【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 究證明： （ 1） 2AB AD BD OC? ? ?， ∴2abOC ????????? 3 分 AB 為⊙ O 直徑 , ∴ 90ACB? ? ? . 90A A C D? ? ? ? ?， 90ACD BCD? ? ? ? ?， ∴∠ A=∠ BCD. ∴△ ACD ∽△ CBD . ??????? 4 分 ∴ AD CDCD BD? . 即 2C D AD BD ab? ? ?, ∴ CD ab? . ??????? 5 分 （ 2）當(dāng) ab? 時(shí) ,OC CD? , 2ab? = ab ； ab? 時(shí) ,OC CD? , 2ab? ab ．??????? 6 分 ● 結(jié)論歸納 : 2ab? ? ab ． ?????? 7 分 ● 實(shí)踐應(yīng)用 設(shè)長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為 x 米 ,則另一邊長(zhǎng)為 1x 米 ,設(shè)鏡框周長(zhǎng)為 l 米 ， 則 12( )lxx?? ≥ 144x x?? ． ????? 9 分 A B C O D 當(dāng) 1xx?,即 1x? （ 米 ）時(shí) ,鏡框周長(zhǎng)最?。? 此時(shí)四邊形為正方形時(shí) ,周長(zhǎng)最小為 4 米 . ?????? 10 分 4. （ 2020 山東濟(jì)寧， 19， 6 分） 如圖， AD 為 ABC? 外接圓的直徑， AD BC? ，垂足為點(diǎn) F ， ABC? 的平分線交 AD 于點(diǎn) E ，連接 BD ， CD .[來(lái)源 :學(xué) +科 +網(wǎng) ][來(lái)源 :學(xué)科網(wǎng) ZXXK] (1) 求證： BD CD? ； (2) 請(qǐng)判斷 B ， E ， C 三點(diǎn)是否在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上？并說(shuō)明理由 .[來(lái)源 :Z。 xx。 ] 【答案】（ 1）證明：∵ AD 為直徑， AD BC? ， ∴ BD CD? .∴ BD CD? . 3 分 （ 2）答： B ， E ， C 三點(diǎn)在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上 . 4 分 理由：由（ 1）知： BD CD? ， ∴ BAD CBD? ? ? . ∵ DBE C BD C BE? ? ? ? ?， DE B BA D AB E? ? ? ? ?，CBE ABE? ? ? ， ∴ DBE DEB? ? ? .∴ DB DE? . 6 分 由（ 1）知： BD CD? .∴ DB DE DC??. ∴ B ， E ， C 三點(diǎn)在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上 . ??????? 7 分 A B C E F D (第 19 題 ) 5. （ 2020 山東煙臺(tái)， 25,12 分） 已知： AB 是 ⊙ O 的直徑，弦 CD⊥ AB 于點(diǎn) G， E是直線 AB 上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 B、 G 重合），直線 DE 交 ⊙ O 于點(diǎn) F，直線 CF 交直線AB 于點(diǎn) ⊙ O 的半徑為 r. （ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) E 在直徑 AB 上時(shí)，試證明： OEOP＝ r2 （ 2）當(dāng)點(diǎn) E 在 AB（或 BA）的延長(zhǎng)線上時(shí)，以如圖 2 點(diǎn) E 的位置為例，請(qǐng)你畫出符合題意的圖形，標(biāo)注上字母，（ 1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由 . 【答案】 （ 1）證明：連接 FO 并延長(zhǎng)交 ⊙ O 于 Q，連接 DQ. ∵ FQ 是 ⊙ O 直徑，∴∠ FDQ＝ 90176。. ∴∠ QFD＋∠ Q＝ 90176。. ∵ CD⊥ AB，∴∠ P＋∠ C＝ 90176。. ∵∠ Q＝∠ C，∴∠ QFD＝∠ P. ∵∠ FOE＝∠ POF，∴△ FOE∽△ POF. ∴ OE OFOF OP? .∴ OEOP＝ OF2＝ r2. A B C D E F P . O G （圖 1） . A B C D E . O G （圖 2） （ 2）解：（ 1）中的結(jié)論成立 . 理由：如圖 2，依題意畫出圖形，連接 FO 并延長(zhǎng)交 ⊙ O于 M，連接 CM. ∵ FM 是 ⊙ O 直徑，∴∠ FCM＝ 90176。，∴∠ M＋∠ CFM ＝90176。. ∵ CD⊥ AB，∴∠ E＋∠ D＝ 90176。. ∵∠ M＝∠ D，∴∠ CFM＝∠ E. ∵∠ POF＝∠ FOE，∴△ POF∽△ FOE. ∴ OP OFOF OE?，∴ OEOP＝ OF2＝ r2. 6. （ 2020 寧波市， 25， 10 分）閱讀下面的情境對(duì)話，然后解答問(wèn)題 （ 1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？ （ 2）在 Rt? ABC 中， ∠ ACB＝ 90176。， AB＝ c， AC＝ b， BC＝ a，且 b＞ a，若 Rt? ABC是奇異三角形，求 a： b： c； （ 3）如圖， AB 是⊙ O 的直徑， C 是上一點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 B 重合）， D 是半 圓 ⌒ABD的中點(diǎn)，CD 在直徑 AB 的兩側(cè)，若在⊙ O 內(nèi)存在點(diǎn) E 使得 AE＝ AD， CB＝ CE． ○ 1 求證： ? ACE 是奇異三角形； ○ 2 當(dāng) ? ACE 是直角三角形時(shí)，求∠ AOC 的度數(shù)． 【答案】 解：（ 1）真命題 （ 2）在 Rt? ABC 中 a2＋ b2＝ c2， ∵ c＞ b＞ a＞ 0 ∴ 2c2＞ a2＋ b2， 2a2＜ c2＋ b2 ∴若 Rt? ABC 是奇異三角形，一定有 2b2＝ c2＋ a2 ∴ 2b2＝ a2＋（ a2＋ b2） ∴ b2＝ 2a2 得： b＝ 2a ∵ c2＝ b2＋ a2＝ 3a2 ∴ c＝ 3a ∴ a： b： c＝ 1： 2： 3 (3)○ 1 ∵ AB 是⊙ O 的直徑 ACBADB＝ 90176。 在 Rt? ABC 中， AC2＋ BC2＝ AB2 在 Rt? ADB 中， AD2＋ BD2＝ AB2 ∵點(diǎn) D 是半圓 ⌒ABD的中點(diǎn) ∴ ⌒AD＝ ⌒BD ∴ AD＝ BD ∴ AB2＝ AD2＋ BD2＝ 2AD2 ∴ AC2＋ CB2＝ 2AD2 又∵ CB＝ CE， AE＝ AD[來(lái)源 :Z+xx+] ∴ AC2＝ CE2＝ 2AE2 ∴ ? ACE 是奇異三角形 ○ 2 由 ○ 1 可得 ? ACE 是奇異三角形 ∴ AC2＝ CE2＝ 2AE2 當(dāng) ? ACE 是直角三角形時(shí) 由（ 2）可得 AC： AE： CE＝ 1： 2： 3或 AC： AE： CE＝ 3： 2： 1 （Ⅰ）當(dāng) AC： AE： CE＝ 1： 2： 3時(shí) AC： CE＝ 1： 3即 AC： CB＝ 1： 3 ∵∠ ACB＝ 90176。 ∴ ∠ ABC＝ 30176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 60176。 (Ⅱ )當(dāng) AC： AE： CE＝ 3： 2： 1 時(shí) AC： CE＝ 3： 1 即 AC： CB＝ 3： 1 ∵∠ ACB＝ 90176。 ∴ ∠ ABC＝ 60176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 ∴ ∠ AOC 的度數(shù)為 60176。 或 120176。 7. （ 2020 浙江麗水， 21， 8 分） 如圖，射線 PG 平分 ∠ EPF， O 為射線 PG 上一點(diǎn)，以 O為圓心， 10 為半徑作 ⊙ O，分別與 ∠ EPF 兩邊相交于 A、 B 和 C、 D，連結(jié) OA，此時(shí)有OA∥ PE. （ 1）求證： AP＝ AO； （ 2）若弦 AB＝ 12，求 tan∠ OPB 的值； （ 3）若以圖中已標(biāo)明的點(diǎn) (即 P、 A、 B、 C、 D、 O)構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個(gè)點(diǎn)為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)點(diǎn)為 或 或 . GFEOABDCP 【解】（ 1）∵ PG 平分∠ EPF， ∴∠ DPO=∠ BPO， ∵ OA//PE， ∴∠ DPO=∠ POA， ∴∠ BPO=∠ POA， ∴ PA=OA； （ 2）過(guò)點(diǎn) O 作 OH⊥ AB 于點(diǎn) H，則 AH=HB， ∵ AB=12， ∴ AH=6， 由（ 1）可知 PA=OA=10， ∴ PH=PA+AH=16， OH= 102－ 62=8， ∴ tan∠ OPB=OHPH =12； （ 3） P、 A、 O、 C； A、 B、 D、 C 或 P、 A、 O、 D 或 P、 C、 O、 B. 8. （ 2020 廣東廣州市， 25， 14 分） 如圖 7， ⊙ O 中 AB 是直徑， C 是 ⊙ O 上一 點(diǎn)， ∠ ABC=45176。，等腰直角三角形 DCE 中 ∠ DCE 是直角，點(diǎn) D 在線段 AC 上． （ 1）證明： B、 C、 E 三點(diǎn)共線； （ 2）若 M 是線段 BE 的中點(diǎn)， N 是線段 AD 的中點(diǎn)，證明： MN= 2OM； （ 3）將 △ DCE 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) α（ 0176。＜ α＜ 90176。）后，記為 △ D1CE1（圖 8），若 M1是線段 BE1 的中點(diǎn)， N1 是線段 AD1 的中點(diǎn)， M1N1= 2OM1 是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，說(shuō)明理由． 【答案】（ 1）∵ AB 為⊙ O 直徑 ∴∠ ACB=90176。 ∵△ DCE 為 等腰直角三角形 ∴∠ ACE=90176。 ∴∠ BCE=90176。 +90176。 =180176。 ∴ B、 C、 E 三點(diǎn)共線． （ 2） 連接 BD， AE， ON． ∵∠ ACB=90176。， ∠ ABC=45176。 ∴ AB=AC ∵ DC=DE A B C D1 E1 M1 O N1 圖 8 A B C D E M N O 圖 7 ∠ ACB=∠ ACE=90176。 ∴ △ BCD≌△ ACE ∴ AE=BD，∠ DBE=∠ EAC ∴∠ DBE+∠ BEA=90176。 ∴ BD⊥ AE ∵ O， N 為中點(diǎn) ∴ ON∥ BD， ON=12BD 同理 OM∥ AE， OM=12AE ∴ OM⊥ ON， OM=ON ∴ MN= 2OM （ 3）成立 證明：同（ 2）旋轉(zhuǎn)后∠ BCD1=∠ BCE1=90176。－∠ ACD1 所以仍有 △ BCD1≌△ ACE1， 所以 △ ACE1是由 △ BCD1 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。而得到的，故 BD1⊥ AE1 其余證明過(guò)程與（ 2）完全相同． 9. （ 2020 浙江麗水， 24， 12 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A(10， 0)，以 OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓 C，點(diǎn) B 是該半圓周上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) OB、 AB，并延長(zhǎng) AB至點(diǎn) D，使 DB＝ AB，過(guò)點(diǎn) D 作 x 軸垂線，分別交 x 軸、直線 OB 于點(diǎn) E、 F，點(diǎn) E 為垂足，連結(jié) CF. （ 1）當(dāng) ∠ AOB＝ 30176。時(shí)，求弧 AB 的長(zhǎng)； （ 2）當(dāng) DE＝ 8 時(shí)，求線段 EF 的長(zhǎng)； （ 3）在點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn) E、 C、 F為頂點(diǎn)的三角形與 △ AOB相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . FEDCBAO xy 【解】 (1)連結(jié) BC， ∵ A(10， 0)，∴ OA=10， CA=5， ∵∠ AOB=30176。， ∴∠ ACB=2∠ AOB=60176。， ∴ ⌒AB的長(zhǎng) =60π 5180 =5π3 ； （ 2）連結(jié) OD，