【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在 x 軸上的雙曲線。 （ II）由（ I）知，當(dāng) m=1 時(shí)， C1 的方程為 2 2 2。x y a?? 當(dāng) ( 1,0) (0, )m ? ? ??時(shí)， C2 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 12( 1 , 0) , ( 1 , 0) .F a m F a m? ? ? 對(duì)于給定的 ( 1,0) (0, )m ? ? ??， C1 上存在點(diǎn) 0 0 0( , )( 0)N x y y ?使得 2||S m a? 的充要條件是 2 2 20 0 020, 0 ,1 2 1 | | | | .2x y a ya m y m a? ? ? ??? ? ? ??? 由①得 00 | | ,ya??由②得 0||| | .1may m? ? ① ② 知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái) 第 13 頁(yè) 共 30 頁(yè) 當(dāng)| | 1 50 , 0 ,21ma amm ?? ? ? ?? 即 或 150 2m ??? 時(shí)， 存在點(diǎn) N，使 S=|m|a2； 當(dāng)| | 1 5,21ma am ??? 即 1m 或 152m ?? 時(shí)， 不存在滿足條件的點(diǎn) N， 當(dāng)1 5 1 5, 0 0 ,22m ? ? ? ???? ????? ? ? ?時(shí)， 由 1 0 0 2 0 0( 1 ) , ( 1 , )NF a m x y NF a m x y? ? ? ? ? ? ? ? ?， 可得 2 2 2 21 2 0 0(1 ) ,NF NF x m a y m a? ? ? ? ? ? ? 令 1 1 2 2 1 2| | , | | ,NF r NF r F NF ?? ? ? ?， 則由221 2 1 2 1 2c o s , c o smaN F N F r r m a r r? ?? ? ? ? ? ?可 得， 從而2 2121 s in 1s in ta n2 2 c o s 2maS r r m a????? ? ? ? ?， 于是由 2||S m a? ， 可得 221 2 | |ta n | | , ta n .2 mm a m a m??? ? ? ?即 綜上可得： 當(dāng)15,02m ???? ?? ???時(shí)，在 C1 上，存在點(diǎn) N，使得 2 12| | , ta n 2 。S m a F N F??且 當(dāng)150, 2m ????? ????時(shí)，在 C1 上，存在點(diǎn) N，使得 2 12| | , ta n 2 。S m a F N F? ? ?且 當(dāng) 1 5 1 5( 1, ) ( , )22m ??? ??時(shí)，在 C1 上，不存在滿足條件的點(diǎn) N。 知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái) 第 14 頁(yè) 共 30 頁(yè) 32.（湖南理 21） 如圖 7，橢圓221 : 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的離心率為 32 ， x 軸被曲線 22 :C y x b??截得 的線段長(zhǎng)等于 C1 的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。 （Ⅰ）求 C1， C2 的方程； （Ⅱ）設(shè) C2 與 y 軸的焦點(diǎn)為 M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O 的直線 l 與 C2 相交于點(diǎn) A,B,直線 MA,MB 分別與 C1 相交與 D,E． （ i）證明： MD⊥ ME。 （ ii）記△ MAB,△ MDE 的面積分別是 12,SS．問(wèn)：是否存在直線 l,使得 121732SS ??請(qǐng)說(shuō)明理由。 解 ：（Ⅰ）由題意知 .1,2,2,2,23 ?????? baabbaace 解得又從而 故 C1， C2 的方程分別為 .1,14 222 ???? xyyx （Ⅱ）（ i）由題意知，直線 l 的斜率存在，設(shè)為 k，則直線 l 的方程為 kxy? . 由 ????? ??? 12xy kxy得 012 ???kxx . 設(shè) 212211 ,),(),( xxyxByxA 則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是 .1, 2121 ???? xxkxx 又點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0， —1），所以 212121221212211 1)()1)(1(11 xx xxkxxkxx kxkxxyxykk MBMA ???????????? .11 122 ??? ???? kk 故 MA⊥ MB，即 MD⊥ ME. （ ii）設(shè)直線 MA 的斜率為 k1，則直線 MA 的方程為 ????? ?? ???? 1 ,1,1 211 xy xkyxky 由解得 知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái) 第 15 頁(yè) 共 30 頁(yè) ??? ?????? ??? 1,1021kykxyx 或 則點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 )1,( 211 ?kk . 又直線 MB 的斜率為 11k?， 同理可得點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ).11,1( 211 ?? kk 于是22 11 1 1 11 1 111 1 1 1| | | | 1 | | 1 | |2 2 2 | |kS M A M B k k k k k?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 ????? ??? ?? 044 ,122 1 yx xky得 .08)41( 1221 ??? xkxk 解得12121218 ,140,1 4114kxkxy kyk? ?? ??? ????? ??? ?? ??或 則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為211228 4 1( , ).1 4 1 4kk??? 又直線 ME 的斜率為 k1? ，同理可得點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 ).44,4 8( 2121211 kkkk ???? 于是 )4)(1(||)1(32||||21 21211212 ?? ????? kk kkMEMDS. 因此21 1 22114(4 1 7 ).64S kSk? ? ? 由題意知，2 2 21 1 1211 4 1 7 1( 4 1 7 ) , 4 , .6 4 3 2 4k k kk? ? ? ? ?解 得 或 又由點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)可知，21 211111113,.1 2k kk k kkk k?? ? ? ? ??所 以 故滿足條件的直線 l 存在，且有兩條，其方程分別為 .2323 xyxy ??? 和 知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái) 第 16 頁(yè) 共 30 頁(yè) 33.（遼寧理 20） 如圖，已知橢圓 C1的中心在原點(diǎn) O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn) M， N 在 x 軸上，橢圓 C2的短軸為MN，且 C1， C2 的離心率都為 e，直線 l⊥ MN， l 與 C1 交 于兩點(diǎn)，與 C2 交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為 A， B， C， D． （ I）設(shè) 12e? ，求 BC 與 AD 的比值； （ II）當(dāng) e 變化時(shí)，是否存在直線 l，使得 BO∥ AN，并說(shuō)明理由． 解：（ I）因?yàn)?C1， C2 的離心率相同，故依題意可設(shè) 2 2 2 2 2122 2 4 2: 1 , : 1 , ( 0 )x y b y xC C a ba b a a? ? ? ? ? ? 設(shè)直線 : (| | )l x t t a??，分別與 C1， C2 的方程聯(lián)立，求得 2 2 2 2( , ), ( , ).abA t a t B t a tba?? ………………4分 當(dāng) 13, , ,22 ABe b a y y??時(shí) 分 別 用表示 A， B 的縱坐標(biāo)，可知 222 | | 3| |: | | .2 | | 4BAy bB C A D y a? ? ? ………………6分 （ II） t=0時(shí)的 l不符合題意 . 0t? 時(shí)， BO//AN當(dāng)且僅當(dāng) BO的斜率 kBO 與 AN的斜率 kAN 相等，即 2 2 2 2,baa t a tabt t a???? 解得222 2 21 .ab etaa b e?? ? ? ? ?? 因?yàn)?212| | , 0 1 , 1 , 1 .2et a e ee?? ? ? ? ? ?又 所 以 解 得 所以當(dāng) 20 2e?? 時(shí)，不存在直線 l，使得 BO//AN； 當(dāng) 2 12 e??時(shí)，存在直線 l 使得 BO//AN. ………………12 分 34.（全國(guó)大綱理 21） 知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái) 第 17 頁(yè) 共 30 頁(yè) 已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， F為橢圓22:12yCx??在 y 軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò) F且斜率為 2的直線 l 與 C交于 A、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 滿足 OB OP? ? ? （Ⅰ）證明：點(diǎn) P 在 C上； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn)為 Q，證明： A、 P、 B、 Q四點(diǎn)在同一圓上． 解： （ I） F（ 0， 1）， l 的方程為 21yx?? ? ， 代入22 12yx ??并化簡(jiǎn)得 24 2 2 1 ? ? ? ………… 2 分 設(shè) 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , ),A x y B x y P x y 則 122 6 2 6,44xx???? 1 2 1 2 1 22 , 2 ( ) 2 1 ,2x x y y x x? ? ? ? ? ? ? ? 由題意得 3 1 2 3 1 22( ) , ( ) 1 .2x x x y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 2( , 1).2?? 經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 2( , 1)2??滿足方程 22 1,2yx ??故點(diǎn) P 在橢圓 C上。 … ……… 6 分 知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái) 第 18 頁(yè) 共 30 頁(yè) （ II）由 2( , 1)2P ??和題設(shè)知， 2( ,1)2Q PQ 的垂直平分線 1l 的方程為 2 .2yx?? ① 設(shè) AB 的中點(diǎn)為 M，則 21( , )42M ， AB 的垂直平分線為 2l 的方程為 ?? ② 由①、②得 12,ll的交點(diǎn)為 21( , )88N ? 。 ………… 9 分 2222122222 2 1 3 11| | ( ) ( 1 ) ,2 8 8 832| | 1 ( 2 ) | | ,232| | ,42 2 1 1 3 3| | ( ) ( ) ,4 8 2 8 83 11| | | | | | ,8NPAB x xAMMNN A AM M N? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? 故 |NP|=|NA|。 又 |NP|=|NQ|， |NA|=|NB|， 所以 |NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知 A、 P、 B、 Q四點(diǎn)在以 N 為圓心， NA 為半徑的圓上 ………… 12 分 35.（全國(guó)新課標(biāo)理 20） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， 已知點(diǎn) A（ 0， 1）， B 點(diǎn)在直線 3y?? 上， M 點(diǎn)滿足 //MB