【文章內(nèi)容簡介】 ：如R= {n︱n=0,1，．，．，N1），以及R39。={n︱n0，nN）等。另外，還介紹N為奇數(shù)時，僅將信號序列平移(N1)/2，并設(shè)： 時的窗函數(shù)。式中T為采樣周期。1) 矩形窗 (rectangular window) () () () () 矩形窗的幅頻特性2) 漢明窗(Hamming window) () () () ()3) 漢恩窗(hann window) () () () ()4) 布萊克曼窗(Blackman window) () () () () 5) 道爾夫一切比雪夫窗(DolphChebyshev window)反復(fù)利用下式進行計算，就可以確定道爾夫—切比雪夫窗的系數(shù) （） （） () () () 式中，設(shè)N為奇數(shù)，則M=（N1）/2。及分別表示M階切比雪夫多項式。并且可用下式表示： （） 式（）的 是為使主瓣幅度為矩形窗的倍，即為4π/（2M+1）而引入的參數(shù)。當(dāng)旁瓣的最大值固定時，道爾夫切比雪夫可使主瓣幅度為最小。另外，該函數(shù)的特點是所有的旁瓣振幅都相等。 設(shè)計實驗結(jié)果采用矩形窗設(shè)計一個FIR 數(shù)字低通濾波器。該濾波器的通帶截止頻率，單位脈沖響應(yīng)h(n)的長度M= 500。M=500。 wc=pi/4。n=0:M1。 r=floor((M1)/2)。nr=nr+eps*((nr)==0)。hdn=sin(wc*nr)/pi./nr。if rem(M,2)~=0 hdn(r+1)=wc/pi。endwn1=boxcar(M)。 hn1=hdn.*wn139。 subplot(2,1,1)。stem(n,hn1,39。.39。)。 line([0,20],[0,0])。xlabel(39。n39。),ylabel(39。h(n)39。),title(39。矩形窗設(shè)計的h(n)39。)。%hw1=fft(hn1,512)。 w1=2*[0:511]/512。%subplot(2,1,2), plot(w1,20*log10(abs(hw1)))[hw1,w]=freqz(hn1,1)。 subplot(2,1,2), plot(w/pi,20*log10(abs(hw1)))。axis([0,10,10])。xlabel(39。w/pi39。), ylabel(39。幅度(dB)39。)。 title(39。幅度特性(dB)39。)。 M=500時幅度和幅度特性N=21。M=1024。b=fir1(N,boxcar(N+1))。h=freqz(b,1,M)。t=0:21。subplot(211)。stem(t,b,39。.39。)。hold on。plot(t,zeros(1,22))。grid。f=0::。M1=M/4。subplot(212)。plot(f,abs(h))。grid。 M=1024時幅度和幅頻特性 FIR濾波器的均方誤差最小準(zhǔn)則設(shè)計為利用式()和式()設(shè)計線性相位FIR濾波器，當(dāng)N為奇數(shù)時，定義 ()當(dāng)N為偶數(shù)時，定義 （）下面說明當(dāng)= ，k=0,1,2…N1成立時的設(shè)計過程。當(dāng)然，k=0,1,2…，N1成立時，設(shè)計過程也是完全相同的。假定所希望達(dá)到的幅頻特性為，加權(quán)函數(shù)為，如將評價函數(shù)寫成： （）通過以下過程可以求出為最小時的優(yōu)化系數(shù)。 當(dāng)N為奇數(shù)時，令 當(dāng)N為偶數(shù)時，令 則 ()式中，T為轉(zhuǎn)置。進一步令則 如果對稱矩陣為正則矩陣，求解 （）即可求得優(yōu)化系數(shù)。另外，對區(qū)間0≤≤π進行適當(dāng)分割，如果著眼于(k=0,1,…,N1)的離散點，則可以用代替評價函數(shù)，并用 （）式中，K應(yīng)選擇足夠大的數(shù)?，F(xiàn)在用表示將代入時的c值，并設(shè) 則可得到 （） 因而，因而，如果對稱矩陣A是正則矩陣，則可得到與式相同形式的一次聯(lián)立方程，求解該方程即可得到優(yōu)化解。 評價函數(shù)中使用了加權(quán)函數(shù)，考慮到實際計算，希望在不同區(qū)段應(yīng)為不同的常數(shù)。例如，設(shè)低通濾波器的過渡帶為假如過渡帶的特性是任意的，則可取。該方法同樣適用于評價函數(shù)。 FIR濾波器的最大誤差最小化準(zhǔn)則設(shè)計下面我們來討論使通帶及阻帶的波紋最大值為最小的最大誤差最小化評價準(zhǔn)則設(shè)計線性相位FIR濾波器的有關(guān)問題。設(shè)理想幅頻特性為,權(quán)函數(shù)為，誤差函數(shù)為則評價函數(shù)為 （）式中，與式（）或式（）中所使用的函數(shù)相同。另外，設(shè)不需做幅頻特性的過渡帶中，用表示需對幅頻特性作評價的通帶。當(dāng)通帶的允許波紋為，阻帶的允許波紋為時，設(shè)通帶的加權(quán)為1，阻帶的加權(quán)為，則可使用通帶和阻帶即在中、且允許波紋時的設(shè)計方法。交錯點組原理：設(shè)X為區(qū)間上任意閉合子集，對于在X上給出的連續(xù)函數(shù)的最大誤差最小化評價條件下，如果一般化的多項式P（x）是f（x）的最優(yōu)近似： 也就是使誤差函數(shù)振幅的最大值 為最小的優(yōu)化近似。優(yōu)化近似的充要條件是當(dāng)誤差函數(shù)為 e(x)=f(x)P(x)時，P(x)在f(x)上至少存在n+1個交錯點。由于函數(shù)系（k=0,1，…M）滿足哈爾條件，所以可用交錯點原理求得優(yōu)化解。式中，當(dāng)N為奇數(shù)時，取M=（N1）/2,N為偶數(shù)時取M=（N2）/2。要利用交錯點組原理決定H（）,就必須求出式（）誤差函數(shù)的絕對值為最大時的M+2個值，=（i=0,1，…，M+1）。假定這些可以給出最大誤差最小化解，取誤差函數(shù)的振幅為，即可得到 （）首先考慮N為奇數(shù)時的情況，此時M=（N1）/2，取： 改寫式（）即可得到下面的一次聯(lián)立方程： （）再考慮到函數(shù)系（k=0,1，…，M）滿足哈爾條件，從式（）就可以唯一地決定（k=0,1，…，M）以及Q值。當(dāng)（i=0,1，…，M+1）給出最大誤差最小化解的優(yōu)化解時，則式（）成立，但是如果它們不是優(yōu)化解時，就沒必要求解式（）以得到（k=0,1，…，M）。因而，只需用式（）求Q值，即可得到 （） （）另外，當(dāng)N為偶數(shù)時，此時M=（N2）/2,如果?。簞t有 （）這種情況下，不需要求解式（），只需求解式（）的一次聯(lián)立方程即可。將是（）與式（）比較可知，用代替了。但與N為奇數(shù)時完全一致，N為偶數(shù)時也是從式（）求式（）的Q值，可由式（）給出。通過以上方法求得Q值后，即可求得 （） FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計最優(yōu)化設(shè)計是指采用最優(yōu)化準(zhǔn)則來設(shè)計的方法。在FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計中，最優(yōu)化準(zhǔn)則有均方誤差最小化準(zhǔn)則和等波紋切比雪夫逼近（也稱最大誤差最小化）準(zhǔn)則兩種。實際設(shè)計中，只有采用窗函數(shù)法中的矩形窗才能滿足前一種最優(yōu)化準(zhǔn)則，但由于吉布斯效應(yīng)的存在，使其根本不能滿足設(shè)計的要求。為了滿足設(shè)計的要求，可以采用其它的窗函數(shù)來消除吉布斯效應(yīng)，但此時的設(shè)計已經(jīng)不能滿足該最優(yōu)化準(zhǔn)則了。因此，要完成FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計，只能采用后一種準(zhǔn)則來實現(xiàn)。給出M+2個（i=0,1，…，M+1）和Q時，利用式（）即可決定（i=0,1，…，M）。因而利用拉格朗日插值公式可以求得（0≤≤π）。同時又有可能利用這個插值曲線來研究（0≤≤π）的極大值與極小值。如果誤差函數(shù)滿足。也就是說，在指定的（i=0,1，…，M+1）點上，但在指定的點之外的點上，存在的點。Remez交換算法，就是利用插值曲線的極值，重新選定使增加的（i=0,1，…，M+1）點。這種操作過程可一直延續(xù)到不再改變，最終逼近最大誤差最小化解，從而求得等波紋濾波器?？梢孕纬蓸O值的點，就是的符號發(fā)生改變的地方，蕩然它包括極點，也包括端點。利用這種方法，如果選定給出極值的M+2個點，即，（i=0,1，…，M+1）的點，從該極值就能決定波紋的大小。基于等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則的FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計步驟：給出所需的頻率響應(yīng)，加權(quán)函數(shù)以及濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)的長度N。由（1）中給定的參數(shù)來形成所需的，W表達(dá)式。根據(jù)Remez算法，求解逼近問題。根據(jù)求得的P(w)表達(dá)式，利用傅里葉逆變換計算出單位抽樣響應(yīng)h(n)的表達(dá)式即可獲解。利用數(shù)字信號處理工具中的remezord和zemez函數(shù)可以實現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計。在此介紹這倆個函數(shù)：（1） 功能：利用remezord函數(shù)可