【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 礎(chǔ) 之上 ， 我們將參數(shù) c 的變化加進(jìn)來(lái)， 則 給出 Mandelbrot 的定義 :二次映射正 )(zfc的Julia 集為連通集的參數(shù) c 的集合我們稱(chēng) 為 Mandelbrot 集，記為 M。所以Mandelbrot 可表示為： |{ CcM ?? 迭代 { cz?0 and czznn ??? 21 保持收斂 } （ ） Mandelbrot 把 c 的參數(shù)平面被分為兩面， M 集和它的補(bǔ)集。動(dòng)力平面和參數(shù)平面上有不同的性質(zhì)，所以提出的問(wèn)題也是不同的。參數(shù)平面上有一個(gè)固定的初始點(diǎn) 00?z，對(duì)所有參數(shù)值 c 來(lái)研究初始點(diǎn)在 )(zfc下的軌跡。它是 )(zfc唯一的一個(gè)臨界點(diǎn)。而動(dòng)力平面卻不一樣。它是在動(dòng)力平面上固定一個(gè)參數(shù) c ，分析所有初始點(diǎn)在 )(zfc的軌跡。 Mandelbrot 集可以用復(fù)二次多項(xiàng)式 czzfc ?? 2）（ 來(lái)定義，其中 c 是一個(gè)參數(shù)。對(duì)于每一個(gè) c ，從 0?z 開(kāi)始對(duì) )(zfc 進(jìn)行迭代。序列 ))),0((),0(,0( ?ccc fff 的元素的模（復(fù)數(shù)具有模的概念）或者延伸到無(wú)窮大，或者只停留在有限半徑的圓盤(pán)內(nèi) 。 Mandelbrot 集合就是以上序列不延伸至無(wú)限大的 c 點(diǎn)的集合。從數(shù)學(xué)上來(lái)定義 ， Mandelbrot 集合是一個(gè) 全為 復(fù)數(shù) 的 集合， 如果我們給定一個(gè) c 或者屬于Mandelbrot 集合 M ，或者不屬于 這個(gè)集合 。 若 取 1?c ，那么這個(gè)序列就是)26,5,2,1,0( ? ，顯然它的值會(huì)趨于無(wú)窮大； 可是 如果取 ic? ，那么序列就是),1,1,0( ?iiii ???? ， 那么這個(gè)序列 的值 就會(huì)落在 有限半徑的圓盤(pán)內(nèi)。 經(jīng)過(guò)研究和計(jì)算事實(shí)上，只要 Mandelbrot 集合當(dāng)中對(duì) 應(yīng)序列中任意一個(gè)元素的模都不大于 2，那么這個(gè)點(diǎn)就是 Mandelbrot 集合 內(nèi) 部 的 點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)即是收斂的點(diǎn)。 Mandelbrot 集的圖形繪制與分析 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 13 13 1980 年 ， 曼德勃羅特 用他自己的 名字命名了 Mandelbrot 集，他創(chuàng)作 這個(gè)集合 的過(guò)程如下： 映射 uzz ?? 2 ， Cu? ， zu, 分別為復(fù)參數(shù)和復(fù)變量。由此可得迭代公式： uZZpqnn ??? 21 （ ） 式中當(dāng) 0?n 時(shí)，有 )0,0(0?Z， Cpq 是計(jì)算機(jī)屏幕上點(diǎn)（ p， q）的像素，一直迭代我們有下面 的式子： uuuuzZpqpqpqn ?????? 222201 . .. ))))( . .. ( ( ( （ ） 給出一個(gè)正整數(shù) N,當(dāng)有像素 Cpq 且 n=N 時(shí)， ||zn小于我們?cè)O(shè)定的 K 值的時(shí)候，在點(diǎn)（ p， q）著色為 1，當(dāng) Nn? 時(shí)，若有 Kzn?||,則在點(diǎn)（ p,q）著色為 n。依次遍歷整個(gè)計(jì)算機(jī)屏幕后，我們可以得到 Mandelbrot 集圖形。 我們給出 Mandelbrot 的算法設(shè)計(jì)。對(duì)于映射，首先分離 z 和 u 的實(shí)部和虛部，記為： qipuyixz ???? , （ ） 由此，我們可以用 zk 來(lái)表示平面上第 k 個(gè)點(diǎn)， p， q 都為常數(shù)，所以 zk 到 zk1?的迭代過(guò)程如下： pyxxkkk ???? 221 ， qyxy kkk ??? 21 （ ） 我們假設(shè) ba* 為計(jì)算機(jī)顯示器上的分辨率，可以顯示 1?k 種顏色。 設(shè) 。令 1 0 0, m a xm i nm a xm i n ??????? Mqqpp 令 b qqqa ppp m inm a xm inm a x ?????? ， 對(duì)所有 )( qp nn， ，其中 。， 1,3,2,11,3,2,1 ???? bnan qp ?? 有下面的 算法步驟： 1． 首先我們?cè)O(shè)定 pnpp p??? m in0 ， qnqq q??? m in0 ，且 0,0 00 ??? yxk ； 2． 用上面求出的迭代公式（ ）從點(diǎn) ? ?kk yx, 到 ? ?11, ?? kk yx 進(jìn)行迭代，其中 1??kk ； 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 14 14 3． 計(jì)算 22 kk yxr ?? 判斷著色情況 若 Mr? ，我們選擇 k 著色，到下一步； 若 Kk? ，我們選擇 0 著色，到下一步； 若 Mr? ，且 Kk? ，回到第二步； 4． 對(duì)所有 ? ?qp nn, 著色，接著對(duì)下一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行迭代和著色，即回到第一步，進(jìn)行循環(huán)。 用 v1 和 v2 分別表示兩個(gè)平面， move 來(lái)移動(dòng)這兩個(gè)平面。 根據(jù)上面的迭代算法，我們可以用 MATLAB 語(yǔ)言寫(xiě)出下面的算法清單： v1=[1 0 0 0]’ 。 v2=[0 1 0 0]’ 。 move=[0 0 0 0]’ 。 pmin=。 pmax=。 qmin=。 qmax=。 M=100。%收斂上界為 100 a=800。b=600。%a,b 為圖的精細(xì)度 delta_p=(pmaxpmin)/a。 delta_q=(qmaxqmin)/b。 out=zeros(a+1,b+1) for i=1:a+1。 for j=1:b+1。 u=(pmin+(i1)*delta_p).*v1+(qmin+(j1)*delta_q).*v2+move。 n=0。k=u。c=u。 while norm(k)Mamp。amp。n64。 k=[k(1)^2k(2)^2k(3)^2。2*k(1)*k(2)。2*k(1)*k(3)。2*k(k)*k(3)]+c。 n=n+1。 end。 out(i,j)=n。 end end image(out’) 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 15 15 圖 Mandelbrot 集 觀察上面復(fù)平面的局部， Mandelbrot 集合即紅色區(qū)域，實(shí)部從到 1， 虛部從1 到 1， 那么將兩個(gè)點(diǎn) (2, 1)和 (1, 1)作為一個(gè)矩形的左上頂角和右下頂角，那么這個(gè)矩形包含了整個(gè) Mandelbrot 集合，該矩形的長(zhǎng)為 3， 寬為 2。 其實(shí)上述的方法簡(jiǎn)單的用文字來(lái)說(shuō)就是我們將 這個(gè)矩形與屏幕上的區(qū)域進(jìn)行映射，也就是將屏幕上的一個(gè)像素映射為該矩形內(nèi)一點(diǎn)，如果點(diǎn)屬于 Mandelbrot 集，就將該像素著為紅色，這樣逐一對(duì)每個(gè)像素進(jìn)行判斷和著色，就如上面繪制出的Mandelbrot 集一樣，矩形長(zhǎng)寬比為 3:2，精度 為 800*600 的矩形區(qū)域。 觀察上面的 M 集圖形，我們可以看出他由一個(gè)類(lèi)似心臟的圖形構(gòu)成，圖形邊緣有無(wú)數(shù)的觸點(diǎn)伸出如果把將圖形放大可以得出他們具有自相似的性質(zhì)，并且它由無(wú)數(shù)的網(wǎng)連接而成，也可以得出 Mandelbrot 是連通的。 Julia 集和 Mandelbrot 之間的關(guān) 系 讓我們總結(jié)一下 Julia 集和 Mandelbrot 集的關(guān)系。在迭代過(guò)程 czz ?? 2中，我們有四個(gè)參數(shù)： z 的初始值的實(shí)部、虛部，以及 c 的實(shí)部、虛部。 Julia 集 、 Im(c) 1 1 Re（ c） 2 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 16 16 Mandelbrot 集上的 Julia 集 就是給 定 c 的實(shí)部、虛部后所得的結(jié)果，而 Mandelbrot 集 則是限定 z 的實(shí)部和虛部均為 0 后 得出來(lái) 的結(jié)果。大家可能想到，任意限定其中兩個(gè)參數(shù)，把另外兩個(gè)參數(shù)當(dāng)作變量，我們還能得到很多不同的圖形。事實(shí)上， 如 果把所有不同的 Julia 集重合起來(lái)，我們將會(huì)得到一個(gè)四維圖形，它的其中兩個(gè)維度是不同的初始值 z 構(gòu)成的復(fù)平面，另外兩個(gè)維度則是不同的常數(shù) c 構(gòu)成的復(fù)面。這個(gè)四維空間就包含了所有不同的初始值在所有不同的常數(shù) c 之下迭代的發(fā)散情況。而 Mandelbrot 集 ，則是這個(gè)四維圖形在 0?c 處的一個(gè)切片，并且是最具有概括力的一個(gè)切片。 Julia 集和 Mandelbrot 有著緊密的聯(lián)系 ， Julia 集的許多類(lèi)型對(duì)應(yīng) Mandelbrot集中不同參數(shù)的取值。 M 集里的參數(shù) c 對(duì)應(yīng)的填充 Julia 集是 連通的， M 集外部的參數(shù) c 對(duì)應(yīng)的 Julia 集 合卻是不連通的。事實(shí)上 M 集當(dāng)中含有無(wú)限多個(gè) J 集的信息，由此可知 M 集有無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu)，下圖顯示了這種結(jié)構(gòu)： 高階 Julia 集的反函數(shù)迭代法 函數(shù)定義 對(duì)于映射 CCf ?: ，如果 fn 的任意一個(gè)子列在緊子集上收斂， 則 )(fn 為正規(guī)族，如果 )(fn 在 z 點(diǎn)的每一個(gè)領(lǐng)域非正規(guī)，我們稱(chēng) z 點(diǎn)非正規(guī)。 Julia 集的標(biāo)準(zhǔn)定義為： 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 17 17 }z}{|{)( n 非正規(guī)在點(diǎn)函數(shù)族 fCzfJ ?? （ ） 令 )(1 zfz kk ??，我們稱(chēng) zk1? 為前像， zk 為后像，在復(fù)映射 )(zf 中，前像是唯一的，后像則有可能有多個(gè)。如果 )(fn 在點(diǎn) zk1? 不正規(guī)，則 )(fn 在逆像點(diǎn) zk 也不正規(guī)。所以，如果 我們給出 )(0 fJz ?，則 )()( 01 fJzf ?? 同時(shí)成立 的條件 。在點(diǎn))(0 fJz ? 上我們有如下式： )()(00 zffJ n n????? () 所以，繪制高階的 Julia 集，需要找到一個(gè)斥性不動(dòng)點(diǎn)，然后計(jì)算它的逆像并在計(jì)算機(jī)上顯示。 反函數(shù)迭代法的算法 填充的 Julia 集的圖形可以用 多種方法，比如說(shuō)最基本的 逃逸時(shí)間算法， 還有 旋轉(zhuǎn)逃逸時(shí)間算法， 以及 IFS 吸引子算法等等。而反函數(shù)迭代法相對(duì)于逃逸時(shí)間算法計(jì)算量較小，同時(shí)這種方法對(duì)于高階的迭代具有優(yōu)勢(shì)，具有重要的研究 意義。 對(duì)于多項(xiàng)式 czzf n??)( ，令 z0 為一個(gè)斥性周期點(diǎn)，則有 nczz /100 )( ?? ，所有迭代公式為： nkk czz /11 )( ??? k=0,1,...N () 設(shè) czz kk ??? ，將其轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系當(dāng)中，實(shí)部和虛部分開(kāi)展開(kāi)，則有： cyycxxykkxkk ?????? , () 所以在直角坐標(biāo)中 zk 的逆像 zk1? 為： 1||...2,1,0),2s i n2(c os)( /11 ???????? nln lin lrz nkk ???? () 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 18 18 其中 ?rk 為 ?zk 的模。由上式 方程 （ ） 可知 kz 有 w 個(gè)逆像 1?kz ，其中 w 只能為整數(shù)。我們根據(jù) （ ） 式，求 kz 逆像 1?kz 的過(guò)程表示為函數(shù)迭代系統(tǒng)： ???????????????????kkikk yxuyx11 ， ||,2,1 wi ?? （ ） 其中 ? ?wipu ii ?3,2,1, ? ，概率 1,00 ?? ??ai ii pp，為使得生產(chǎn)的 Julia 集圖形均勻，不妨取概率相等。則有高階 Julia 集的反函數(shù)迭代算法如下： 1． 設(shè)復(fù)映射階數(shù)為 a ，參數(shù)為 c ，初始點(diǎn)為 kz ，迭代次數(shù)上界為 N ,概率為 ip ， 0?k 。 2． 如果 Nk? ,直接到第五步； 3． 概率 ip 由隨機(jī)函數(shù)確定，根據(jù)每一個(gè)迭代函數(shù)對(duì)應(yīng)的 iu ，由式子 （ ）求出逆像 1,1 ??? kkzk 其中 ； 4． 如果 Nk? ,則對(duì)點(diǎn) ),( 111 ??? kkk yxz 著色；否則，回到第 2 步； 5． 結(jié)束。 逃逸時(shí)間算法與反函數(shù)迭代算法的簡(jiǎn)單比較 ① 逃逸時(shí)間算法生成的 Julia 集圖形層次更分 明，而反函數(shù)迭代法生成的圖形簡(jiǎn)單，便于讀者理解。 ② 逃逸時(shí)間算法更復(fù)雜迭代次數(shù)多，而反函數(shù)迭代法迭代次數(shù)少。 ③ 反函數(shù)迭代法只能用于整數(shù)階的 Julia 集，逃逸算法不僅可以用于分?jǐn)?shù)，也可以用于整數(shù)。 本章小結(jié) 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形