【文章內(nèi)容簡介】 的頻率響應。 . . 在描述幅度特性以及濾波特點時，幅度函數(shù)在 12( , )ss?? 范圍內(nèi)低于某值很小時，則稱 12( , )ss?? 為阻帶。同理 ， 當幅度在12( , )pp??內(nèi)相對較大且 變化范圍較小則稱12( , )pp??為通帶。此外，還定義了過渡帶 ，即通帶與阻帶之間的頻帶。 圖示的方式幫助我們更加直觀的描述各類不相同頻帶的濾波器如下：低通濾波器的幅頻響應曲線如圖 11（ a） 所示，可以看出它的通帶為 (0, )p? ，阻帶范圍 ( , )s?? ，過渡帶就是 ( , )ps?? ，其中 錯誤 !未找到引用源。 p 稱為通帶（截止）頻率， 錯誤 !未找到 引用源。 s 稱為阻帶（截止）頻率。幅度函數(shù)的單調(diào)性與是否為通帶或阻帶沒有直接關(guān)系。在研究中還會涉及到通帶與阻帶的相對變化量，我們將定義通帶內(nèi)最大值與最小值之差 的 dB 值 為通帶波紋，用 Ap 表示，定義通帶內(nèi)的最大值（也可為通帶內(nèi)的其他值）與阻帶內(nèi)最大值之差 的 dB 值 為阻帶衰減，用 As 表示， Ap 和 As 都以分貝度量，為正值。 若 |H(j?)|的最大值為 1，通帶和阻帶的變化量分別為 ?p 和 ?s（見圖 11（ b）），根據(jù) Ap 和 As 的定義，則有 / 2 0/ 2 02 0 l o g (1 ) 1 1 02 0 l o g 1 0 spAp p ps s s AAA??????? ? ? ? ?? ? ?或或 （ 1 3） 高通濾波器的通帶為 ( , )p?? ，阻帶為 (0, )s? ，如圖 11(c)所示。帶通濾波器的幅頻響應曲線如圖 11(d)示。 12,pp??為通帶頻率， 12,ss??為阻帶頻率。帶阻濾波器的幅頻曲線如圖 11(e)示 。 ?|H ( j? ) |/ d B?p?s0?p0?s 1 0 0 （ a） 低通（幅度用 dB 表示） ?|H ( j? ) |?p?s0?p1?s ?? p? s0|H (j ? )| (b) 低通 (c) 高通 ?? p1 ? p2? s1 ? s20|H (j ? )| ?? p1 ? p2? s1 ? s20|H (j ? )| （ d） 帶通 （ e） 帶阻 . . 圖 1 1 濾波器的幅頻特性 第三節(jié) 濾波器的技術(shù)指標 一、 濾波器的技術(shù)指標及表示方法 設計中確定了實際需求就需要確定技術(shù)指標。具體的，濾波器的技術(shù)指標可用以下幾種方式來表示： ① 幅度范圍定義了通帶的最小幅度 錯誤 !未找到引用源。 和阻帶的最大幅度 錯誤 !未找到引用源。 。 ② 幅度容限值指定通帶幅度減小最大值 1pPM? ?? 和阻帶幅度的最大值 1ssM? ?? ③ 幅度紋波容限描述了通帶內(nèi)幅度變化最大量 錯誤 !未找到引用源。 和阻帶內(nèi)幅度變化最大量 錯誤 !未找到引用源。 。 ④ 衰減范圍用 dB 表示，指定通帶內(nèi)的最大衰減 錯誤 !未找到引用源。 和阻帶內(nèi)的最小衰減 錯誤 !未找到引用源。 。 ⑤ 增益范圍用 dB 表示，通帶內(nèi)最小增益 ppG A?? 惡化阻帶內(nèi)最大增益 ssG A?? 。 二、 四種選頻濾波器的技術(shù)指標 ① 低通濾波器的技術(shù)指標： ()jHe? =1,0? ? ； ()jHe? =0， ? 錯誤 !未找到引用源。 錯誤 !未找到引用源。 。 ② 帶通濾波器的技術(shù)指標： ()jHe? =0， 0錯誤 !未找到引用源。 錯誤 !未找到引用源。 ； ()jHe? =1； ? ? ? ； ()jHe? =0， 錯誤 !未找到引用源。 ? 。 ③ 高通濾波器的技術(shù)指標： ()jHe? =0， 0? ? ； ()jHe? =1， 錯誤 !未找到引用源。 ? 錯誤 !未找到引用源。 。 ④ 帶阻濾波器的技術(shù)指標： ()jHe? =1， 0錯誤 !未找到引用源。 ? ； ()jHe? =0； 錯誤 !未找到引用源。 錯誤 !未找到引用源。 錯誤 !未找到引用源。 ； ()jHe? =1， ? ? 錯誤 !未找到引用源。 。 第四節(jié) 濾波器的系統(tǒng)特性 . . 已知在濾波 器的設計的過程中，我們需要考慮信號與系統(tǒng)中所要求的很多因素，例如穩(wěn)定性等?，F(xiàn)在來具體介紹數(shù)字濾波器的系統(tǒng)特性。 一、 穩(wěn)定性 穩(wěn)定系統(tǒng)是系統(tǒng)只要沒有外部源的激勵，就能保持靜止狀態(tài)沒有輸出?；蛘咻斎胗薪巛斎爰摧斎胫翟谌我鈺r刻都小于某一有限值，輸出也能呈現(xiàn)有界性。這樣的系統(tǒng)被稱作穩(wěn)定系統(tǒng)?？紤]到系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了性能實用性等方面的影響，故它也是系統(tǒng)設計中的一個主要的問題，因此有必要通過確定特定系統(tǒng)參數(shù)值的范圍來確定系統(tǒng)穩(wěn)定性。 二、 時不變性 如果輸入信號的時移會引起相同的輸出信號的時移就叫做時不變系統(tǒng)。用數(shù)學表達的方 式，即如果輸入 ()xt 產(chǎn)生輸出 ()yt ，則輸入 0()xt t? 產(chǎn)生 0()yt t? 。也就是說，在這種系統(tǒng)中，任意時刻輸入的信號，輸出的都是同一個波形。也可以說，輸入延遲0t 秒，輸出也保持同樣的延遲步調(diào)，這個系統(tǒng)就是時不變的。同理，對于離散時間系統(tǒng)而言，要想時不變就需要滿足輸入信號 0()x k k? 產(chǎn)生對應輸出信號 0()y k k? 。時不變系統(tǒng)的特性和參數(shù)不隨時間變化，這一點在差分方程中表現(xiàn)的尤為明顯。相反，非時不變的系統(tǒng)稱為時變系統(tǒng)。 三、 線性 首先介紹疊加原理 ： 幾個輸入 1( 2), ( ),..., ( )Nx t x t x t同時作用于系統(tǒng)，其響應 ()yt 等于每個輸入單獨作用于系統(tǒng)的響應之和。具體的，如果系統(tǒng)滿足： ① 疊加性：輸入 1()xt產(chǎn)生輸出 1()yt，輸入 2()xt產(chǎn)生輸出 2()yt，那么對所有的輸入 1()xt和 2()xt有，輸入 ( 1()xt + 2()xt)產(chǎn)生輸出 ( 1()yt + 2()yt)。 ② 齊次性：輸入 ()xt 產(chǎn)生輸出 ()yt ，同時對任何輸入及任何常數(shù) a，都有輸入 ax(t)得到的輸出為 ay(t)。 同時滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)被稱作線性系統(tǒng)。線性時不變系統(tǒng)可以用它的單位脈沖響應來表征。其輸入輸出的描述法通常采用線性常系數(shù)差分方程。 實際研究的大部分系統(tǒng)都是線性時不變系統(tǒng)，可以縮寫為 LTI 系統(tǒng)。 這類系統(tǒng)對輸入信號的響應可以通過求取輸入 系統(tǒng)的沖擊響應的卷積得到。 輸入輸出的關(guān)系變得相對簡單。它的缺點在于： 用卷積運算 來 求解 LTI 系統(tǒng)的響應時并不容易， 同時 系統(tǒng)的 真實情況也不能很好地反映。 但無論怎樣， LTI 系統(tǒng)在信號與系統(tǒng)的研究中仍然占有舉足輕重的位置。 . . 四、 因果性和最小相位系統(tǒng) 如果系統(tǒng)以時間為自變量， 且 輸出僅與現(xiàn)在和過去的輸入 值 有關(guān)，就叫做因果系統(tǒng)。即 y(t)僅取決于 x(t)在 t?? 的值。相反 ， 如果和未來有關(guān) 或 是在實際中是不可能實現(xiàn)的，這類系統(tǒng)被稱作是非因果系統(tǒng)。 為了實現(xiàn)濾波器設計實際總就必須保 證系統(tǒng)的可實現(xiàn)性，所以必須為因果系統(tǒng)。如果一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，它的系統(tǒng)函數(shù) H(z)所有的零點都在單位圓內(nèi)則稱其為最小相位系統(tǒng)。相反，如果零點都在單位圓之外是最大相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的相頻特性，其相角變化范圍是最小的。 第二章 模擬濾波器設計 分析 第一節(jié) 濾波器逼近的一般方法 模擬濾波器基于連續(xù)時間系統(tǒng)，在頻譜變換中采用 s 變換。已知濾波器設計的首要任務就是要確定滿足技術(shù)指標要求的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)必須是物理可實現(xiàn)的，也就是要滿足因果性和穩(wěn)定性。為此系統(tǒng)就必須滿足一下幾個條件： ① ??Hs是 s 的實系數(shù)有理函數(shù)，也就是濾波器的單位脈沖響應 ()ht 是實函數(shù) ② ??Hs的極點必須全部位于 s 平面的左半平面。 （穩(wěn)定性要求） ③ ??Hs的分子多項式的階數(shù)必須小于分母多項式的系數(shù)。 由上推論可得，濾波器的頻率響應滿足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2| | | sjH j H j H j H s H s ?? ? ? ?? ? ? ? （ 2 1） 由于系統(tǒng)函數(shù) H(s)是 s 的有理函數(shù)，則 H(s)H(s)是 s2的有理函數(shù)，所以 |H(j?)|2必為 2? 的有理函數(shù)。并且在濾波器逼近函數(shù)問題中，一般由 |H(j?)|2確定 H(s)。 在模擬濾波器中通常用一些逼近函數(shù)進行設計，常見的逼近函數(shù)有：巴特沃思逼近，切比雪夫（ I 和 II 型）逼近，橢圓逼近，貝塞爾逼近。圖 21 給出了幾 種逼近函數(shù)設計的低通濾波器幅頻特性，他們具有相同的階數(shù)和波紋要求。 . . 0 1 2 3 410 1 2 3 41|)j(| ?H ? |)j(| ?H ?0 1 2 3 410 1 2 3 41|)j(| ?H |)j(| ?H? ? (a) 巴特沃思濾波器 (b)切比雪夫 I 型濾波器 (c) 切比雪夫 II 濾波器 (d)橢圓濾波器 圖 2 1 幾種逼近函數(shù)的幅頻特性 從圖中觀察可以得知，在相同的階數(shù)和波紋要求之下，橢圓濾波器的選擇性相對最優(yōu)，它的過渡帶也相對更窄，帶外抑制更加陡峭。其次是切比雪夫濾波器，最后才是巴特沃思濾波器。切比 雪夫的兩種類型所變現(xiàn)出的波紋和單調(diào)型出現(xiàn)頻帶相反也從圖中明顯觀察得知。 第二節(jié) 巴特沃思濾波器 實現(xiàn)與分析 一、 巴特沃思逼近 巴特沃思 （ Butterworth） 低通濾波器的平方幅度響應函數(shù)為： ? ? 2221| ( ) | 1 ( / ) NcH j H?? ???? ? （ 2 2） 式中： N 為濾波器的階數(shù)，通帶頻率取為 1rad/s。 由 22 式可計算出： 0?? rad/s 時， | ( 0)| 1Hj? ； 1?? rad/s 時， ( 1) 1/ 2Hj ? ；也就是說在通帶頻率處衰減約 3dB。故有時也稱巴特沃思濾波器 3dB 通帶頻率為1rad/s； ??? 時， ( ) 0Hj? ? 。 階數(shù) N 值和其他參數(shù)的關(guān)系可被歸納為： g (1 0 1)2 lo g sAsN ? ???? （ 2 3） 巴特沃 思系統(tǒng)函數(shù)的特點可以被總結(jié)為以下幾點：它的分母多項式 ()As 如表 21所示。 ① 階數(shù) N 越高，特性越接近于矩形，過渡帶越窄。 ② 通帶沒有波紋，其頻率響應 隨著頻率增大而平滑單調(diào)下降。 ③ ()Hj? 在通帶內(nèi)具有最大平坦特性。傳遞函數(shù)無零點。 ④ 缺點是從通帶到阻帶的過渡較大。 . . 表 2 1 巴特沃思低通濾波器分母多項式的系數(shù) 111( ) 1NN NA s s a s a s? ?? ? ? ? ? ? N a1 a2 a3 a4 a5 2 3 4 5 6 二、 巴特沃思濾波器 的實現(xiàn)與分析 在 MATLAB 信 號處理工具箱中巴特沃思濾波器函數(shù) 的 調(diào)用格式如下：[z,p,k,]=buttap（ n）式中： n 為巴特沃思濾波器的階數(shù)， z,p,k 分別為濾波器的零點、極點和增益。設計中還涉及到 [num,den]=zp2tf(z,p,k)函數(shù)，它是傳遞函數(shù)（ transfer function）， num 為分子多項式的系數(shù)，而 den 是分母多項式的系數(shù)。 設計并產(chǎn)生一個 25 階低通濾波器原型，其實現(xiàn)的 MATLAB 程序代碼如下： [Z,P,K]=buttap(25)。[num,den]=zp2tf(Z,P,K)。freqs(num,den)。運行程序效果如圖 22 示： 圖 2 2 巴特沃思模擬濾波器特性圖（ n=25） 圖 2 3 巴特沃思低通濾波器幅頻響應曲線 從圖 22 中可以明顯觀察得知，巴特沃思模擬濾波器不具備線性相位。 再者設計并繪制階數(shù)分別為 15的巴特沃思濾波器的幅頻響應曲線。其實現(xiàn)的 MATLAB程序代碼見附錄代碼 21，運行程序幅頻響應繪制曲線如圖 23 所示。從圖中可論證，濾波特性一般，且 階數(shù) N 越大，濾波效果越接近理想值矩形 過渡帶越窄。 這種濾波器 無論是在通帶還是阻帶內(nèi)都是頻率單調(diào) 的 函數(shù) ?？梢园l(fā)現(xiàn)，當通帶邊界處滿足指標要求，通帶內(nèi)有余量，可以將精度均勻分布在整個通帶內(nèi)。為此，選擇傳遞函數(shù)具有等波紋特性的濾波器，就能在階數(shù)較低的情況下滿足系統(tǒng)要求。 . . 第三節(jié) 切比雪夫濾波器 實現(xiàn)與分析 一、 切比雪夫逼近原理 切比雪夫低通濾波器幅度函數(shù)的平方為 2 221() 1 ( )NHj c? ??? ? （ 2 4） 式中 ()NC ? 是 N 階切比雪夫