【文章內(nèi)容簡介】 的頻率響應(yīng)。 . . 在描述幅度特性以及濾波特點(diǎn)時(shí)，幅度函數(shù)在 12( , )ss?? 范圍內(nèi)低于某值很小時(shí)，則稱 12( , )ss?? 為阻帶。同理 ， 當(dāng)幅度在12( , )pp??內(nèi)相對(duì)較大且 變化范圍較小則稱12( , )pp??為通帶。此外，還定義了過渡帶 ，即通帶與阻帶之間的頻帶。 圖示的方式幫助我們更加直觀的描述各類不相同頻帶的濾波器如下：低通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線如圖 11（ a） 所示，可以看出它的通帶為 (0, )p? ，阻帶范圍 ( , )s?? ，過渡帶就是 ( , )ps?? ，其中 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 p 稱為通帶（截止）頻率， 錯(cuò)誤 !未找到 引用源。 s 稱為阻帶（截止）頻率。幅度函數(shù)的單調(diào)性與是否為通帶或阻帶沒有直接關(guān)系。在研究中還會(huì)涉及到通帶與阻帶的相對(duì)變化量，我們將定義通帶內(nèi)最大值與最小值之差 的 dB 值 為通帶波紋，用 Ap 表示，定義通帶內(nèi)的最大值（也可為通帶內(nèi)的其他值）與阻帶內(nèi)最大值之差 的 dB 值 為阻帶衰減，用 As 表示， Ap 和 As 都以分貝度量，為正值。 若 |H(j?)|的最大值為 1，通帶和阻帶的變化量分別為 ?p 和 ?s（見圖 11（ b）），根據(jù) Ap 和 As 的定義，則有 / 2 0/ 2 02 0 l o g (1 ) 1 1 02 0 l o g 1 0 spAp p ps s s AAA??????? ? ? ? ?? ? ?或或 （ 1 3） 高通濾波器的通帶為 ( , )p?? ，阻帶為 (0, )s? ，如圖 11(c)所示。帶通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線如圖 11(d)示。 12,pp??為通帶頻率， 12,ss??為阻帶頻率。帶阻濾波器的幅頻曲線如圖 11(e)示 。 ?|H ( j? ) |/ d B?p?s0?p0?s 1 0 0 （ a） 低通（幅度用 dB 表示） ?|H ( j? ) |?p?s0?p1?s ?? p? s0|H (j ? )| (b) 低通 (c) 高通 ?? p1 ? p2? s1 ? s20|H (j ? )| ?? p1 ? p2? s1 ? s20|H (j ? )| （ d） 帶通 （ e） 帶阻 . . 圖 1 1 濾波器的幅頻特性 第三節(jié) 濾波器的技術(shù)指標(biāo) 一、 濾波器的技術(shù)指標(biāo)及表示方法 設(shè)計(jì)中確定了實(shí)際需求就需要確定技術(shù)指標(biāo)。具體的，濾波器的技術(shù)指標(biāo)可用以下幾種方式來表示： ① 幅度范圍定義了通帶的最小幅度 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 和阻帶的最大幅度 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 。 ② 幅度容限值指定通帶幅度減小最大值 1pPM? ?? 和阻帶幅度的最大值 1ssM? ?? ③ 幅度紋波容限描述了通帶內(nèi)幅度變化最大量 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 和阻帶內(nèi)幅度變化最大量 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 。 ④ 衰減范圍用 dB 表示，指定通帶內(nèi)的最大衰減 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 和阻帶內(nèi)的最小衰減 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 。 ⑤ 增益范圍用 dB 表示，通帶內(nèi)最小增益 ppG A?? 惡化阻帶內(nèi)最大增益 ssG A?? 。 二、 四種選頻濾波器的技術(shù)指標(biāo) ① 低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： ()jHe? =1,0? ? ； ()jHe? =0， ? 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 。 ② 帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： ()jHe? =0， 0錯(cuò)誤 !未找到引用源。 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ； ()jHe? =1； ? ? ? ； ()jHe? =0， 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ? 。 ③ 高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： ()jHe? =0， 0? ? ； ()jHe? =1， 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ? 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 。 ④ 帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)： ()jHe? =1， 0錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ? ； ()jHe? =0； 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ； ()jHe? =1， ? ? 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 。 第四節(jié) 濾波器的系統(tǒng)特性 . . 已知在濾波 器的設(shè)計(jì)的過程中，我們需要考慮信號(hào)與系統(tǒng)中所要求的很多因素，例如穩(wěn)定性等?，F(xiàn)在來具體介紹數(shù)字濾波器的系統(tǒng)特性。 一、 穩(wěn)定性 穩(wěn)定系統(tǒng)是系統(tǒng)只要沒有外部源的激勵(lì)，就能保持靜止?fàn)顟B(tài)沒有輸出?；蛘咻斎胗薪巛斎爰摧斎胫翟谌我鈺r(shí)刻都小于某一有限值，輸出也能呈現(xiàn)有界性。這樣的系統(tǒng)被稱作穩(wěn)定系統(tǒng)?？紤]到系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了性能實(shí)用性等方面的影響，故它也是系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一個(gè)主要的問題，因此有必要通過確定特定系統(tǒng)參數(shù)值的范圍來確定系統(tǒng)穩(wěn)定性。 二、 時(shí)不變性 如果輸入信號(hào)的時(shí)移會(huì)引起相同的輸出信號(hào)的時(shí)移就叫做時(shí)不變系統(tǒng)。用數(shù)學(xué)表達(dá)的方 式，即如果輸入 ()xt 產(chǎn)生輸出 ()yt ，則輸入 0()xt t? 產(chǎn)生 0()yt t? 。也就是說，在這種系統(tǒng)中，任意時(shí)刻輸入的信號(hào)，輸出的都是同一個(gè)波形。也可以說，輸入延遲0t 秒，輸出也保持同樣的延遲步調(diào)，這個(gè)系統(tǒng)就是時(shí)不變的。同理，對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)而言，要想時(shí)不變就需要滿足輸入信號(hào) 0()x k k? 產(chǎn)生對(duì)應(yīng)輸出信號(hào) 0()y k k? 。時(shí)不變系統(tǒng)的特性和參數(shù)不隨時(shí)間變化，這一點(diǎn)在差分方程中表現(xiàn)的尤為明顯。相反，非時(shí)不變的系統(tǒng)稱為時(shí)變系統(tǒng)。 三、 線性 首先介紹疊加原理 ： 幾個(gè)輸入 1( 2), ( ),..., ( )Nx t x t x t同時(shí)作用于系統(tǒng)，其響應(yīng) ()yt 等于每個(gè)輸入單獨(dú)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)之和。具體的，如果系統(tǒng)滿足： ① 疊加性：輸入 1()xt產(chǎn)生輸出 1()yt，輸入 2()xt產(chǎn)生輸出 2()yt，那么對(duì)所有的輸入 1()xt和 2()xt有，輸入 ( 1()xt + 2()xt)產(chǎn)生輸出 ( 1()yt + 2()yt)。 ② 齊次性：輸入 ()xt 產(chǎn)生輸出 ()yt ，同時(shí)對(duì)任何輸入及任何常數(shù) a，都有輸入 ax(t)得到的輸出為 ay(t)。 同時(shí)滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)被稱作線性系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用它的單位脈沖響應(yīng)來表征。其輸入輸出的描述法通常采用線性常系數(shù)差分方程。 實(shí)際研究的大部分系統(tǒng)都是線性時(shí)不變系統(tǒng)，可以縮寫為 LTI 系統(tǒng)。 這類系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)可以通過求取輸入 系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)的卷積得到。 輸入輸出的關(guān)系變得相對(duì)簡單。它的缺點(diǎn)在于： 用卷積運(yùn)算 來 求解 LTI 系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)并不容易， 同時(shí) 系統(tǒng)的 真實(shí)情況也不能很好地反映。 但無論怎樣， LTI 系統(tǒng)在信號(hào)與系統(tǒng)的研究中仍然占有舉足輕重的位置。 . . 四、 因果性和最小相位系統(tǒng) 如果系統(tǒng)以時(shí)間為自變量， 且 輸出僅與現(xiàn)在和過去的輸入 值 有關(guān)，就叫做因果系統(tǒng)。即 y(t)僅取決于 x(t)在 t?? 的值。相反 ， 如果和未來有關(guān) 或 是在實(shí)際中是不可能實(shí)現(xiàn)的，這類系統(tǒng)被稱作是非因果系統(tǒng)。 為了實(shí)現(xiàn)濾波器設(shè)計(jì)實(shí)際總就必須保 證系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性，所以必須為因果系統(tǒng)。如果一個(gè)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)，它的系統(tǒng)函數(shù) H(z)所有的零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)則稱其為最小相位系統(tǒng)。相反，如果零點(diǎn)都在單位圓之外是最大相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的相頻特性，其相角變化范圍是最小的。 第二章 模擬濾波器設(shè)計(jì) 分析 第一節(jié) 濾波器逼近的一般方法 模擬濾波器基于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，在頻譜變換中采用 s 變換。已知濾波器設(shè)計(jì)的首要任務(wù)就是要確定滿足技術(shù)指標(biāo)要求的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)必須是物理可實(shí)現(xiàn)的，也就是要滿足因果性和穩(wěn)定性。為此系統(tǒng)就必須滿足一下幾個(gè)條件： ① ??Hs是 s 的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，也就是濾波器的單位脈沖響應(yīng) ()ht 是實(shí)函數(shù) ② ??Hs的極點(diǎn)必須全部位于 s 平面的左半平面。 （穩(wěn)定性要求） ③ ??Hs的分子多項(xiàng)式的階數(shù)必須小于分母多項(xiàng)式的系數(shù)。 由上推論可得，濾波器的頻率響應(yīng)滿足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2| | | sjH j H j H j H s H s ?? ? ? ?? ? ? ? （ 2 1） 由于系統(tǒng)函數(shù) H(s)是 s 的有理函數(shù)，則 H(s)H(s)是 s2的有理函數(shù)，所以 |H(j?)|2必為 2? 的有理函數(shù)。并且在濾波器逼近函數(shù)問題中，一般由 |H(j?)|2確定 H(s)。 在模擬濾波器中通常用一些逼近函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，常見的逼近函數(shù)有：巴特沃思逼近，切比雪夫（ I 和 II 型）逼近，橢圓逼近，貝塞爾逼近。圖 21 給出了幾 種逼近函數(shù)設(shè)計(jì)的低通濾波器幅頻特性，他們具有相同的階數(shù)和波紋要求。 . . 0 1 2 3 410 1 2 3 41|)j(| ?H ? |)j(| ?H ?0 1 2 3 410 1 2 3 41|)j(| ?H |)j(| ?H? ? (a) 巴特沃思濾波器 (b)切比雪夫 I 型濾波器 (c) 切比雪夫 II 濾波器 (d)橢圓濾波器 圖 2 1 幾種逼近函數(shù)的幅頻特性 從圖中觀察可以得知，在相同的階數(shù)和波紋要求之下，橢圓濾波器的選擇性相對(duì)最優(yōu)，它的過渡帶也相對(duì)更窄，帶外抑制更加陡峭。其次是切比雪夫?yàn)V波器，最后才是巴特沃思濾波器。切比 雪夫的兩種類型所變現(xiàn)出的波紋和單調(diào)型出現(xiàn)頻帶相反也從圖中明顯觀察得知。 第二節(jié) 巴特沃思濾波器 實(shí)現(xiàn)與分析 一、 巴特沃思逼近 巴特沃思 （ Butterworth） 低通濾波器的平方幅度響應(yīng)函數(shù)為： ? ? 2221| ( ) | 1 ( / ) NcH j H?? ???? ? （ 2 2） 式中： N 為濾波器的階數(shù)，通帶頻率取為 1rad/s。 由 22 式可計(jì)算出： 0?? rad/s 時(shí)， | ( 0)| 1Hj? ； 1?? rad/s 時(shí)， ( 1) 1/ 2Hj ? ；也就是說在通帶頻率處衰減約 3dB。故有時(shí)也稱巴特沃思濾波器 3dB 通帶頻率為1rad/s； ??? 時(shí)， ( ) 0Hj? ? 。 階數(shù) N 值和其他參數(shù)的關(guān)系可被歸納為： g (1 0 1)2 lo g sAsN ? ???? （ 2 3） 巴特沃 思系統(tǒng)函數(shù)的特點(diǎn)可以被總結(jié)為以下幾點(diǎn)：它的分母多項(xiàng)式 ()As 如表 21所示。 ① 階數(shù) N 越高，特性越接近于矩形，過渡帶越窄。 ② 通帶沒有波紋，其頻率響應(yīng) 隨著頻率增大而平滑單調(diào)下降。 ③ ()Hj? 在通帶內(nèi)具有最大平坦特性。傳遞函數(shù)無零點(diǎn)。 ④ 缺點(diǎn)是從通帶到阻帶的過渡較大。 . . 表 2 1 巴特沃思低通濾波器分母多項(xiàng)式的系數(shù) 111( ) 1NN NA s s a s a s? ?? ? ? ? ? ? N a1 a2 a3 a4 a5 2 3 4 5 6 二、 巴特沃思濾波器 的實(shí)現(xiàn)與分析 在 MATLAB 信 號(hào)處理工具箱中巴特沃思濾波器函數(shù) 的 調(diào)用格式如下：[z,p,k,]=buttap（ n）式中： n 為巴特沃思濾波器的階數(shù)， z,p,k 分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。設(shè)計(jì)中還涉及到 [num,den]=zp2tf(z,p,k)函數(shù)，它是傳遞函數(shù)（ transfer function）， num 為分子多項(xiàng)式的系數(shù)，而 den 是分母多項(xiàng)式的系數(shù)。 設(shè)計(jì)并產(chǎn)生一個(gè) 25 階低通濾波器原型，其實(shí)現(xiàn)的 MATLAB 程序代碼如下： [Z,P,K]=buttap(25)。[num,den]=zp2tf(Z,P,K)。freqs(num,den)。運(yùn)行程序效果如圖 22 示： 圖 2 2 巴特沃思模擬濾波器特性圖（ n=25） 圖 2 3 巴特沃思低通濾波器幅頻響應(yīng)曲線 從圖 22 中可以明顯觀察得知，巴特沃思模擬濾波器不具備線性相位。 再者設(shè)計(jì)并繪制階數(shù)分別為 15的巴特沃思濾波器的幅頻響應(yīng)曲線。其實(shí)現(xiàn)的 MATLAB程序代碼見附錄代碼 21，運(yùn)行程序幅頻響應(yīng)繪制曲線如圖 23 所示。從圖中可論證，濾波特性一般，且 階數(shù) N 越大，濾波效果越接近理想值矩形 過渡帶越窄。 這種濾波器 無論是在通帶還是阻帶內(nèi)都是頻率單調(diào) 的 函數(shù) 。可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)通帶邊界處滿足指標(biāo)要求，通帶內(nèi)有余量，可以將精度均勻分布在整個(gè)通帶內(nèi)。為此，選擇傳遞函數(shù)具有等波紋特性的濾波器，就能在階數(shù)較低的情況下滿足系統(tǒng)要求。 . . 第三節(jié) 切比雪夫?yàn)V波器 實(shí)現(xiàn)與分析 一、 切比雪夫逼近原理 切比雪夫低通濾波器幅度函數(shù)的平方為 2 221() 1 ( )NHj c? ??? ? （ 2 4） 式中 ()NC ? 是 N 階切比雪夫