【文章內容簡介】 76。, ∴∠ ABD=∠ ACD=62176。. 10.(2022內蒙古包頭 ,18,3分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AD是☉ O的直徑 ,若☉ O的半徑是 4, sin B=? ,則線段 AC的長為 . ? 14答案 2 解析 連接 CD,在☉ O中 ,因為 AD為直徑 ,所以 ∠ ACD=90176。,因為 ∠ B=∠ D,所以 AC=ADsin D=8 ? =2. 1411.(2022江西南昌 ,10,3分 )如圖 ,點 A,B,C在☉ O上 ,CO的延長線交 AB于點 D,∠ A=50176。,∠ B=30176。,則 ∠ ADC的度數為 . ? 答案 110176。 解析 在☉ O中 ,∠ BOC=2∠ A=250176。=100176。,所以 ∠ DOB=180176?！?BOC=180176。100176。=80176。, 所以 ∠ ADC=∠ B+∠ DOB=30176。+80176。=110176。. 12.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,在☉ O的內接五邊形 ABCDE中 ,∠ CAD=35176。,則 ∠ B+∠ E= 176。. ? 答案 215 解析 連接 AO,CO,DO,則 ∠ COD=2∠ CAD=70176。,又因為 ∠ B=? (∠ AOD+∠ COD),∠ E=? (∠ AOC+∠ COD),所以 ∠ B+∠ E=? (∠ AOD+∠ COD+∠ AOC+∠ COD)=? (360176。+70176。)=215176。. 12 1212 1213.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=BC,∠ B=∠ D,AD? 于 BC,過點 C作 CE∥ AD交△ ABC的外接圓 O于點 E,連接 AE. (1)求證 :四邊形 AECD為平行四邊形 。 (2)連接 CO,求證 :CO平分 ∠ BCE. ? ???不 平 行證明 (1)∵∠ B=∠ D,∠ B=∠ E,∴∠ D=∠ E. ∵ CE∥ AD,∴∠ E+∠ DAE=180176。, ∴∠ D+∠ DAE=180176。,∴ AE∥ DC, ∴ 四邊形 AECD是平行四邊形 .? (5分 ) (2)過點 O作 OM⊥ EC,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N. ∵ 四邊形 AECD是平行四邊形 ,∴ AD=EC. 又 AD=BC,∴ EC=BC, ∴ OM=ON,∴ CO平分 ∠ BCE.? (10分 ) 14.(2022湖北武漢 ,21,8分 )如圖 ,△ ABC內接于☉ O,AB=AC,CO的延長線交 AB于點 D. (1)求證 :AO平分 ∠ BAC。 (2)若 BC=6,sin∠ BAC=? ,求 AC和 CD的長 . ? 35解析 (1)證明 :連接 BO. ∵ AB=AC,OB=OC, ∴ A、 O在線段 BC的中垂線上 ,∴ AO⊥ BC. 又 ∵ AB=AC,∴ AO平分 ∠ BAC. (2)如圖 ,延長 AO交 BC于點 H,過點 D作 DK⊥ AO,交 AO于點 K. ? 由 (1)知 AO⊥ BC,∵ OB=OC,BC=6, ∴ BH=CH=? BC=3,∠ COH=? ∠ BOC, ∵∠ BAC=? ∠ BOC,∴∠ COH=∠ BAC. 在 Rt△ COH中 ,∠ OHC=90176。,sin∠ COH=sin∠ BAC=? =? . ∵ CH=3,∴ sin∠ COH=? =? ,∴ CO=AO=5, 12 1212CHCO 353CO 35∴ OH=?=?=4, ∴ AH=AO+OH=5+4=9,tan∠ COH=tan∠ DOK=? . 在 Rt△ ACH中 ,∠ AHC=90176。,AH=9,CH=3, ∴ tan∠ CAH=? =? =? ,AC=? =? =3? , 由 (1)知 ∠ CAH=∠ BAH,∴ tan∠ BAH=tan∠ CAH=? . 設 DK=3a(a0),在 Rt△ ADK中 ,tan∠ DAK=? , 在 Rt△ DOK中 ,tan∠ DOK=? , ∴ OK=4a,DO=5a,AK=9a,∴ AO=OK+AK=13a=5, ∴ a=? ,∴ DO=5a=? ,∴ CD=OC+DO=5+? =? . 22OC CH? 2253?34CHAH 39 1322AH CH? 2293? 10131334513 2513 25139013一題多解 (1)證明 :連接 OB. ∵ AO=AO,BO=CO,AB=AC, ∴ △ AOB≌ △ AOC,∴∠ BAO=∠ CAO. 即 AO平分 ∠ BAC. (2)過點 C作 CE⊥ AB,交 AB于點 E, ∵ sin∠ BAC=? =? ,∴ 可設 AC=5m(m0),則 EC=3m, ∴ AE=4m,BE=m. 在 Rt△ CBE中 ,BE2+EC2=BC2,即 m2+(3m)2=36, 解得 m=? (舍負 ),∴ AC=3? . 延長 AO交 BC于點 H,則 AH⊥ BC,且 BH=CH=3, 過點 O作 OF⊥ AH,交 AB于點 F, ECAC 353 1 05 10? ∵∠ BOC=2∠ BAC,∠ BOC=2∠ HOC, ∴∠ BAC=∠ HOC, ∴ sin∠ HOC=sin∠ BAC=? ,又 HC=3, ∴ OC=5,OH=4, ∴ AH=OA+OH=9, ∴ tan∠ BAH=? =? =? , ∴ OF=? OA=? . ∵ OF∥ BC, ∴ ? =? ,即 ? =? , 35OFOABHAH 1313 53OFBC DODC536 5DCDC?解得 DC=? . 901315.(2022貴州遵義 ,26,12分 )如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,以 AB為直徑作☉ O,交 BC于點 D,交 CA的延 長線于點 E,連接 AD、 DE. (1)求證 :D是 BC的中點 。 (2)若 DE=3,BDAD=2,求☉ O的半徑 。 (3)在 (2)的條件下 ,求弦 AE的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB為☉ O的直徑 , ∴ AD⊥ BC.? (2分 ) 又 ∵ AB=AC, ∴ D是 BC的中點 .? (4分 ) (2)∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C, 又 ∵∠ B=∠ E,∴∠ C=∠ E,∴ DC=DE, ∴ BD=DE=3,? (5分 ) 又 BDAD=2,∴ AD=1.? (6分 ) 在 Rt△ ABD中 ,BD=3,AD=1, ∴ AB=? =? =? ,? (7分 ) 則☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) (3)解法一 :在△ CAB和△ CDE中 , ∠ B=∠ E,∠ C=∠ C(公共角 ), ∴ △ CAB∽ △ CDE,? (9分 ) 22BD AD? 2231? 10102∴ ? =? ,? (10分 ) ∵ CA=AB=? ,∴ CE=? =? =? ? ,? (11分 ) ∴ AE=CEAC=? ? ? =? ? .? (12分 ) 解法二 :連接 BE, ? ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ BEC=90176。.? (9分 ) 在△ ADC和△ BEC中 , ∠ ADC=∠ BEC=90176。,∠ C=∠ C, CBCECACD10 CB CDCA?6310? 95109510 104510∴ △ ADC∽ △ BEC,? (10分 ) ∴ ? =? , ∴ CE=? =? =? ,? (11分 ) ∴ AE=CEAC=? .? (12分 ) CDCECACBCD CBCA? 3610?9 1 054 1 0516.(2022天津 ,21,10分 )已知☉ O的直徑為 10,點 A,點 B,點 C在☉ O上 ,∠ CAB的平分線交☉ O于點 D. (1)如圖① ,若 BC為☉ O的直徑 ,AB=6,求 AC,BD,CD的長 。 (2)如圖② ,若 ∠ CAB=60176。,求 BD的長 . ? 解析 (1)由已知 ,BC為☉ O的直徑 ,得 ∠ CAB=∠ BDC=90176。. 在 Rt△ CAB中 ,BC=10,AB=6, ∴ AC=? =? =8. ∵ AD平分 ∠ CAB,∴ ?= ? ,∴ CD=BD. 在 Rt△ BDC中 ,BC=10,CD2+BD2=BC2, ∴ BD2=CD2=50,∴ BD=CD=5? . (2)如圖 ,連接 OB,OD. ? ∵ AD平分 ∠ CAB,且 ∠ CAB=60176。, ∴∠ DAB=? ∠ CAB=30176。.∴∠ DOB=2∠ DAB=60176。. 22BC AB? 2210 6?CD︵ BD︵212又 ∵ 在☉ O中 ,OB=OD,∴ △ OBD是等邊三角形 . ∵ ☉ O的直徑為 10,∴ OB=5,∴ BD=5. 17.(2022四川成都 ,27,10分 )如圖 ,在☉ O的內接△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=2BC,過 C作 AB的垂線 l 交☉ O于另一點 D,垂足為 P是 ? 上異于 A,C的一個動點 ,射線 AP交 l于點 F,連接 PC與 PD, PD交 AB于點 G. (1)求證 :△ PAC∽ △ PDF。 (2)若 AB=5,?=?, 求 PD的長 。 (3)在點 P運動過程中 ,設 ? =x,tan∠ AFD=y,求 y與 x之間的函數關系式 .(不要求寫出 x的取值范 圍 ) ? AC︵AP︵ BP︵AGBG解析 (1)證明 :連接 PB. ∵∠ ACB=90176。,∴ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ APB=90176。,∴∠ PAB+∠ PBA=90176。. ∵ l⊥ AB于 E,∴∠ AFE+∠ FAE=90176。. ∵∠ PAB=∠ FAE,∴∠ PBA=∠ AFE. ∵∠ ABP=∠ ACP,∴∠ AFE=∠ ACP. 又 ∵∠ PAC=∠ PDC, ∴ △ PAC∽ △ PDF.? (3分 ) ? (2)在 Rt△ ABC中 ,AC=2BC,AB=5, 由勾股定理得 AC=2? ,BC=? . ∵ S△ ABC=? ABCE=? ACBC, ∴ CE=2,可得 AE=4.? (4分 ) ∵ ?=?, ∴ PA =PB,則△ ABP為等腰直角三角形 . ∴∠ PAB=45176。,AP=? AB=? . ∵ EF⊥ AB,∠ PAB=45176。. ∴ EF=AE=4. 由垂徑定理得 DE=CE=2,則 DF=DE+EF=6. 由 (1)知△ PAC∽ △ PDF, ∴ ? =? . 故 PD=? =? =? .? (7分 ) 5 512 12AP︵ BP︵22 522PDPA DFACDF PAAC? 562225? 3 1 02(3)解法一 :過點 G作 GH∥ BP交 AP于點 H. 則 GH⊥ AP,∠ AGH=∠ ABP=∠ AFD,? =? =x. ∵ l⊥ AB,∴ ?= ? ,∴∠ ABC=∠ APD. ∴ ? =tan∠ APD=tan∠ ABC=? =2,即 GH=2PH. ∴ y=tan∠ AFD=tan∠ AGH=? =? =? x. 即 y與 x之間的函數關系式為 y=? x.? (10分 ) 解法二 :連接 AD,BD,則 AD=AC,BD=BC. ∵∠ APG=∠ DBG,∠ AGP=∠ DGB, ∴ △ APG∽ △ DBG,則 ? =? .① 同理 ,由△ PBG∽ △ ADG,得 ? =? .② 由① 247。② ,得 ? ? =? , 即 ? =? ? =? ? =? x. AHPH AGBGAC︵ AD︵GHPH ACBCAHGH 2AHPH 1212APDBAGDGPBAD BGDGAPPBADDB AGBGAPPB AGBGBDAD AGBGBCAC 12∴ y=tan∠ AFD=tan∠ ABP=? =? x. 即 y與 x之間的函數關系式為 y=? x.? (10分 ) APPB 12121.(2022寧夏 ,6,3分 )如圖 ,四