................... 3 2 譜估計(jì)中的變量 隨機(jī)信號簡介 ............................................... 4 平穩(wěn)隨機(jī)信號 ............................................... 6 估計(jì)質(zhì)量的評價標(biāo) 準(zhǔn) ......................................... 9 3 經(jīng)典功率譜估計(jì) 譜估計(jì)與相關(guān)函數(shù) .......................................... 11 周期圖法 ................................................. 15 自相關(guān)法 ................................................. 17 直接法和間接法的關(guān)系 ...................................... 17 譜估計(jì)仿真與比較 .......................................... 18 本章小結(jié) ................................................. 25 4 現(xiàn)代譜估計(jì) 平穩(wěn)隨機(jī) 信號的參數(shù)模型 ..................................... 27 AR 模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算 ................................ 28 AR 模型譜估計(jì)的實(shí)現(xiàn)及性質(zhì) .................................. 31 MA 模型譜估計(jì) ............................................. 33 ARMA 模型譜估計(jì) ........................................... 35 小結(jié) ..................................................... 36 4 論文總結(jié) .................................................. 37 參考文獻(xiàn) ..................................................... 38 致 謝 ...................................................... 40 0 1 緒論 功率譜估計(jì)的發(fā)展 功率譜估計(jì)技術(shù)淵源流長，在過去的幾十年獲得了飛速的發(fā)展。傅里葉級數(shù)首先在觀察自然界中的周期現(xiàn)象得到應(yīng)用，但傅里葉的計(jì)算比較復(fù)雜，促使人們研制相應(yīng)的機(jī)器來計(jì)算傅里葉級數(shù)。 Yule在 1927 年提出了用線性回歸方程來模擬一個時間序列，從而發(fā)現(xiàn)隱含在該時間序列中的周期 ,從而發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代譜估計(jì)中最重要的方法 —— 參數(shù)模型法。所有這些都為現(xiàn)代譜估計(jì)的發(fā)展打下了良好的基礎(chǔ) [7]。其中周期圖法和 AR 模 型法是用得較多且最具代表性的方法。 功率譜估計(jì)的提出 在通信系統(tǒng)中，往 往需要研究具有統(tǒng)計(jì)特性的隨機(jī)信號。功率譜反應(yīng)了單位頻帶內(nèi)隨機(jī)信號的一個樣本信號來對該隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)做出估計(jì)。 由于對有限序列采用 DFT，就默認(rèn)此有限序列時域是周期的，以及該有限序列在頻域是周期的。 周期圖法與相關(guān)法相比，相關(guān)法在求相關(guān)函數(shù)時將有限長序列以外的數(shù)據(jù)看做是零，因此相關(guān)法認(rèn)為除有限長序列外 ??xn是全零序列，這種處理方法顯然和周期法不一樣。 法 Welch法對 Bartlett法進(jìn)行了兩方面的修正 :一是選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù) ??wn，并再周期圖計(jì)算前直接加進(jìn)去，加窗的優(yōu)點(diǎn)是無論什么樣的窗函數(shù)均可使譜估計(jì)非負(fù)。另外，經(jīng)典譜估計(jì)的功率譜定義中既無求均值運(yùn)算又無求極限運(yùn)算，因而使得譜估計(jì)的方差性能較差，當(dāng)數(shù)據(jù)很短時，這個問題更為突出，如何選取最佳窗函數(shù)、提高頻率分辨率，如何在數(shù)據(jù)情況下提高信號譜估計(jì)質(zhì)量，還需要進(jìn)一步研究 [10]。 功率譜估計(jì)應(yīng)用及用途 功率譜估計(jì)有著極其廣泛的應(yīng)用，不僅在認(rèn)識一個隨機(jī)信號時，需要估計(jì)它的功率譜。例如，當(dāng)我們要了解某一系統(tǒng)的幅頻特性 ? ?Hw時，可用一白色噪聲通過該系統(tǒng)，再從該系統(tǒng)的輸出樣本估計(jì)功率譜密度，故通過估計(jì)輸出信號的 PSD，可以估計(jì)出系統(tǒng)的頻率特性。所謂譜估計(jì)的分辨率可以粗略的定義為能夠分辨出的二個分立的譜分量間的最小頻率間隙，提高譜估計(jì)的分辨率已成為目前譜估計(jì)研究中的一個重要方向。例如某一時間內(nèi)公共汽車站等車乘客人數(shù)，電話交換臺在一定時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)等等，都是隨機(jī)變量的實(shí)例。隨機(jī)變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差別在于，后者的測定結(jié)果仍具有不確定性，即 模糊性 。例如某地區(qū)男性健康成人的身長值、體重值，一批傳染性肝炎患者的血清轉(zhuǎn)氨酶測定值等。 ? ? ? ?222x = d xD E X x p x????? ?； ? ? ? ?222x = XxQ E X u x u p x d x????? ? ?? 以上分別稱為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差和方差。 設(shè) E 是一個隨機(jī)試驗(yàn) , 樣本空間是 ??e?? ，設(shè) ? ?X X e? 和 ? ?Y Y e? 是定義在Ω上的隨機(jī)變量， 由它們構(gòu)成的一個向量 ? ?,XY 叫做二維隨機(jī)向量或二維 隨機(jī)變量。 瞬時值 ??xt 小于或等于某值 x 的概率定義為概率分布函數(shù)或累計(jì)概率分布函數(shù) ? ? ? ? ? ?p x p r o d x t x p d??????? ? ????? ? 表征了一個隨機(jī)過程自身在不同時刻的狀態(tài)間，或者兩個隨機(jī)過程在某個時刻狀態(tài)間線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。 自相關(guān)函數(shù)即為隨機(jī)過程兩不同時刻之值的相關(guān)性，又稱二階矩。 (5) 對變化迅速的信號（寬帶隨機(jī)過程），相關(guān)的程度在 ? 很小時就完全喪失。 平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及方差與 t 無關(guān)，它的自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔 12tt???有關(guān)；隨機(jī)過程的這種“平穩(wěn)”數(shù)字特征，有時就直接用來判斷隨機(jī)過程是否平穩(wěn)。但對于正態(tài)隨機(jī)過程兩者是等價的。 8 平穩(wěn)隨機(jī)信號自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：設(shè) ??Xt為平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為 ? ?xxR ?，自協(xié)方差函數(shù) ? ?xxC ? ，則它們有如