【文章內(nèi)容簡介】 22 附錄 I 外文文獻翻譯 估計導致工程幾何分析錯誤的一個正式理論 SankaraHariGopalakrishnan， KrishnanSuresh 機械工程系，威斯康辛大學，麥迪遜分校， 2020年 9月 30日 摘要 ： 幾何分析 是著名的計算機輔助設(shè)計 /計算機輔助工藝簡化 “ 小或無關(guān)特征 ” 在 CAD模型 中 的程序 ，如有限元分析 。 然而 ，幾何分析 不可避免地 會產(chǎn)生 分析錯誤 ， 在目前的理論框架實在不容易量化 。 本文 中，我們 對快速 計算 處理這些幾何分析錯誤 提供了嚴謹?shù)睦碚?。尤?， 我們集中力量解決地方的特點，被 簡化 的任意形狀和大小的 區(qū)域 。提出的理論 采用 伴隨 矩陣 制定邊值問題抵達嚴格界限幾何分析性分析錯誤。該理論通過數(shù)值例子說明。 關(guān)鍵詞 :幾何分析 。工程分析 。誤差估計 。計算機輔助設(shè)計 /計算機輔助 教學 1. 介紹 機械 零件 通常包含了許多幾何特征。不過，在工程分析 中 并不是所有的特 征 都是至關(guān)重要的。以前的分析 中 無關(guān)特征往往被 忽略 ，從而提高自動化及運算速度。 舉例來說，考慮一個剎車轉(zhuǎn)子 ，如圖 1(a)。轉(zhuǎn)子包含 50多個不同 的特 征 ，但所有這些 特征 并不是都 是 相關(guān)的 。就拿一個幾何化的 剎車轉(zhuǎn)子 的 熱 量 分析 來說，如圖 1(b)。有限元分析的全功能的模型 如 圖1(a)， 需 要超過 150,000 度的自由 度 ， 幾何 模型圖 1(b)項要求 小于 25， 000個自由度，從而導致 非常緩慢的 運算速度。 圖 1(a)剎車轉(zhuǎn)子 圖 1(b)其 幾何分析 版本 除了提高速度，通常 還能 增加自動化水平，這比較容易實現(xiàn)自動化的有限元網(wǎng)格 幾何分析 組成。內(nèi)存要求也 跟著 降低，而 且 條件數(shù)離散系統(tǒng) 將得以 改善 。后者起著重要作用迭代線性系統(tǒng)。 但是，幾何分析還不是很普及 。 不穩(wěn)定性到底 是 “ 小而 局部 化 ”還是“ 大 而擴展化” ，這取決于各種因素。例如， 對于 一個熱問題，想刪除其中的一個特 征，不穩(wěn) 定性 是 一個局部問題 :(1)凈熱通量邊界的特點是零。 (2)特征簡化時 沒有新的熱源 產(chǎn)生 。 [4]對上述規(guī)則 則 例外。展示這些物理特征被稱為自我平衡。結(jié)果，同樣存在結(jié)構(gòu)上的問題。 從幾何分析角度 看 ，如果特征遠離該 區(qū)域，則 這種自我平衡的特 征可以忽略 。但是，如果功能接近該 區(qū)域我 們必須謹慎。 從 另一 個角度看 ，非自我平衡的特 征應(yīng)值得重視 。 這些特征的簡化 理論上 可以在系統(tǒng)任意位置被施用 ,但是會 在系統(tǒng)分析 上 構(gòu)成重大的挑戰(zhàn)。 目前，尚無任何系統(tǒng)性的程序 去 估算幾何分析 對 上述兩個案例 的 潛在影響。 這就必須 依靠工程判斷 23 和經(jīng)驗。 在這篇文 章中，我們制定了理論估計幾何分析影響工程分析自動化的 方式 。任意形狀和大小的 形 體如何 被 簡化是本文重點要 解決 的 地方。伴隨 矩陣 和單調(diào)分析 這 兩個數(shù)學概念被合并成一個統(tǒng)一的理論來解決雙方的自我平衡和非 自我平衡的 特點。數(shù)值例子涉及二階 scalar偏微分方程，以證實他的理論。 本文還包含以 下 內(nèi)容 。第 二節(jié)中 ，我們就幾何分析總結(jié)以往的工作。在第三節(jié)中，我們解決幾何分析引起的錯誤分析，并討論了擬議的方法。 第四部分 從數(shù)值試驗提供結(jié)果。 第五部分討論如何加快設(shè) 計開發(fā) 進度 。 2. 前期工作 幾何分析過程可分為三個階段 : 識別 :哪些特 征 應(yīng)該 被 簡化； 簡化： 如何在一個自動化和幾何一致的方式 中簡化 特征 ； 分析 :簡化的結(jié)果。 第一 個階段 的相關(guān)文獻已 經(jīng)很多 。 例如 ，企業(yè)的規(guī)模和相對位置 這 個特點，經(jīng)常被用來作為度量鑒定。此外，也有人提議以有意義的力學判據(jù)確定這種特征。 自動化幾何分析過程，事實上，已成熟到一個商業(yè) 化 幾何分析 的 地步。但我們注意到，這些商業(yè)軟件包 僅 提供一個純粹的幾何解決。因為沒有保證隨后進行的分析錯誤 ，所以 必須 十分 小心使用。另外， 固有 的幾何問題依然存在，并且 還在研究當中 。 本文的重點是放在第三階段，即 快速 幾何分析 。 建立一個有系統(tǒng)的方法，通過幾何 分析引起的誤差是 可以計算出來的。 再分析的 目的是迅速 估計 改良系統(tǒng) 的 反應(yīng)。其中 最著名的再分析理論 是著名的謝爾曼Morrison和 woodbury公式 。對于 兩種有著相似的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu) 和 剛度矩陣設(shè)計， 再分析 這種技術(shù)特別有效 。然而，過程幾何分析在網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的剛度矩陣 會 導致一個戲劇性的變化， 這與再分析 技術(shù)不太相關(guān)。 3. 擬議的方法 我們把注意力 放 在這個文件中的工程問題， 標量 二階偏微分方程式 (pde): .).( fauuc ????? 許多 工程技術(shù)問題，如熱，流體靜磁 等 問題，可能 簡化為 上述 公式 。 作為一個 說明性 例子，考慮散熱問題的二維 模 塊 Ω 如圖 2所示 。 圖 2二維熱座裝配 熱量 q從一個線圈置于下方 位置 列為 Ωcoil 。半導體裝置 位于 Ωdevice 。這兩個地 方 都屬于 Ω ，有相同的材料屬性，其余 Ω 將 在 后面 討 論。 特別令人感興趣的是數(shù)量，加權(quán)溫度 Tdevice內(nèi) Ωdevice( 見圖 2)。一個時段，認定為 Ωslot 縮進 如圖 2，會受到抑制，其對 Tdevice將予以研究。邊界的時段 稱為Γslot 其余的界線將 稱為 Γ 。邊界溫度 Γ 假定為零。兩種可能的邊界條件 Γslot 被認為是 :(a)固定熱源，即 (k? t)?n=q， (b)有 一定溫度，即 T=Tslot。兩種情況會導致兩種不同幾何分析引起的誤差的結(jié)果。 設(shè) T(x， y)是未知的溫度場和 K導熱。然后，散熱問題可以通過泊松方程式表示 : 24 )1()().)((00).(?????????????????????????????s l c ts l c ts l c tc o i lc o i lTTboronqhkaonTinininQTkBCP D E )2(),(),(????? ?? ??? d e v i c edycTyxHTC om pu t e d e v i c e 其中 H(x， y)是一些加權(quán)內(nèi)核。現(xiàn)在考慮的問題 是幾何分析簡化 的插槽是 簡化 之前分析 ，如圖 3所示 。 圖 3defeatured二維熱傳導 裝配模塊 現(xiàn)在有一個不同的邊值問題，不同領(lǐng)域 t(x， y): )3(ΩΓo n 0t ΩΩ0 in ΩQ). ( kBCP D E c o i ls l o tc o i l????? ? ??? ?????? int )4(),(),(??? ?? ??? d e v i d ed e v i c e dyxtyxHtC o m p u t e 觀察到的插槽的邊界條件為 t(x， y)已經(jīng)消失了，因為槽已經(jīng)不存在了 （ 關(guān)鍵性變化 ） ! 解決的問題是 : 設(shè)定 tdevice和 t(x， y)的值 ，估計 Tdevice。 這是一個 較難 的問題 ，是 我們尚未解決 的 。在這篇文章中，我們將從上限和下限 分析 Tdevice。這些方向是明確被俘引理 4和 6。至于其余的這一節(jié)，我們將發(fā)展基本概念和理論，建立這兩個 引理 。值得注意的是，只要它不重疊 ， 定位槽與 相關(guān) 的裝置或熱源沒有任何限制。上下界 的 Tdevice將取決于它們的相對位置。 矩陣 方法 我們需要的第一個概念是，伴隨 矩陣公式表達法 。應(yīng)用伴隨 矩陣 論點的微分積分方程，包括其應(yīng)用的控制理論，形狀優(yōu)化，拓撲優(yōu)化等。 我們 對這一概念歸納如下。 相關(guān)的問題都可以定義 為 一個伴隨 矩陣 的問題， 控制 伴隨 矩陣 t_(x， y)，必須符合下列公式計算〔 23〕 : ???????????????ontininHtkd e v i c es l o td e v i c e0)5(0).(** 伴隨場 t_(x， y)基本上是一個預(yù)定量，即加權(quán)裝置溫度控制的應(yīng)用熱源。 可以 觀察到，伴隨問題的 25 解決是復(fù)雜的原始問題 ?？刂?方程是相同的 。這些問題就是所謂的自 身伴隨矩陣 。大部 分工程技術(shù)問題的實際利益，是自 身伴隨矩陣 ，就很容易計算伴隨 矩陣 。 另一方面， 在幾何分析 問題 中 ，伴隨 矩陣 發(fā)揮著關(guān)鍵作用 。 表現(xiàn)為以下引理綜述 : 引理 的 區(qū)別，即 (Tdevicetdevice)可以歸納為以下的邊界積分比 幾何分析插槽 : ?????????????????????s l o ts l o tdntktTdntTkttT d e v i c ed e v i c e).)((]).([^*^* 在上述引理 中 有兩點值得注意 : 積分只牽涉到邊界 гslot。 這是令人鼓舞的。或許，處理剛剛過去的被 簡化 信息特點可以計算誤差。 右 側(cè) 牽涉到的未知 區(qū) 域 T(x， y)的全功能的問題。特別是第一 周期 涉及的差異，在正 常的梯度，即涉及 [k(Tt)] ?n。這是一個已知數(shù)量邊界條件 [k? t]?n所指定的時段 ， 未知狄里克萊條件作出規(guī)定[k? t]?n可以評估。在另一方面，在第二個 周 期內(nèi)涉及的差異，在這兩個領(lǐng)域， 即 T管 。 因為 t可以評價， 這是一個已知數(shù)量 邊界條件 T指定的時段。因此。 引理 、 差額 (tdevicetdevice)不等式 ????????????????????????????????????dntTkdtdtTntktTa n ddtTdntkdntTkttTs l o ts l o ts l o td e v i c ed e v i c es l o ts l o ts l o td e v i c ed e v i c e2^2*^*22^*^*]).([)()().()()().()).(()( 然而，伴隨 矩陣 技術(shù)不能完全消除未知 區(qū) 域 T(x， y)。為了消除 T(x， y)我們把 重點 轉(zhuǎn)向單調(diào)分析。 單調(diào)性 分析是由數(shù)學家在 19世紀和 20 世紀前建立的各種邊值問題。例如，一個單調(diào)定理 : 添加幾何約束到一個結(jié)構(gòu)性問題，是指在位移 (某些 )邊 界不減少 。 觀察發(fā)現(xiàn)，上述理論提供了一個定性的措施 以 解決邊值問題。 后來， 工程師利用 之前的 “ 計算機時代 ” 上限或下限同樣的定理， 解決了 具有挑戰(zhàn)性的問題。當然，隨著計算機時代的到來 ， 這些 相當復(fù)雜的直接求解 方法已經(jīng)不為人所用 。 但是 ，在當前的幾何分析，我們證明這些定理采取更為有力的作用，尤其 應(yīng) 當配合使用伴隨理論。 我們現(xiàn)在利用一些單調(diào)定理，以消除上述引理 T(x， y)。遵守先前 規(guī)定 ，右邊是區(qū)別已知和未知的領(lǐng)域，即 T(x， y)t(x， y)。因此，讓我們在界定一個領(lǐng)域 E(x， y)在區(qū)域為 : e(x， y)=t(x， y)t(x， y)。 據(jù) 悉， T(x， y)和 T(x， y)都是明確的界定，所以是 e(x， y)。事實上，從 公式 (1)和 (3)，我們可以推斷， e(x， y)的正式滿足邊值問題 : 26 ???????????????????????s lo ts lo tontTeboronqnekaoneinekS o l v e)().)((00).(^ 解決上述問題 就能 解決 所有 問題 。 但是，如果我們能計算 區(qū) 域 e(x， y)與正常的坡度超過插槽，以有效的 方式，然后 (Tdevicetdevice)， 就 評價表示 e(X， Y)的效率，我們現(xiàn)在考慮在上述方程兩種可能的情況 如 (a)及 (b)。 例 (a)邊界條件較第一插槽，審議本案時槽原本指 定 一 個 邊界條件。為了估算 e(x， y)，考慮以下問題 : )6(,0),(....0).(22^^??????????????????????????yxasyxeonqntknekinekS o l v e s l ots l ot 因為只取決于縫隙，不 討 論域，以上問題計算 較簡單 。經(jīng)典邊界積分 /邊界元方法可以 引用 。關(guān)鍵是計算機領(lǐng)域 e1(x， y)和未知領(lǐng)域的 e(x， y)透過 引理 。這兩個領(lǐng)域 e1(x， y)和 e(x， y)滿足以下單調(diào)關(guān)系 : 222 )(m a x)() ?????? ?????? ?? ?? ?? s l o ts l o t m e a s u r eedede s l o ts l o t 把 它 們綜合 在一起，我們有以下結(jié)論引理。 引理 的裝置溫度 Tdevice，當插槽具有邊界條件，東至以下限額的計算，只要求 :(1)原始及伴隨場 T和隔熱與 幾何