【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 合，尤其應(yīng)盡量少選水平?！胺峙咧疲谟忻珙^處著重加密，在過(guò)稀處適當(dāng)加密” 是節(jié)約試驗(yàn)次數(shù)的一條根本原則。在多批試驗(yàn)中，在不增加試驗(yàn)次數(shù)的前提下，可以多選因素，少取水平，這意味著每批用小號(hào)正交表，做少數(shù)次試驗(yàn)，即通過(guò)各批很少的總次數(shù)就能找到當(dāng)前設(shè)備和工藝技術(shù)前提下的最優(yōu)生產(chǎn)條件。 當(dāng)試驗(yàn)因素考查的范圍較寬時(shí)，若仍然只選 2 水平進(jìn)行試驗(yàn)，就會(huì)有很多范圍沒(méi)有機(jī)會(huì)進(jìn)行考查，試驗(yàn)結(jié)果就可能得到局部最優(yōu)。此時(shí)試驗(yàn)因素應(yīng)多選水平，以便找到全局最 優(yōu)。在一項(xiàng)試驗(yàn)中，如不能分批或只能少分批的試驗(yàn)（如數(shù)學(xué)試驗(yàn)、均勻試驗(yàn)），也希望多取水平。 選用正交表 選定了因素?cái)?shù)和水平數(shù)后，則可選擇合適的正交表。具體選哪張正交表，應(yīng)該根據(jù)因素和水平多少以及試驗(yàn)的工作量大小而定。例如，每個(gè)因素有 2 水平時(shí)，當(dāng)因素為 2~3 時(shí)，一般選 ? ?32 2L 正交表；當(dāng)因素 4~7 個(gè)時(shí)，一般選用 ? ?78 2L ,當(dāng)因素個(gè)數(shù)較多時(shí)，試驗(yàn)條件 又允許事，也可用 ? ?1516 2L正交表。通常情況下，選用正交表時(shí)既不允許裁減試驗(yàn)因素，也不允許縮減試驗(yàn)因素的水平，即因素水平表必須在選用的正交表中得到完全的安排。如果選用的正交表既能容得下所有試驗(yàn)因素，又使試驗(yàn)號(hào)最小，就認(rèn)為所選的正交表是合適的。因此在選正交表時(shí)，只要試驗(yàn)因素能安排的下，就盡量可能選小號(hào)的正交表。例如，挑好 4 個(gè)因素，如果每個(gè)因素取 4 個(gè)水平，則必須用 ? ?516 4L 正交表，要做 16 次試驗(yàn)。為了節(jié)約試驗(yàn)次數(shù)，改為每個(gè)因素取 3 個(gè)水平，則用 ? ?49 3L 正交表，只做 9 次試驗(yàn)就可以了。到底用哪個(gè)正交表則應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行選取。試驗(yàn)次數(shù)的多少各有利弊，不能一概而論。一般以快為主的時(shí)候選用試驗(yàn)次數(shù)少一些的正交表，而以好好為主的時(shí)候做則應(yīng)選用試驗(yàn)次數(shù)稍多一些的正交表。 表頭設(shè)計(jì) 正交表只提供了一些列和各列對(duì) 應(yīng)于每次試驗(yàn)的水平號(hào)，這與所選取的因素和水平并沒(méi)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，研究人員還必須把所選的每一個(gè)因素都安排到一個(gè)合適的列上。這種把各個(gè)因素分別安排在正交表的適當(dāng)列上的過(guò)程稱為表頭設(shè)安徽建筑大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 計(jì)。這一步在一些簡(jiǎn)單的情況下是很容易的，可以將所選定的因素隨意安排在正交表的不同列上。但當(dāng)考慮交互作用時(shí)，往往比較復(fù)雜。一般而言避免混雜是表頭設(shè)計(jì)的一個(gè)重要原則，也是表頭設(shè)計(jì)選優(yōu)的一個(gè)重要條件?；祀s是指在正交表的同一列安排了兩個(gè)或貨兩個(gè)以上的因素或交互作用。這樣就無(wú)法確定同一列中的這些不同因素或交互作用對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的作用效果。但是有時(shí) 為了滿足試驗(yàn)的某些要求，或是為了減少試驗(yàn)次數(shù)，可以允許一級(jí)交互作用的混雜，也可以允許次要因素與高級(jí)交互作用的混雜，但是一般不允許因素與一級(jí)交互作用的混雜。 編制試驗(yàn)方案 表頭設(shè)計(jì)完成后，將正交表安排有因素的各列中不同數(shù)字換成對(duì)應(yīng)因素的相應(yīng)水平，即構(gòu)成試驗(yàn)方案。安排考查交互作用的各列對(duì)試驗(yàn)方案及試驗(yàn)的具體實(shí)施不產(chǎn)生任何影響。試驗(yàn)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格保證各號(hào)組合處理，嚴(yán)格控制試驗(yàn)因素的水平，試驗(yàn)條件應(yīng)當(dāng)盡量保持一致。 試驗(yàn)方案中的試驗(yàn)號(hào)并不意味著是實(shí)際進(jìn)行試驗(yàn)的順序。為了加快試驗(yàn)進(jìn)程，最好進(jìn)行同時(shí)試驗(yàn)，同 期取得全部的試驗(yàn)結(jié)果。如果條件只允許一個(gè)一個(gè)的進(jìn)行試驗(yàn)，為了排除外界的干擾，應(yīng)使試驗(yàn)號(hào)隨機(jī)化，即采用抽簽，擲骰子或查隨機(jī)數(shù)字表的方法確定試驗(yàn)順序。不論用什么順序進(jìn)行試驗(yàn)，一般都應(yīng)進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，以減少隨機(jī)誤差對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。 試驗(yàn)結(jié)束后，將試驗(yàn)結(jié)果直接填入試驗(yàn)指標(biāo)欄內(nèi)。 安徽建筑大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的綜合分析 正交設(shè)計(jì)中數(shù)據(jù)的綜合分析方法的步驟為： 第一步 算出所有數(shù)據(jù)的總評(píng)均值。 將所有數(shù)據(jù)的總平均值記為 ? ?FX 一般求總平均值的公式為 ? ? ? ?11 n iiF X F Xn ?? ? （ 41） 式中， n 為試驗(yàn)次數(shù)。 第二步 算出 iF 各水平的平均值 定義 在 n次試驗(yàn)中第 i因素的 j水平出現(xiàn)的各次實(shí)驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值，稱為 i因素 j 水平的水平平均值， 記為 jiF 。 ? ?? ?1jikjikF F XiF F Xr ?? ? （ 42） 式中， ? ?jiiF F X? 是指在第 k 次試驗(yàn)中， i因素取 j 水平。 第三步 算出各因素的極差 定義 因素的全部水平平均值中，最大值與最小值之差稱為該因素對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響的極差 ，簡(jiǎn)稱為 i因素的極差，記為 iF? 。則 ? ? ? ?jji i iF Ma x F Mi n F? ? ? （ 43） 一個(gè)因素的極差說(shuō)明了該因素在試驗(yàn)范圍內(nèi)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響的大小，極差越大，說(shuō)明該因素對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響越大，反之越小。 利用對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析的方法可得到以下幾個(gè)方面的有用信息。 ① 每因素的最優(yōu)水平及各因素的最優(yōu)水平組合（根據(jù)水平平均值 jiF ）。 ② 各因素對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響的大小順序（根據(jù) iF? ）。 ③ 最優(yōu)水平組合條件下目標(biāo)函數(shù)估計(jì)值。（利用此方法也可計(jì)算出任意水平組合條件下目標(biāo)函數(shù)的估計(jì) 值）。 這些信息是非常有用的，但仔細(xì)考察發(fā)現(xiàn)還有以下幾點(diǎn)不能讓人滿意的問(wèn)題。 ① 各 jiF 的值到底有多大？ ② 本次試驗(yàn)的誤差有多大？ 安徽建筑大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 ③ 各因素對(duì)目標(biāo)函數(shù)都有一定影響，但這些影響是否可以忽略不計(jì)，或者說(shuō)這些因素影響是否是顯著的。 ④ 利用實(shí)驗(yàn)值估計(jì)出的目標(biāo)函數(shù)值的可靠性如何？也就是說(shuō)估計(jì)的誤差有多大？ 上面這些問(wèn)題對(duì)我們來(lái)說(shuō)是非常重要的，不知道 jiF 的確切值，想求出因素對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響的確切關(guān)系是難以做到的；不知道試驗(yàn)的誤差有多大，就不知道試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)的可靠性；不知道因素對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響是否顯著，也就不知道試驗(yàn)的效果；不知道利用試驗(yàn)值估計(jì)出來(lái)的目標(biāo)函數(shù)值的可靠性如何，就不能貿(mào)然將這種估計(jì)值用于生產(chǎn)實(shí)踐。 這些問(wèn)題用 綜合分析的方法是很難解決的，需要用統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)加以解決。下面就介紹試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析方法。 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 因素效應(yīng)值 定義 i 因素第 j 水平的數(shù)據(jù)平均值與總平均值之差稱為 i 因素 j 水平的效應(yīng)值； i 因素的所有水平的效應(yīng)值統(tǒng)稱為 i 因素的效應(yīng)值，簡(jiǎn)稱 i 因素的因素效應(yīng)，記為 jiF 。 ? ? 0j j ji i iF F F X F F? ? ? ? （ 44） 由于 jiF 和 ? ?FX都可以確切的計(jì)算出來(lái)，所以 jiF 的值也能計(jì)算出來(lái)?？梢杂眉s束條件1 0il jij F? ??來(lái)檢查因素效應(yīng)值的計(jì)算是否正確。若某因素的全部效應(yīng)值 之和不為 0，則該組因素效應(yīng)值的計(jì)算是不正確的，需要重新校核。當(dāng)然由于四舍五入，一個(gè)因素效應(yīng)值之和可能不為 。如果在計(jì)算中沒(méi)有四舍五入，則一個(gè)因素的各效應(yīng)值之和就必須為 ，各效應(yīng)值之和為 0，并不能說(shuō)明計(jì)算是肯定正確的。 因素的自由度 定義 求解一組未知數(shù)所需要獨(dú)立方差的個(gè)數(shù)稱為這組未知數(shù)的自由度。 那么一個(gè)因素各水平的自由度是 多少呢？若一組因素的水平為 il ，則可知這 il 個(gè)因素效應(yīng)值之間有一約束條件 121 1 1 0ilF F F? ? ? ? （ 45） 安徽建筑大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 這就是說(shuō)解這 il 個(gè)未知數(shù)只需要 il 1個(gè)方程即可。于是得出：一個(gè)因素的自由度為該因素的 水平數(shù)減 1，將其記為 if 。則有 1iifl?? （ 46） 誤差效應(yīng) 若在一個(gè)正交設(shè)計(jì)中，各因素的自由度之和加 1 小于試驗(yàn)的容量，即 11mii fn???? （ 47） 則根據(jù)線性方程組的理論取其中的一部分線性無(wú)關(guān)的方程就可解出未知數(shù)。但由于試驗(yàn)誤差的存在，即使是兩次實(shí)驗(yàn)的條件完全相同，所得的結(jié)果也會(huì)有差別。這樣當(dāng)方程的個(gè)數(shù)多于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)矛盾方程，反而解不出來(lái)未知數(shù)來(lái)。要解決這類問(wèn)題需要加上松弛未知數(shù)，也就是誤差。 這就像我們多次測(cè)量同一個(gè)物體的長(zhǎng)度時(shí)，若測(cè)出的數(shù)值不同時(shí)反而不知道應(yīng)該取哪一個(gè)值才好，但當(dāng)引入誤差后，可以將這些數(shù)的平均值作為這個(gè)物體的長(zhǎng)度。然后根據(jù)平均 值和測(cè)量值可以求出若干個(gè)誤差。 如正交表中的一列既然沒(méi)有安排因素，就不應(yīng)該有效應(yīng)值，也就是說(shuō)各效應(yīng)值都為 ，這一列的試驗(yàn)條件盡管沒(méi)變，但其效應(yīng)值一般不為 0，這類似于多次測(cè)量同一個(gè)物體的長(zhǎng)度所得到的值可能各不相同一樣。 可以這樣解釋這一現(xiàn)象：假定空閑列上也安排了某一因素，但該因素各水平的取值為一常數(shù)（盡管不符合因素的定義，但有助于理解），于是各水平對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響應(yīng)該是相等的，即應(yīng)該有 1 2 3 0i i iF F F? ? ?。但由于實(shí)驗(yàn)中不可避免的存在誤差，因而導(dǎo)致了各效應(yīng)值不全為 兩次試驗(yàn)，其結(jié)果也不會(huì)不同一樣，這種差別就是誤差。 將空閑列看成誤差列后，這一列的效應(yīng)值就是誤差，通常稱為誤差效應(yīng)。誤差效應(yīng)的求法與普通因素效應(yīng)值的求法一樣（各水平平均值與總評(píng)均值之差）。 誤差一般記為 ie （ i=1,2?）。 其中， i為正交表中的第 i個(gè)誤差列（當(dāng)誤差列多于一列時(shí)）。 顯著性檢驗(yàn) 某因素的不同水平引起總 平均值的變化是大還是不大呢？換句話說(shuō)這種變化是明顯還是不明顯，是否可以忽略不計(jì)呢？要解決這一問(wèn)題，需要進(jìn)行一定的安徽建筑大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 判斷已進(jìn)行取舍。這就要取一個(gè)可比較的參數(shù)及一個(gè)極限值。一個(gè)因素的效應(yīng)值是否明顯，應(yīng)該依賴于客觀標(biāo)準(zhǔn)，而不應(yīng)該依賴于主觀選取的標(biāo)準(zhǔn)。那么客觀的標(biāo)注是什么呢？這就是誤差。將因素效應(yīng)與誤差效應(yīng)相比，若某因素的因素效應(yīng)明顯地大于誤差效應(yīng)，則認(rèn)為該因素的因素效應(yīng)應(yīng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響是明顯的，不是由誤差由誤差引起的，一般稱之為是顯著的。若某因素的因素效應(yīng)與誤差效應(yīng)相比差別不大，則很難斷定它對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響是不是 由誤差引起的，這時(shí)稱該因素是不顯著的。 對(duì)于 2 水平正交設(shè)計(jì)的顯著性檢驗(yàn)，常用 t檢驗(yàn)（ Studentt）法， t檢驗(yàn)是用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)平均值齊性的方法，即判斷數(shù)據(jù)平均值是否有顯著性差別的方法。由于 2 水平因素的效應(yīng)值實(shí)際上只有一個(gè)，我們可以用某一個(gè)水平效應(yīng)值的絕對(duì)值來(lái)作為該因素效應(yīng)的平均值。對(duì)于 2 水平正交設(shè)計(jì)，用 t檢驗(yàn)十分方便，可以減少大量的計(jì)算。 在 t檢驗(yàn)中，因素效應(yīng)的平均值可以作為效應(yīng)值的絕對(duì)值，可以用誤差的均方根作為誤差的平均值。 t檢驗(yàn)的具體步驟如下： ① 計(jì)算因素效應(yīng)值 ② 計(jì)算誤差的均方根（標(biāo)準(zhǔn)差） ? ?21iesefe?? ? （ 48） 若在安排實(shí)驗(yàn)時(shí)沒(méi)有構(gòu)造誤差列，則可根據(jù)正交性先求出 De,在根據(jù) De 用下求出 se Desen fe? ? （ 49） ? ? ? ? ? ? ? ?2 20,1ni i i jiD e F X n F D F D F? ??? ? ? ????? ??? ? ? （ 410） ③ 查 t分布表，求出 ? ? fe ， ? ? fe ， ? ? fe 。 根據(jù)查的數(shù)據(jù)求出 Se ? ? fe