【文章內(nèi)容簡介】 大，從而被廣 泛應用于仿真技術、自動控制和數(shù)字信號處理等領域。全球現(xiàn)有超過五十萬的企業(yè)用戶和上千萬的個人用戶，廣泛分布在航空航天、金融財務、機械化工、電信、教育等各個行業(yè) 。 武昌工學院畢業(yè)論文（設計）專用稿紙 7 3 數(shù)字濾波器簡介 數(shù)字濾波器的概念 濾波，即過濾之意，并不是對所有的干擾信號進行濾除，而是進行一定的衰減 ， 讓某些信號成分通過，又阻止或衰減了另一些信號成分 ， 濾波器可廣義地理解為一個信號選擇系統(tǒng)。它 按沖激響應 h(n)的長度分類 可 分為有限沖激響應 （ FIR） 數(shù)字濾波器 和無限沖激響應 （ IIR） 濾波器 兩種， 沖激 響應本來是用于模擬系統(tǒng)，指系統(tǒng)對沖激函數(shù) δ（ t） 的響應。發(fā)展到數(shù)字濾波器后，工程上仍沿用這個名稱，與單位抽樣響應和單位脈沖響應的說法通用 。 在特性、結構、設計方法、運用場合等方面 兩種數(shù)字濾波器 均不相同 。 用系統(tǒng)函數(shù)表示為： 01()()()1MkkkNkkkbz YzHz Xzaz????????? (式 ) 由系統(tǒng)函數(shù)可以得到常系數(shù)線形差分程為： 00( ) ( ) ( )NMkkkky n a y n k b x n k??? ? ? ??? (式 ) 可見數(shù)字濾波器的功能就是把輸入序列 x(n)通過一定的運算變換成輸出序列 y(n)。不同的運算處理方法決定了濾波 器實現(xiàn)結構的不同 。無限沖激響應濾波器的單位抽樣響應 h(n)是無限長的，是遞歸式的， 在 結構上存在著輸出信號到輸入信號的反饋，因此在 z 平面的有限區(qū)間 (0︱ z︱ ∞)有極點存在。 IIR 數(shù)字濾波器的基本結構 IIR 數(shù)字 濾波器實現(xiàn)的基本結構有： (1) IIR 濾波器的直接型結構； 優(yōu)點：延遲線減少一半，變?yōu)?N 個，可節(jié)省寄存器或存儲單元； 缺點：其它缺點同直接 I 型。 通常在實際中很少采用上述兩種結構實現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)來實現(xiàn)。 (2) IIR 濾波器的級聯(lián)型結構； 武昌工學院畢業(yè)論文（設計）專用稿紙 8 優(yōu) 點：系統(tǒng)實現(xiàn)簡單，只需一 個二階節(jié)系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成； 極點位置單 獨調整；運算速度快 (可并行進行 )；各二階網(wǎng)絡的誤差互不影響，總的誤差小，字長要求低。 缺點： 不能直接調整零點，因多個二階節(jié)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點，當需要準確的傳輸零點時，級聯(lián)型最合適。 (3)IIR 濾波器的并聯(lián)型結構。 優(yōu)點：簡化實現(xiàn)，用一個二階節(jié)，通過變換系數(shù)就可實現(xiàn)整個系統(tǒng)；極、零點可單獨控制、調整，調整 α1i、 α2i只單獨調整了第 i 對零點，調整 β1i、 β2i 則單獨調整了第 i 對極點；各二階節(jié)零、極點的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運算誤差；可流 水線操作。 缺點：二階階電平難控制，電平大易導致溢出，電平小則使信噪比減小。 a、 直接型 b、并聯(lián)型 c、串聯(lián)型 圖 IIR 濾波器的基本結構 武昌工學院畢業(yè)論文（設計）專用稿紙 9 FIR 數(shù)字濾波器的基本結構 FIR 濾波器的單位抽樣響應為有限長度，一般采用非遞歸形式實現(xiàn)。通常的 FIR 數(shù)字濾波器有橫截性和級聯(lián)型兩種。 FIR 濾波器實現(xiàn)的基本結構有： (1)FIR 濾波器的橫截型結構 表示系統(tǒng)輸入輸出關系的差分方程 為 ： 10( ) ( ) ( )Nmy n h m x n m????? (式 ) 直接由差分方程得出的實現(xiàn)結構如圖所示： 圖 32 橫截型 (直接型﹑卷積型 ) 若 h(n)呈現(xiàn)對稱特性，即此 FIR 濾波器具有線性相位，則可以簡化加橫截型結構，下面分情況討論： 圖 3 N 為奇數(shù)時線形相位 FIR 濾波器實現(xiàn)結構 圖 3 N 為偶數(shù)時線性相位 FIR 濾 波器實現(xiàn)結構 (2)FIR 濾波器的級聯(lián)型結構 將 H(z)分解成實系數(shù)二階因子的乘積形式： []1 2 120 1 20 1( ) ( )NNN k k kN kH z h n z b b z b z? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? (式 ) 這時 FIR 濾波器可用二階節(jié)的級聯(lián)結構來實現(xiàn)，每個二階節(jié)用橫截型結構實現(xiàn)。如圖所示： 武昌工學院畢業(yè)論文（設計）專用稿紙 10 圖 FIR 濾波器的級聯(lián)結構 這種結構的每一節(jié)控制一對零點，因而在需要控制傳輸零點時可以采用這種結構。 數(shù)字濾波器的性能指標 在進行濾波器設計時， 需要確定其性能指標。一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應有通帶、過渡帶及阻帶三個范圍。 在通帶內(nèi)： 1 AP≤| H(ejω)| ≤1 |ω|≤ωc 在阻帶中： |H(ejω)| ≤ Astωst ≤|ω|≤ωc 其中 ωc 為通帶截止頻率 ,ωst 為阻帶截止頻率， Ap 為通帶誤差 ,Ast 為阻帶誤差。 與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應是周期性的，周期為 2π。各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應如圖所示： 圖 各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應 圖 低通濾波器頻率響應幅度特性的容限圖 武昌工學院畢業(yè)論文（設計）專用稿紙 11 4 數(shù)字濾波器的 MATLAB 實現(xiàn) 數(shù)字濾波器的 MATLAB 實現(xiàn) IIR 濾波器設計原理 IIR 數(shù)字濾波器的設計步驟： (1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標； (2)根據(jù)轉換后的技術指標設計模擬低通濾波器 H(s)； (3)在按一定規(guī)則將 H(s)轉換為 H(z)。 若所設計的數(shù)字濾波器是低通的，那么上述設計工作可以結束。 若所設計的是高通、帶通或者帶阻濾波器，那 么還有步驟： 將高通、帶通或者帶阻數(shù)字濾波器的技術指標先轉化為低通濾波器的技術指標，然后按上述步驟 (2)設計出模擬低通濾波器 H(s)，再由沖擊響應不變法或雙線性變換將 H(s)轉換為所需的 H(z)。 s z 映射的方法有：沖激響應不變法、階躍響應不變法、雙線性變換法等。 沖激響應不變法 沖激響應不變法是從時域出發(fā)，要求數(shù)字濾波器的沖激響應 h(n)對應于模擬濾波器的沖激響應 ha(t)的抽樣 ， 即 h(n) =ha(nT) ，其中 T 是抽樣周期。沖激響應不變法基本變換過程為： Ha(s) → ha(t) → h(n) → H(z) （ 式 ） 由于數(shù)字濾波器的沖激響應 對應模擬濾波器沖激響應 的抽樣，由抽樣定理可知數(shù)字濾波器的頻率響應為模擬濾波器頻率響應的周期延拓 : 12( ) ( )j akkH e H jTT? ??????? ? （ 式 ） 其中 ， 抽樣頻率為 : 12,ssf TTT? ?? ? ? ?? （ 式 ） 為了避免混疊失真要求模擬濾波器的頻譜限帶于 折疊頻率以內(nèi)，即要滿足 : ( ) 0 , 2 saHj T? ?? ? ? ? ? （ 式 ） 而實際的濾波器并非嚴格限帶，所以用沖激響應不變法設計的數(shù)字濾波器不可避免地會產(chǎn)生混疊失真。所以此法只適于設計帶限濾波器。其映射關系如下： 武昌工學院畢業(yè)論文（設計）專用稿紙 12 圖 在 MATLAB 工具箱中，提供了專用函數(shù) impinvar 來實現(xiàn)以上計算，其調用格式為： 格式一： [BZ,AZ]= impinvar(B,A,Fs) 功能：把具有 [B,A]模擬濾波器傳遞函數(shù)模型轉換為采樣頻率為 Fs(HZ)的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)模型 [BZ,AZ]。采樣頻率默認值為 Fs=1。 格式二： [BZ,AZ]= impinvar(B,A,Fs， TOL) 功能：利用指定的容錯誤差 TOL 來確定極點是否重復。如果設置的容差增大，則函數(shù)認為相鄰的很近的極點為重復極點的可能性增大。默認的 TOL=，即 %。 例 采用沖激響應不變法， 設計一個 Butterworth 濾波器，滿足如下級數(shù)指標： 通帶邊界頻率 p=，通帶衰減函數(shù) ， 阻帶邊界頻率 ，阻帶衰減函數(shù)， 選取 T=2。 程序見附錄 1 仿真 截圖： 武昌工學院畢業(yè)論文（設計）專用稿紙 13 圖 雙線性變換法 為了克服沖激響應不變法多值映射產(chǎn)生的頻率混疊的現(xiàn)象，雙線性變換法的映射原理是： (1)通過下面的變換公式把整個 S 平面壓縮到 中介 S1 平面的一條橫帶里（寬度從 π/T到π/T），其中 C 為常數(shù)可根據(jù)設計要求選??； 1tan( )2Tc ??? （ 式 ） (2) 通過 將此橫帶變換到整個 Z 平面，這樣就使 S 平面和 Z 平面是一一對應的 單值映射關系，消除了頻譜混疊現(xiàn)象。 武昌工學院畢業(yè)論文（設計）專用稿紙 14 圖 雙線性變換法的映射關系 可以證明，從 S 平面到 Z 平面的映射關系為： csz cs?? ? ，1111 zscz???? ? （ 式 ） 由于從 S→Z 和從 Z→S 的映射規(guī)則都是分式線性變換，因此稱其為雙線性變換。 MATLAB 信號處理工具箱為實現(xiàn)雙線型變換提供了函數(shù) bilinear， 基本調用格式如下： 格式一： [Zd,Pd,Kd]= bilinear(Z,P,K,Fs) 功能：把模擬濾波器的零極點模型轉換為數(shù)字濾波器的零極點模型。其中 Fs 為采樣頻率。 格式二： [numd,dend]= bilinear(num,den,Fs) 功能：把模擬濾波器的傳遞函數(shù)模型轉換為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)模型。 格式三： [Ad,Bd,Cd,Dd]= bilinear(A,B,C,D,Fs) 功能：把模擬濾波器的狀態(tài)方程模型轉換為數(shù)字濾波器的狀態(tài)方程模型。 說明：以上三種調用格式中，可以在增設一個畸變頻率 Fp(HZ)輸入?yún)?shù)。在進行雙線性變換之前，對采樣了頻率進行畸變處理，以保證頻率沖激響 應在雙線性變換前后，在Fp 處具有良好的單值映射關系。 例 雙線形變換法設計 chebyshev高通濾波器 采樣頻率為 10Hz，通帶臨界頻率 fp =4Hz，通帶內(nèi)衰減小于 （ αp=1）；阻帶臨界頻率fs=3Hz，阻帶內(nèi)衰減大于 20dB（ αs=25）。設計一個數(shù)字濾波器滿足以上參數(shù)。 程序見附錄 2 仿真截圖： FS=10。 T=1/FS。 fp=4。fs=3。 wp=fp/FS*2*pi。 ws=fs/FS*2*pi。 武昌工學院畢業(yè)論文（設計）專用稿紙 15 OmegaP=2*FS*tan(wp/2)。 OmegaS=2*FS*tan(ws/2)。 [n,Wn]=cheb1ord(OmegaP,OmegaS,20,39。s39。) [b,a]=cheby1(n,Wn,39。high39。,39。s39。)。 freqs(b,a) %設計模擬的 [bz,az]=bilinear(b,a,FS)。 %映射為數(shù)字的 freqz(bz,az,512,FS) bz,az 圖 例 雙線性變換法實現(xiàn) Chebyshev低通（ I型） 采樣頻率為 10Hz，設計一個數(shù)字低通濾波器，要求其通帶臨界頻率 fp= 3Hz，通帶（