【文章內(nèi)容簡介】 件下對應的概率分布特征，其中奇異標度指數(shù) a 規(guī)定了奇異性的強度，而 )(af 則描述了分布的稠密程度 . 多重分形過程 Mandelbrot 通過運用增量矩的尺度特性，來定義了多重分形過程： 如果一個連續(xù)的時間過程 ??? ?TttX ?, 具有一個平穩(wěn)的增量，并且滿足： ? ? ? ? ? ? ? ? 1????????? ??? qq tqctXttXE ? （ 21） 則稱 ??tX 為多重分形過程 .其中 t? 為時間增量， T 和 Q 是實軸上的區(qū)間，它們長度非零，并且 ? ? QT ?? 1,0,0 ， ??qc 和 ??q? 均是 Q 域上的函數(shù) . 上式表示了多重分形過程的矩的一個冪律關系的性質(zhì) .函數(shù) ??q? 是多重分形過程中的尺度函數(shù)，通過運用序列增量的矩特性，從而刻畫出來不同幅度的增量的尺度特征，進而可以刻畫出各個不同時點上的分形特征 .其中，當 ??q? 為q 的線性函數(shù)時，這一過程是單分形過程，比如當 ? ? 1??Hqq? 時， ??q? 是由 H唯一決定的一個線性函數(shù)；而當 ??q? 為 q 的非線性函數(shù)時，這時就稱這一過程是多重分形的過程 . 通過對不同幅度的波動進行冪次方處理，這就 相當于對波動的波幅放大幾 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 8 倍或縮小幾倍 .所以，不同的 q 值對應的尺度函數(shù) ??q? 對應著不同的波動，從而反映出了不同程度大小的價格波動信息，而且隨著時間標度的取值變化，還可以觀察在不同時間標度上的價格波動信息 .總之，多重分形分析能夠更加清晰地分析研究金融市場上的不同時間的標度，不同幅度變化的價格或者收益波動的相關特征 . 多重分形能夠定量地刻畫出十分復雜的幾何對象在不同的層次的一個分形特征，并且可以用多重分形譜的形式表達出來 .因此，我們可以 知道，通過運用多重分形的相關理論去分析研究金融市場，能夠更準確地對金融市場的波動性進行更加細致的剖析和描述，進而可以得到有關于金融時間序列在不同的時間標度以及不同幅度程度的波動信息 . 廣義 Hurst 指數(shù) 對于時間序列 ??tX ，根據(jù)公式 (21)，來定義廣義 Hurst 指數(shù) ? ?qHHq? ， ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?qHqq tqctXttXE ????? 1 （ 22） 函數(shù) ??qH 描述了時間增量在 t? 下的廣義平均波動的相關信息 .特別地，當 1?q 時， 1H 即為前面單分 形中的指數(shù)，也稱為全局 H 指數(shù)，當 ?H 時，序列表現(xiàn)持續(xù)性， ?H 時，表現(xiàn)反持續(xù)性， ?H 時，即為隨機的布朗運動 . 廣義 Hurst 指數(shù) ??qH 與尺度函數(shù) ??q? 之間的關系為： ? ? ? ?? ?qqqH 1*1?? ? （ 23） 分形市場理論 分形時間序列 對于一個時間序列來說，只有在它受到許多等可能性事件的共同影響時才是隨機的 .而且對于一個非隨機的時間序列，構成序列的數(shù)據(jù)之間是具有內(nèi)在相關性的，也就是說時間序列是分形的 .分形吋間序列也通常被稱為是有偏隨機的游動，曼德勃羅特（ Mandelbrot）把這種隨機游動稱為是分數(shù)布朗運動 .它表示了時間序列的非隨機特征，序列具有趨勢疊加上噪聲的這樣的一種特性 .趨勢的存在也導致了測出的觀測值之間不是相互獨立的，這個時候，序列的觀測值就具有長記憶性的特征 . 通常來講，分形時間序列具有下列的一些特點： （ 1）分形時間序列具有著無限的精細結構 .當觀測的對象，即股票收益率序 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 9 列的尺度從年收益率改變到周收益率，繼續(xù)改變到日收益率，再到分時這樣的逐漸變化時，大量結果表明，股票收益率序列的復雜細節(jié)是不會隨尺度改變而發(fā)生變化的 . （ 2） 分形時間序列具有分形維數(shù) .分形維數(shù)是描述時間序列如何填充空間的這樣的一個參數(shù) .它表征了分形幾何體的復雜程度以及粗糙程度 . （ 3）分形時間序列具有自相似性特征 .復雜分形系統(tǒng)的整體與部分以及部分與部分內(nèi)部之間的精細的結構和性質(zhì)是具有相似牲的或者是具有統(tǒng)計意義上的相似性的 . 分形市場理論 Peters 在 1994 年開始將分形理論引入到了復雜的經(jīng)濟系統(tǒng)，提出了分形市場理論，分形市場理論是分形理論在金融市場分析研究中的一個具體運用 . 傳統(tǒng)的有效市場理論認為市場的收益序列具有線性、獨立以及有限 方差的這些特征，并且其分布是服從正態(tài)分布的，有效市場理論展現(xiàn)了一種理想的市場結構 .Peters 則根據(jù)非線性的觀點，在實際的金融市場中，提出了更符合資本市場實際的基本理論，這一理論揭示出了不同的證券市場信息接受程度和不同的投資時間尺度對不同投資者的投資決策所產(chǎn)生的不同影響，認為資本市場都具有分形結構的特征，其收益率的分布也并不是服從正態(tài)分布的，而是具有明顯的尖峰厚尾特征，沒有方差或方差無限大 . 由于在資本市場中，存在許多偏好不同的投資者，加上投資者的理性有限，投資者對信息的理解能力互不相同，導致投資者做出不同 的投資決策 .由于上述實際資本市場的種種因素，決定了資產(chǎn)價格的變化不是隨機游動的，而是具有持續(xù)相關性的 . 分形市場的特征有： （ 1） 標度不變性，也就是指不同的時間標度下具有相似的統(tǒng)計規(guī)律 . （ 2） 長程相關性，即過去的相關信息對現(xiàn)在以及未來的事件不是相互獨立的，而且是能夠產(chǎn)生著長期性影響的 . （ 3） 如果預測的時間越長，那么預測的結果是越不可信的，不能夠進行長期準確地預測 . 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 10 3 幾種分形方法理論研究 單分形方法 R/S 方法分析 R/S 分析法，即重標極差分析法，它廣泛用于研究時間序列的分形特征和分 析長期記憶過程，該方法最初是英國水文學家赫斯特 (Hurst)在 1951 年研究尼羅河水壩工程時經(jīng)過研究提出來的，他發(fā)現(xiàn)了一個更一般的冪率形式（式 31）并同時提出來一個新的非參數(shù)統(tǒng)量，被稱為 Hurst 指數(shù)，簡稱為 H 指數(shù) .此后，R/S 分析法被用在各種時間序列的分析當中 . ? ? Hn CnSR ? (31) 其中，對于一個時間序列 ??tx ， R/S 是重標極差， S 指序列 ??tx 每段的方差，n 表示每段區(qū)間的長度， C 為常數(shù) . R/S 分析方法的基本步驟如下： （ 1）對一個時間序列 ??tx ，把它分為 k 個長度為 n 的等長子區(qū)間，對于每一個子區(qū)間，依次計算下面第 2 至第 5 步 . （ 2）計算各段數(shù)據(jù)的均值和標準差，以第 j 段的均值 jE 和標準差 jS 為例： ? ?? ??? ???nij injxnE 1 11 ， ? ?? ?? ??? ????ni jj EinjxnS 1211 （ 32） （ 3） 計算各段數(shù)據(jù)的累計離差和極差，以第 j 段的累積離差序列? ?? ? nrrD j ,...,2,1, ? 和極差 jR 為例： ? ? ? ?? ?? ??? ????ri jj EinjxrD 1 1， ? ? ? ?jjj DDR m inm a x ?? （ 33） （ 4）計算各段的重標極差，以第 j 段為例： ? ? jjj SRSR ? （ 34） （ 5） 計算整個 k 段序列的平均重標極差 ? ?nSR/ ： ? ? ? ????kj jn SRkSR 11 （ 35） （ 6）改變每段長度 n，使 n 取值為從 2 到 ? ?2N 之間改變，對不同的 n，重復上述（ 2） （ 5）步，得到散點對 ? ?? ?nSRn, 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 11 （ 7）繪制 ? ?? ? ? ?nSR n log~log 圖形，并用最小二乘法進行線性擬合，如滿足下式，則說明序列 ??tx 是單分形，且所得到的直線的斜率就是 Hurst 指數(shù) . ? ?? ? ? ? ? ?nHnSR n l o gl o g~l o g ? （ 36） 通 過分析 Hurst 指數(shù)結果，可得出：當 ?H 時，說明序列具有持續(xù)性；?H 時，序列具有反持續(xù)性； ?H 時，序列符合隨機游走 . R/S 分析法對短期記憶性比較敏感，因而由其不足，而消除趨勢波動分析方法（ DFA）可以消去短期相關性并反映長記憶性及分形特征 . DFA 方法分析 等物理學家和生物學家在 1994 年研究 DNA 分子的時候，發(fā)現(xiàn)NDA 分子順序在其分子個數(shù)大于 410 時，會呈現(xiàn)出一種長記憶性的、冪指數(shù)分布，之后他們提出了 DFA(detrended fluctuation analysis)方法 .DFA 方法可以消除短期的波動趨勢，用來檢測非平穩(wěn)時間序列的長記憶性，并且得到 Hurst 指數(shù) . DFA 方法的步驟如下： （ 1） 根據(jù)時間序列 ? ? Nixt ,...,2,1, ? ，得出累積離差序列 ??? ?ky ： ? ? ? ? Nkxxky ki i , . . . ,2,1,1 ??? ?? （ 37） 其中， x 是序列 ??ix 的平均值，Nxx Ni i 1*1??? （ 2） 將（ 1）中得到的序列 ??? ?ky 分成 ? ?sNNs int? 個連續(xù)的不重復的區(qū)間段，其中 s 為每個區(qū)間段的長度 .因為 N 不一定被 s 整除，為了防止末尾數(shù)據(jù)丟失，可以從序列 ??? ?ky 末端開始反方向再重復分割一次，這樣子就會得到一共sN2 個長度為 s 的區(qū)間段 . （ 3） 在每個區(qū)間段內(nèi)，如第 j 段，用最小二乘法回歸擬合趨勢多項式??kPmj ： ? ? ? ? ,...,2,1,1110 ????????? ?? mkbkbkbbkP mjmmmjjjmj （ 38） 其中， m 稱為回歸趨勢階數(shù) .不同的階 DFA 的比較結果能夠估計時間序列里的趨勢的強度 .于是計算出各個區(qū)間段消除趨勢后的序列 ? ? ? ? ? ?kPkyky mjj ?? ，并分別對這 sN2 個區(qū)間段計算出方差： 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 12 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ssimj NjiPisjyssjF , . . . ,2,1,11, 212 ????? ?? （ 39） ? ? ? ?? ? ? ?? ? sssimj NNjiPisNjNyssjF 2,...,1,1,122 ??????? ?? （ 310） （ 4）對所有區(qū)間段的方差求平均值，再計算方根得到 DFA 波動函數(shù) ??sF ： ? ? ? ? 2122 ,2 1????????? ??sNijssjFNsF （ 311） （ 5）對不同 s，重復上述（ 2） （ 4）步，并計算出相對應的 ??sF .如果 ??sF與 s 的對數(shù)函數(shù)之間存在存在線性關系： ? ? ? ?sHCsF l o gl o gl o g ?? （ 312） 則存在冪率形式的波動： ?? HCssF ? （ 313） 其中， H 即為 Hurst 指數(shù) . MFDFA 方法 Kantelhardt 等人 2020 年在原來 DFA 方法的 基礎上，提出了 MFDFA 方法，也就是多重分形消除趨勢分析方法，它是在驗證單分形的方法 DFA 的基礎上提出來的，用來驗證一個非平穩(wěn)時間序列是否具有多重分形特征的有效方法 . 基本步驟如