【正文】 AR 模型階次 p 的選擇 準(zhǔn)則（最終預(yù)測誤差準(zhǔn)則） ? ? ? ?? ?112 ?? ??? mN mNmFPE m? 隨著 m的增加，使 ? ?mFPE 達(dá)到最小值時的 pm? 。當(dāng)均值為 1 時， ? ?jARPe?將在 ? ?jxPe? 的上下波動，即在有的區(qū)域， ? ? ? ?jjAR xP e P e???，而在另外的區(qū)域 ，? ? ? ??? jxjAR ePeP ? 。 AR 模型譜估計的性質(zhì) 譜的平滑特性 AR 模型是一有理分式，估計出的譜平滑，不需要像周期圖那樣再做平滑或平均，因此，不需要為此去犧牲分辨率。 31 (1)改進(jìn)協(xié)方差算法。 Burg算法。 “ 前向預(yù)測”是利用 n 之前的 P 個值對 ??xn性預(yù)測，如公式 (48)、 (49)、(410)所示；與之對應(yīng)的“后向預(yù)測”公式為 (411)、 (412)、 (413)，其中 ??en為為預(yù)測誤差， P 預(yù)測誤差功率， f 表示前向預(yù)測， b 表示后向預(yù)測。上式寫成矩陣形式，即 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2120 1 2 11 0 1 1 02 0 0 2 01 2 0 0 0x x x xx x x xx x x xx x x xr r r r pr r r r p ar r r r p ar p r p r p r??? ?????? ????????????????????????????? ?? ???? 上述兩式即是 AR模型的正則方程，又稱 YuleWalker 方程 [25]。 28 AR 模型的正則方程與參數(shù)計算 正則方程的求導(dǎo) 參數(shù)模型法功率譜估計的主要思想是：將廣義平穩(wěn)的過程 ??xn表示成一個輸入序列 ??un激勵線性系統(tǒng) ??Hz的輸出；由已知的 ??xn或其自相關(guān)函數(shù) ??mrx來估計 ??Hz的參數(shù)；由 ??Hz的參數(shù)估計 ??xn的功率譜。顯然，由于 ARMA 模型是一個零極點(diǎn)模型，它易于反映功率譜中的峰值和谷值。 ??Hz是一個因果的線性移不變離散時間系統(tǒng)，當(dāng)然，它應(yīng)該是穩(wěn)定的，其單位抽樣響應(yīng) ??hn是確定的。 在第一章已經(jīng)簡潔的介紹了現(xiàn)代譜估計的基本方法，這些方法技 術(shù)的目標(biāo)在于努力改善譜估計的分辨率。 27 4 現(xiàn)代譜估計 平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型 由上一章討論可知，經(jīng)典功率譜估計方法的方差性較差，分辨率較低。 這是因?yàn)樗鼈兊念l率分辨率約為數(shù)據(jù)長度的倒數(shù)，且與數(shù)據(jù)的特征或其信噪比無關(guān)，而實(shí)際應(yīng)用中一般不可能獲得很長的數(shù)據(jù)記錄； 2）經(jīng)典譜估計方法在工程中都是以離散傅立葉變換為基礎(chǔ)的，它隱含著對無限長數(shù)據(jù)序列進(jìn)行加窗處理（加了一個有限寬的矩形窗）。常用的兩種辦法是相關(guān)函數(shù)加窗和分段平均周期圖法，這兩種辦法都有實(shí)用價值，它們都采用了 FFT 算法，使得計算量大大減小。 25 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500505101520253035 圖 37 自相關(guān)法仿真圖 當(dāng) 1MN??時，自相關(guān)法與周期圖法估計出的功率譜是一樣的：當(dāng)1MN??時，自相關(guān)法的偏差大于周期圖法，在窗函數(shù)滿足一定條件時是漸進(jìn)無偏估計，方差小于周期圖的方差，分辨率比周期圖法低，是與窗函數(shù)的選擇有關(guān) [21]。 index=0:round(nfft/21)。unbiased39。 %采樣頻率 n=0:1/Fs:1。平滑是用一個適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)與算出的功率譜進(jìn)行卷積，使譜線平滑，這種方法得出的譜線是無偏的，方差也小，但分辨率下降。 figure(3) plot(f,plot_Pxx2)。 figure(1) plot(f,plot_Pxx)。 [Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range)。 %數(shù)據(jù)無重疊 range=39。 window=boxcar(100)。 Fs=1000。 pause。 k=index*Fs/nfft。 %加矩形窗 noverlap=0。n=0:1/Fs:1。%直接法 plot(f,10*log10(Pxx))。%產(chǎn)生含有噪聲的序列 xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。 譜估計仿真與比較 以下是利用 matlab 對周期圖法 進(jìn)行仿真，并得到仿真圖（ 31）。 利用觀測到的實(shí)隨機(jī)序列 ??nX ，估計自相關(guān)函數(shù)的兩種方法是：無偏自相關(guān)函數(shù)估計和有偏自相關(guān)函數(shù)估計。但有時為了減小方差，應(yīng)該把 LNK /? 選得大一些，或等效地把 L取得小一些。 平均周期圖估計器定義為： ???? 10 )( )(?1)(? Km mP E RA V P E R fPKfP 210)( )2e xp ()(1)(? ??? ??Ln mmP E R fnjnxLfP ? 其中 )(? )( fPmPER 是第 m 個數(shù)據(jù)組的周期圖。 平均周期圖 平均周期圖的思想：對一個隨機(jī)變量進(jìn)行觀測，得到 L 組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)， 17 用每一組數(shù)據(jù)求其均值，然后將 L 個均值加起來求平均。 若序列為單頻信號，則 )(fPxx 為 ? 函數(shù)，這樣，數(shù)據(jù)加窗后的譜估計值的均值與窗譜函數(shù)的平方 形狀相同，因此選用低旁瓣的數(shù)據(jù)窗可使得雜散響應(yīng)減少。這種所謂信號能量（向旁瓣）泄漏現(xiàn)象如果不設(shè) 法消除，也將妨礙周期圖譜估計法的應(yīng)用。 上述論證表明，我們不能寄希望于直接用周期圖方法獲得良好的譜估計，必須采用適當(dāng) 的修正措施減小估計方差，才能使之成為一種實(shí)用的方法 [17]。 )()](?[lim fPfPE xxP E RN ??? 這是由于 )(fWB 收斂到狄拉克 ? 函數(shù)。 15 周期圖法 周期圖法的定義 周期圖法，它是把隨機(jī)序列 ??xn的 N 個觀測數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計算 ??xn的離散傅立葉變換，得 ??Xk， 然后再取其幅值的平方，并除以 N，作為序列 ??xn真實(shí)功率譜的估計。 當(dāng) ??N 時， 0)}(?var{ ?krxx ，即（ 31）式的 )(? krxx 也是 )(krxx 的一致估計。有時簡稱之為長度為 N的隨機(jī)序列 )(nx 。 相關(guān)函數(shù)的估計 自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性 一般說來，嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)過程允許我們用時間平均來代替系綜平均（集合平均或統(tǒng)計平均），用時間平均作為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程均值的估計。 經(jīng)常會遇到的一種過程是離散白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)（ ACF）定義為： )()( 2 kkr xxx ??? ，其中 )(k? 是離散沖激函數(shù)。 當(dāng)一平穩(wěn)隨機(jī)序列 )}({ nx 通過一個脈沖響應(yīng)為 )(nh 的線性非時變系統(tǒng)時，其輸出序列 )}({ ny 也是一平穩(wěn)隨機(jī)序列。 當(dāng) )(nx 為實(shí)序列時， )(?xxP 為非負(fù)實(shí)對稱函數(shù)，即 )()( ?? xxxx PP ?? 和0)( ??xxP 。廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列 )}({ nx 的相關(guān)函數(shù) )(krxx 和它的功率譜密度 )(?xxP 之間是傅立葉變換對的關(guān)系，即 ? ? ? ? ?? ? dekrP kjk xxxx ???????? ? ? ? ?12 jkxx xxr k P e d? ?? ??? ?? ? 這一關(guān)系式常稱為維納 —— 辛欽定理。 3 經(jīng)典功率譜估計 經(jīng)典譜估計方法是以傅里葉變換為基礎(chǔ)的方法，主要有兩 類：周期圖法和自相關(guān)法（布萊克曼 — 圖基法，簡稱 BT 法）。 ? 是 ?? 的相合估計就意味著 ?? 依概率收斂于 ? .根據(jù)大數(shù)定律，無論總體 X服從什么分布，只要其 k 階原點(diǎn)矩 ? ?kk EX? ? 存在，則對任意 0?? 都有11lim 1N iXN i XEn ??? ???? ? ??????，所以樣本的 k 階原點(diǎn)矩11 n kkiA X in ?? ?始終是總體 k 階原點(diǎn)矩 k? 的相合估計。 定義 : 設(shè)與 ? ?nXXX ?， 2122 ?? ??? 都 是 總 體 參 數(shù) ? 的 無 偏 估 計 ， 若12DD????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ,則稱 1?? 比 2?? 更有效。一個估計量如果不是無偏的就稱它是有偏估計量。 9 （ 1）若 ? ?XRd????? ??? ，則 ? ?XS ? 是 ???XR 的傅里葉變換； ? ? ? ?? ? ? ?12ixXXixS R e dR S e d???????????????? ???????? (2) SX(? )是 ? 的非負(fù)實(shí)函數(shù)； (3) 實(shí)平穩(wěn)過程的譜密度是偶函數(shù)； 當(dāng) ? ?XS ? 是 ? 的有理函數(shù)時，其形式必為 ? ? 2 2 22 2 2 02 2 22 2 0nnnnX na a aS bb??? ?? ??? ? ?? ? ? ?， 其中 2na , 2mb 為常數(shù)，且 2 0na ? , mn? ，分母無實(shí)根。所以，平穩(wěn)隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)是時間間隔τ的函數(shù)，記為 ? ?xxR ? 。不難看出，嚴(yán)平穩(wěn)過程一定是寬平穩(wěn)過程，反之不一定。 (2) 平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征： 1) ? ?xE X t m?????,平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與時間無關(guān)； 2) ? ? 2xD X t Q?????， 平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差與時間無關(guān)； 3) ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 2 1 2 1 2, , ,X x x xR t t x x f x x d d R????? ? ? ?????其中： 12tt???； 4) ? ? ? ? ? ?212,X x X XC t t R m C??? ? ?。 (4) 當(dāng)隨機(jī)信號中含有周期信號時， ??XR ? 中也必定有周期性分量，且周期相同。 隨機(jī)過程在某一時刻 1t 的均值（一階矩）可將總體中各樣本函數(shù)在 1t 的瞬時值相加，然后除以樣本函數(shù)的個數(shù)而得到 ? ? ? ?1111lim N kN kt x tN? ?? ?? ?。 其定義為： ? ? ? ?001l i m l i m l i m xxx x Tpro b x x t x x TpxT? ? ? ? ????? ? ? ????? ????? ??。 在某些 實(shí)際問題中，往往需要同時用兩個或兩個以上的隨機(jī)變量來描述試驗(yàn)的結(jié)果。 分布函數(shù)的性質(zhì) (1) 單調(diào)不減性：若 12XX? , 則 ? ? ? ?12F x F x? ； (2) 歸一性：對任意實(shí)數(shù) x ， ? ?0 x 1F??，且 5 ? ? ? ?lim lim x = 0xxFF? ? ? ??? ? ， ? ? ? ?lim x = 1xFF???? ? (3) 左連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù) x， ? ? ? ?x = xFF?? 、方差、標(biāo)準(zhǔn)差 定義： ? ? ? ?x x p d xu E X x??????? ,為 X 的數(shù)學(xué)期望值，或簡稱為均值。② 連續(xù)型隨機(jī)變量 ，即 在一定區(qū)間內(nèi)變量取值有無限個 ,或數(shù)值無法一一列舉出來。 如 分析 測試中的測定值就是一個以概率取值的隨機(jī)變量，被測定量的取值可能在某一范圍內(nèi)隨機(jī)變化，具體取什么值在測定之前是無法確定的，但測定的結(jié)果是確定的，多次重復(fù)測定所得到的測定值具有 統(tǒng)計 規(guī)律性。 4 2 譜估計中的變量 隨機(jī)信號簡介 隨機(jī)變量 隨機(jī)變量（ random variable）表示隨機(jī)現(xiàn)象（在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象）各種結(jié)果的變量（一切可能的 樣本點(diǎn) ）。但是這要求功率譜估計有足夠好的頻率的分辨率，否則就不一定能夠清楚地檢測出來。例如，在最佳線性過濾問題中，要設(shè)計一個維納濾波器就首先要求知道信號與噪聲的功率譜密度，根據(jù)信號與噪聲的功率譜才能設(shè)計出能夠盡量不失真的重現(xiàn)信號，而把噪聲最大限度抑制的維納濾波器常常利用功率譜估計來得到線性系統(tǒng)的參數(shù)估計。數(shù)據(jù)長度加寬以后，頻譜分辨率會得到改善！因此現(xiàn)代譜估計優(yōu)于經(jīng)典譜估計。 在經(jīng)典譜估計中，無論是周期圖法還是其改進(jìn)方法，都存在著頻率分辨率低、方差性能不好的問題，原因是譜估計時需要對數(shù)據(jù)加窗截斷，用有限個數(shù)據(jù)或其自相關(guān)函數(shù)來估計無限個數(shù)據(jù)的功率譜，這其實(shí)是假設(shè)了窗以外的數(shù)據(jù)或自相關(guān)函數(shù)全為零，這種假設(shè)是不符合實(shí)際的，正是由于這些不符合實(shí)際的假設(shè)造成了經(jīng)典譜估計分辨率較差。其又有以下幾種方法： 法 Bartlett 平均周期圖的方法是將 N 點(diǎn)的有限長序列 ??xn分段求周期圖再平均。間接法先由序列 ??xn估計出自相關(guān)函數(shù) ??Rn，然后