【正文】 法發(fā)現(xiàn)。 周期圖法改進(jìn)措施 加窗周期圖 周期圖法只用了 N 個(gè)樣本，這可以看作是用一長(zhǎng)度為 N 的矩形窗函數(shù)與原來(lái)無(wú)限長(zhǎng)的序列相乘的結(jié)果，我們知道，時(shí)域中兩函數(shù)相乘對(duì)應(yīng)于頻域中它們的傅立葉變換的卷積。由此可得出一個(gè)重要的看法：周期圖估計(jì)器是不可靠的，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差和均值一樣大，因而周期圖不是一致估計(jì)而其均值近似地等于要估計(jì)的量值。 對(duì)于高斯白噪聲的特殊情況， 22 )(),()( xxxxxx fPkkr ??? ?? ，結(jié)果為 : )()](?[ 2 fPfPE xxxP E R ?? ? 對(duì)于白噪聲情況，即使有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖也是無(wú)偏的。因此對(duì)有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖一般有偏的，但是當(dāng) ??N 時(shí)，它是無(wú)偏的 。 周期圖譜估計(jì)定義為： 210 )2e xp ()(1)(? ??? ??NnPER fnjnxNfP ? 可以證明，周期圖等于估計(jì)出的自相關(guān)序列的傅里葉變換，或 )](?[ fPE PER ????? ??1)1( )2e xp()(?)(? NNk xxPER fkjkrfP ? 其中 )(? krxx 是有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，定義為 : ???? ??kNnxx knxnxNkr10 )()(1)(? 周 期圖的性能 周期圖的期望值是 : ?)](?[ fPE PER ? ?? ?? 2/1 2/1 )()()}()({ ??? dPfWkrkw xxBxxB （ 34） 式中 )(fWB 是 Bartlett 窗（三角形窗）的傅里葉變換。 由（ 32）式和由（ 33）式維納一辛欽定理給出的 PSD的等效定義將作為經(jīng)典譜估計(jì)方法的基礎(chǔ) [16]。（ 31）式所定義的相關(guān)函數(shù)取傅立葉變換求功率譜估計(jì)時(shí)，在計(jì)算上有某些方便之處，以后的討論中，如不作特別申明，將采用這種有偏估計(jì)表示式求相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式。但是，當(dāng) ??N ，估計(jì)值是漸近無(wú)偏的。 方法一：根據(jù)假定的自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性（或遍歷性），可用下式估計(jì)它的自相關(guān)函數(shù)，即 ? ?? ? ??? 10 )()(1)(? kN nxx nxknxkNkr ])()([1)](?[ 10? ?? ? ??? kN nxx nxknxEkNkrE ? ??? ??? 10 )()(1 kN n xxxx krkrkN 14 當(dāng) ??N 時(shí)， 0)}(?var{ ?krxx ，因此 )(? krxx 是相關(guān)函數(shù) )(krxx 的無(wú)偏估計(jì)且是漸近一致的，即當(dāng) k 為有限值時(shí)， )(? krxx 是 )(krxx 的一致估計(jì)。 設(shè) }1,1,0),({ ?? Nnnx ?為實(shí)隨機(jī)序列 )}({ nx 的一批樣本，共有 N 個(gè)值。 ????? ??? M Mn xM nxEnxM ?)}({)(12 1l i m ????? ????? M Mn xxM krknxnxEknxnxM )()]()(*[)()(*12 1l i m 實(shí)際所能得到的隨機(jī)序列的樣本數(shù)總是有限的，由有限個(gè)樣本通過(guò)某種運(yùn)算求出的序列的均值和自相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值叫做它們的估計(jì)值。換句話說(shuō)，白噪聲的所有頻率分量均具有相同的功率 [15]。這就是說(shuō)，各樣本之間彼此是不相關(guān)的。 ???? ??2/12/1 )()(21)0( dffPdPr yyyy?? ???為輸出過(guò)程 )}({ ny 的平均功率。它的自相關(guān)函數(shù)為： )(kryy )()()( * krkhkh xx???? )()*1(*)()( zPzHzHzP xxyy ? 若 )(nh 為實(shí)系統(tǒng)，則 )1()*1(* zHzH ? 。則上述兩式功率譜密度又可分別表示為： ?????? ?? k fkjxxxx ekrfP ?2)()( ?????? ?? k fkjxyxy ekrfP ?2)()( 其中， )(fPxx 是實(shí)的，且非負(fù)。 平穩(wěn)隨機(jī)序列 )}({ nx 的自相關(guān)函數(shù) )0(xxr 是實(shí)的且為正，而且對(duì)任一 )(na序列和任一 M ，自相關(guān)函數(shù)（ ACF）滿足： ? ?)1(,),1(),0( ?Nxxx ? ，這個(gè)函 數(shù)稱(chēng)為半正定的。 若 )(nx 含有周期性分量，則 )(krxx 也含有同一周期的周期性分量，否則，當(dāng) ??k 時(shí)， 0)( ?krxx 。 由自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的定義，不難得出它們的一些基本性質(zhì)，主要有： 當(dāng) )}({ nx 為復(fù)序列時(shí)， )(*)( krkr xxxx ?? ；若 )}({ nx 為實(shí)序列，則相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即 )()( krkr xxxx ?? 。 若 )}({ nx 和 )}({ ny 均為廣義平穩(wěn)序列，且 ? ? ? ?2121 , nnrnnr xyxy ?? 即：? ? ? ? ? ?][ * nyknxEkrxy ?? ，則稱(chēng) )}({ nx 和 )}({ ny 為廣義聯(lián)合平穩(wěn)序列。這兩類(lèi)方法都與相關(guān)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，由維納 —— 辛欽定理可知，功率譜和相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系是一對(duì)傅里葉變換，因而可以從觀測(cè)數(shù)據(jù)直接估計(jì)相關(guān)函數(shù)，根據(jù)估計(jì)出來(lái)的相關(guān)函數(shù)，求它的傅立葉變換，就可以得到功率譜的估計(jì)值。由 相合性定義可以看出，若 ??是 ? 的相合估計(jì)，當(dāng)樣本容量很大時(shí)，一次抽樣得到的 ?? 值便可作為 ? 的較好近似值 [14]。 進(jìn)一步地 , 可以證明：只要相應(yīng)的總體矩存在，矩估計(jì)必定是相合估計(jì)。 定義： 設(shè) ? ?1 2 , nX X X????? 是總體參數(shù) ? 的估計(jì)量，如果對(duì)任意 0?? 都有l(wèi)im 1n p????? ??, 則稱(chēng) ?? 是 ? 的相合估計(jì)量（或一致估計(jì)量）。在 ?? 的所有無(wú)偏估計(jì)量中，如果存在一個(gè)估計(jì)量 0?? ，它的方差最小，則此估計(jì)量應(yīng)當(dāng)最好，并稱(chēng)此估計(jì)量 0?? 為 ?? 的最小方差無(wú)偏估計(jì)，也稱(chēng)其為最有效的． 估計(jì)量 ?? 的無(wú)偏性和有效性都是在樣本容量 n 固定的情況下討論的。 比較兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量?jī)?yōu)劣的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)就是觀察它們哪一個(gè)取值更集中于待估參數(shù)的真值附近，即哪一個(gè)估計(jì)量的方差更小，這就是下面給出的有效性(Effectiveness)概念。 E???? 稱(chēng)為 ?? 估計(jì)量的偏差。 定義 :設(shè)來(lái)自總體 X的一個(gè)樣本，是總體參數(shù) ? 的一個(gè)估計(jì)量，若 E???? ,則稱(chēng) ?? 是 ? 的無(wú)偏估計(jì)量 (Unbiased Estimator)。 隨機(jī)序列 ??Xn，它的相關(guān)函數(shù) ? ?xRm滿足其功率譜密度 ? ?xSm 具有如下式子： ? ? ? ?? ? ? ?12jmXXmjmXXS R m eR S e d??????????????? ?????? ????? 估計(jì)質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 對(duì)于待估參數(shù)，不同的樣本值就會(huì)得到不同的估計(jì)值，這樣，要確定一個(gè)估計(jì)量的好壞，就不能僅僅依據(jù)某次抽樣的結(jié)果來(lái)衡量，而必須由大量抽樣的結(jié)果來(lái)衡量．對(duì)此，一個(gè)自然而基本的衡量標(biāo)準(zhǔn)是要求估計(jì)量無(wú)系統(tǒng)偏差。稱(chēng)? ? ? ? 2,1l im 2X XTTS E FT ?? ?? ??? ????為 ??Xt的功率譜密度，簡(jiǎn)稱(chēng)譜密度。 8 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：設(shè) ??Xt為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)為 ? ?xxR ?，自協(xié)方差函數(shù) ? ?xxC ? ，則它們有如下性質(zhì)： （ 1） 0?? 時(shí)的自相關(guān)函數(shù)等 于均方差，自協(xié)方差函數(shù)等于方差， 即 ? ? ? ?xxRR???? ? ? 20xx xCQ? (2) 當(dāng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是實(shí)函數(shù)時(shí)，其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即： ? ? ? ?xxRR???? ? ? ? ?xxCC???? (3) τ =0時(shí)的自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)取最大值，即 ? ? ? ?0xx xxRR??? ? ? ? ?0xx xxCC?? (4) 若 X(t)=X(t+T)，則其自相關(guān)函數(shù)也是周期為 T的周期函數(shù)，即 ? ? ? ?xx xxR R T???? ? ? ? ?xx xxC C T???? (5) 若均值 m0x? ，當(dāng) ??? 時(shí)， ??Xt與 ? ?Xt?? 相互獨(dú)立，有 ? ?lim 0xxx R ??? ? ，即對(duì)于零均值的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，當(dāng)時(shí)間間隔τ很大時(shí)， ??Xt與 ? ?Xt?? 相互獨(dú)立，互不相關(guān)。 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù) 實(shí) 隨機(jī)信號(hào) ??Xt的自相關(guān)函數(shù)定義：? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2, , ,x x x xR t t E X t X t x x f x x d d???? ? ? ??????? ??， 由于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，設(shè) 21tt??? , 則有? ? ? ?1 1 2 1 2 2 1 2 f x t t f x x ??、 x 、 、 、 、。但對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過(guò)程兩者是等價(jià)的。 (3) 寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（廣義平穩(wěn)） : 若 ??Xt的數(shù)學(xué)期望 ? ?xE X t a?????為常數(shù)，且自相關(guān)函數(shù) ? ? ? ?12,XXR t t R ?? 只與 12tt???有關(guān)，則稱(chēng) ??Xt為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，或稱(chēng)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望及方差與 t 無(wú)關(guān)，它的自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔 12tt???有關(guān)；隨機(jī)過(guò)程的這種“平穩(wěn)”數(shù)字特征，有時(shí)就直接用來(lái)判斷隨機(jī)過(guò)程是否平穩(wěn)。 (1) 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義 : 如果對(duì)于任意 n 和 12, , , nt t t 以及 ? 有? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , , , , , , , , ,n n n n nf x x x t t t f x x x t t t? ? ?? ? ? ? 則稱(chēng) ??Xt為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，或稱(chēng)狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 (5) 對(duì)變化迅速的信號(hào)（寬帶隨機(jī)過(guò)程），相關(guān)的程度在 ? 很小時(shí)就完全喪失。 自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)： (1) 自相關(guān)函數(shù)是 ? 的偶函數(shù) ? ? ? ?XXRR???? ； (2) 當(dāng) 0?? 時(shí)，自相關(guān)函數(shù)具有最大值， ? ? 220X x xRu???； (3) 周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號(hào)，但不保留原信號(hào)的相位信息。 自相關(guān)函數(shù)即為隨機(jī)過(guò)程兩不同時(shí)刻之值的相關(guān)性，又稱(chēng)二階矩。統(tǒng)計(jì)學(xué)中用相關(guān)系數(shù)xy 來(lái)描述變量 x， y 之間的相關(guān)性，函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)相關(guān)函數(shù)： ? ? ? ?? ? ? ?? ? 1 / 222xyxyx yE x yE x u E y u??????????????? ? ? ???? ? ? ? 隨機(jī)信號(hào)的特征 隨機(jī)信號(hào)具有不重復(fù)性、不確定性，通常用概率與統(tǒng)計(jì)方法研究其中是否存在某些重復(fù)、確定的成分。 瞬時(shí)值 ??xt 小于或等于某值 x 的概率定義為概率分布函數(shù)或累計(jì)概率分布函數(shù) ? ? ? ? ? ?p x p r o d x t x p d??????? ? ????? ? 表征了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程自身在不同時(shí)刻的狀態(tài)間，或者兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程在某個(gè)時(shí)刻狀態(tài)間線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。） 概率密度函數(shù)是為了表示瞬時(shí)數(shù)據(jù)落在指定幅值范圍的概率。 設(shè) E 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) , 樣本空間是 ??e?? ，設(shè) ? ?X X e? 和 ? ?Y Y e? 是定義在Ω上的隨機(jī)變量， 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量 ? ?,XY 叫做二維隨機(jī)向量或二維 隨機(jī)變量。例如 ? ?x k kku E X x p???，式中的 kp 是 X 取值為 kx 時(shí)的概率 [12]。 ? ? ? ?222x = d xD E X x p x????? ?； ? ? ? ?222x = XxQ E X u x u p x d x????? ? ?? 以上分別稱(chēng)為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差和方差。記為 ??Fx，即 ? ? ? ?F X P X x??，易知，對(duì)任意實(shí)數(shù) a,b,? ?ab? , ? ? ? ? ? ?a b aP X P X b P X? ? ? ? ? ?。例如某地區(qū)男性健康成人的身長(zhǎng)值、體重值，一批傳染性肝炎患者的血清轉(zhuǎn)氨酶測(cè)定值等。例如某地區(qū)某年人口的出生數(shù)、死亡數(shù)，某藥治療某病病人的有效數(shù)、無(wú)效數(shù)等。隨機(jī)變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差別在于，后者的測(cè)定結(jié)果仍具有不確定性，即 模糊性 。隨機(jī)變量可以是 離散 型的，也可以是 連續(xù) 型的。例如某一時(shí)間內(nèi)公共汽車(chē)站等車(chē)乘客人數(shù)，電話交換臺(tái)在一定時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)等等，都是隨機(jī)變量的實(shí)例。譜估計(jì)技術(shù)是現(xiàn)代信號(hào)處理的一個(gè)重要部分，還包括空間譜估計(jì)、高階譜估計(jì)等 [11]。所謂譜估計(jì)的分辨率可以粗略的定義為能夠分辨出的二個(gè)分立的譜分量間的最小頻率間隙，提高譜估計(jì)的分辨率已成為目前譜估計(jì)研究中的一個(gè)重要方向。這是功率譜估計(jì)在信號(hào)處理中的一個(gè)重要用途。例如，當(dāng)我們要了解某一系統(tǒng)的幅頻特性 ? ?Hw時(shí)，可用一白色噪聲通過(guò)該系統(tǒng)，再?gòu)脑撓到y(tǒng)的輸出樣本估計(jì)功率譜密度，故通過(guò)估計(jì)輸出信號(hào)的 PSD，可以估計(jì)出系統(tǒng)的頻率特性。在信 號(hào)處理的許多場(chǎng)所，要求預(yù)先知道信號(hào)的功率譜密度。 功率譜估計(jì)應(yīng)用及用途 功率譜估計(jì)有著極其廣泛的應(yīng)用，不僅在認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)信號(hào)時(shí)，需要估計(jì)它的功率譜。由已知白噪聲和系統(tǒng)函數(shù)求得的輸出序列，實(shí)際上是對(duì)原始觀測(cè)到的輸出信號(hào)的兩端進(jìn)行了估計(jì)或延拓。