【正文】 =? =? =? ,? (7分 ) 則☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) (3)解法一 :在△ CAB和△ CDE中 , ∠ B=∠ E,∠ C=∠ C(公共角 ), ∴ △ CAB∽ △ CDE,? (9分 ) 22BD AD? 2231? 10102∴ ? =? ,? (10分 ) ∵ CA=AB=? ,∴ CE=? =? =? ? ,? (11分 ) ∴ AE=CEAC=? ? ? =? ? .? (12分 ) 解法二 :連接 BE, ? ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ BEC=90176。,∠ C=∠ C, CBCECACD10 CB CDCA?6310? 95109510 104510∴ △ ADC∽ △ BEC,? (10分 ) ∴ ? =? , ∴ CE=? =? =? ,? (11分 ) ∴ AE=CEAC=? .? (12分 ) CDCECACBCD CBCA? 3610?9 1 054 1 0516.(2022天津 ,21,10分 )已知☉ O的直徑為 10,點(diǎn) A,點(diǎn) B,點(diǎn) C在☉ O上 ,∠ CAB的平分線交☉ O于點(diǎn) D. (1)如圖① ,若 BC為☉ O的直徑 ,AB=6,求 AC,BD,CD的長 。,求 BD的長 . ? 解析 (1)由已知 ,BC為☉ O的直徑 ,得 ∠ CAB=∠ BDC=90176。, ∴∠ DAB=? ∠ CAB=30176。. 22BC AB? 2210 6?CD︵ BD︵212又 ∵ 在☉ O中 ,OB=OD,∴ △ OBD是等邊三角形 . ∵ ☉ O的直徑為 10,∴ OB=5,∴ BD=5. 17.(2022四川成都 ,27,10分 )如圖 ,在☉ O的內(nèi)接△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 (2)若 AB=5,?=?, 求 PD的長 。,∴ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ APB=90176。. ∵ l⊥ AB于 E,∴∠ AFE+∠ FAE=90176。CE=? AC,AP=? AB=? . ∵ EF⊥ AB,∠ PAB=45176。② ,得 ? ? =? ,則 ∠ BCD的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。 176。 考點(diǎn)三 圓內(nèi)接三角形、四邊形 答案 D 因?yàn)?∠ BOD=88176。,因?yàn)?∠ A+∠ BCD=180176。.故選 D. 2.(2022江蘇南京 ,13,2分 )如圖 ,扇形 AOB的圓心角為 122176。. ? AB︵答案 119 解析 如圖 ,在扇形 AOB所在圓優(yōu)弧 AB上取一點(diǎn) D,連接 DA,DB.∵∠ AOB=122176。,∵ ∠ ACB+∠ D=180176。. ? 3.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )設(shè) I為△ ABC的外心 ,若 ∠ BIC=100176?；?130176。 當(dāng) I在△ ABC的外部時(shí) ,如圖 2,∠ A+? ∠ BIC=180176。. ? 圖 1 圖 2 12124.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,☉ O為銳角△ ABC的外接圓 ,半徑為 5. (1)用尺規(guī)作圖作出 ∠ BAC的平分線 ,并標(biāo)出它與劣弧 ? 的交點(diǎn) E(保留作圖痕跡 ,不寫作法 )。 (2)求證 :AE平分 ∠ DAF。, ∴∠ CBA=90176。 (2)過點(diǎn) O作 OF⊥ AC于點(diǎn) F,延長 FO交 BE于點(diǎn) G,DE=3,EG=2,求 AB的長 . ? 解析 (1)在☉ O中 ,∠ A=∠ D,? (1分 ) ∵∠ AEB=∠ DEC,AE=DE, ∴ △ AEB≌ △ DEC.? (2分 ) ∴ EB=EC.? (3分 ) 又 ∵ BC=CE,∴ BE=CE=BC, ∴ △ EBC為等邊三角形 ,∴∠ ACB=60176。,∴∠ EGF=30176。,∴∠ MBC=30176。 (2)若 AB=10,cos∠ ABC=? ,求 tan∠ DBC的值 . ? 35解析 (1)證明 :∵ AB為☉ O直徑 ,∴∠ ACB=90176。. ∴ OD⊥ AC.∴ ? =?. ∴ AD=CD. (2)∵ AB=10,∴ OA=OD=? AB=5. ∵ OD∥ BC,∴∠ AOE=∠ ABC. 在 Rt△ AEO中 ,OE=OAcos∠ AOE=OAcos∠ ABC=5? =3. ∴ DE=ODOE=53=2. 由勾股定理得 ,AE=? =? =4. 在 Rt△ AED中 ,tan∠ DAE=? =? =? . 又 ∵∠ DBC=∠ DAE,∴ tan∠ DBC=? . AD︵ CD︵123522AO OE? 2253?DEAE 24 1212A組 2022— 2022年模擬 ,則 BC的長為 . ? 答案 5? 3解析 連接 OB,OC,過點(diǎn) O作 OD⊥ BC于點(diǎn) D, ? ∴ BD=CD=? BC, ∵∠ A=60176。, ∵ OB=OC, ∴∠ OBC=∠ OCB=? =30176。cos 30176。,∠ APD=70176。 176。 176。,∠ APD=70176。, 又 ∵∠ B和 ∠ C為同弧所對的圓周角 , ∴∠ B=∠ C=40176。,則 ∠ BAD的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。 176。 答案 D ∵ OB=OC, ∴∠ B=∠ C=25176。, ∵ AD∥ OC, ∴∠ BAD=∠ AOC=50176。 (2)求 BE的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ BC=BD, ∴∠ BCE=∠ BDC. ∵∠ BDC=∠ BAC, ∴∠ BCE=∠ BAC. ∵∠ CBE=∠ ABC, ∴ △ ABC∽ △ CBE. (2)由 (1)知 ,△ ABC∽ △ CBE, ∴ ? =? ,即 ? =? , ∴ BE=? . BEBC BCBA 5BE 582581.(2022天津紅橋一模 ,11)如圖 ,A、 B、 C、 D四個(gè)點(diǎn)均在☉ O上 ,∠ AOD=50176。 176。 176。, ∴∠ ADO=? =65176。, ∴∠ ADC=∠ ADO+∠ ODC=115176。∠ ADC=65176。,則 ∠ FBE= . ? 答案 55176。, ∴∠ CBE=∠ ADC=110176。, 故答案為 55176。,以 AB為直徑的☉ O與 AC,BC的交點(diǎn)分別為 D,E. (1)如圖① ,求 ∠ CED的大小 。,∴∠ CED=68176。=34176。. ∴∠ AEC=90176?！?DAE=90176。=56176。,則 ∠ ABC的大小是 ? ( ) ? 176。 176。 BD︵一、選擇題 (每小題 3分 ,共 18分 ) B組 2022— 2022年模擬 , ∵ OC=OB, ∴∠ ABC=∠ OCB=? =65176。,則 ∠ ADC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 答案 B ∵ OA⊥ BC,∴ 由垂徑定理得 ,? =?, ∵∠ AOB=70176。. 故選 B. AB︵ AC︵123.(2022四川內(nèi)江資中一模 ,12)在半徑等于 5 cm的圓內(nèi)有長為 5? cm的弦 ,則此弦所對的圓周 角為 ? ( ) 176?；?120176。 176。 3答案 D 連接 OA,OB,在優(yōu)弧 AB上任取一點(diǎn) E,連接 AE,BE,在劣弧 AB上任取一點(diǎn) F,連接 AF, BF, 過 O作 OD⊥ AB,則 D為 AB的中點(diǎn) , ? ∵ AB=5? cm,∴ AD=BD=? AB=? cm, 又 OA=OB=5 cm,OD⊥ AB, ∴ OD平分 ∠ AOB,即 ∠ AOD=∠ BOD=? ∠ AOB, ∴ 在直角三角形 AOD中 , sin∠ AOD=? =? , ∴∠ AOD=60176。, 又圓心角 ∠ AOB(小于 180176。, ∵ 四邊形 AEBF為圓 O的內(nèi)接四邊形 , ∴∠ AFB+∠ AEB=180176。∠ AEB=120176?；?120176。,EB=3,則 弦 AC的長為 ? ( ) ? ? ? ? ? 3 3 3 3答案 D 連接 OC, ? ∵ 弦 DC垂直 AB于點(diǎn) E,∠ DCB=30176。, ∵ OB=OC,∴ △ BOC是等邊三角形 , ∵ EB=3, ∴ CB=OB=6, ∴ AB=12, ∵ AB為☉ O的直徑 , ∴∠ ACB=90176。=12? =6? . 故選 D. 32 35.(2022天津河西 ,11)已知 A,B,C是☉ O上的三個(gè)點(diǎn) ,四邊形 OABC是平行四邊形 ,那么下列結(jié)論 中錯(cuò)誤的是 ? ( ) ? A.∠ AOC=120176。, ∴∠ AOC=120176。, ∴ ? AC=? OA,∴ AC=? OA. 故選 C. 12 3236.(2022遼寧撫順 ,10)如圖 ,正方形 ABCD和正三角形 AEF都內(nèi)接于☉ O,EF與 BC、 CD分別相交 于點(diǎn) G、 H,則 ? 的值是 ? ( ) ? A.? B.? C.? EFGH62 2 3答案 C 如圖 ,連接 AC、 BD、 OF,設(shè) AC與 EF相交于點(diǎn) I,易知 AC與 BD交于點(diǎn) O, ? 設(shè)☉ O的半徑為 r,則 OF=r, ∵ △ AEF為正三角形 ,且內(nèi)接于☉ O, ∴ AO平分 ∠ EAF,且 ∠ EAF=60176。, ∵ OA=OF, ∴∠ OFA=∠ OAF=30176。+30176。, 易得△ IOF為直角三角形 , ∴ FI=r=? r, 32∴ EF=? r2=? r, ∴ AI=? r,∴ OI=? r, ∴ CI=r? r=? r, 又易知 AC⊥ EF,AC⊥ BD,∴ EF∥ BD, ∴ ? =? =? , ∴ GH=? BD=? 2r=r, ∴ ? =? =? ,故選 C. 32332 1212 12GHBD CICO1212 12EFGH 3 rr 37.(2022湖北武漢武昌一模 ,21)如圖 ,銳角三角形 ABC內(nèi)接于☉ O,若☉ O的半徑為 6,sin A=? ,則 BC的長是 . ? 23二、填空題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 答案 8 解析 過 C作☉ O的直徑 CD,連接 BD, 則 CD=26=12,∠ CBD=90176。sin D=CD, ∴ BD=cos 30176。 (2)若 BD=? ,tan∠ OBD=2,求☉ O的半徑 . ? 3 2 55三、解答題 (共 21分 ) 解析 (1)證明 :連接 OA、 OE,設(shè) OE交 AB于 F, ? ∵ AE=BE,∴∠ AOE=∠ BOE, ∵ OA=OB,∴ OE⊥ AB, ∴ AF=BF,∠ OFB=∠ BFE=90176。, ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴∠ CBD=∠ ABD, ∵ OB=OE, ∴∠ OBE=∠ OEB, ∴∠ OBE+∠ CBD=90176。, ∴ OB⊥ BC. (2)連接 AC,交 BD于 G, ? ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AB=BC,AC⊥ BD,BG=? BD=? , 12 1 6 55∴∠ BGC=90176。, ∵∠ OBD+∠ CBG=90176。 (2)若 ∠ ABC=45176。, ∴∠ DCA+∠ DAC=90176。, ∴∠ BGC=180176。90176。, ∴ AC⊥ BH. ? (2)∵∠ BDA=180176。,∠ ABC=45176。,∴ BD=AD, ∵ BD=8,∴ AD=8, 在 Rt△ ADC中 ,AD=8,AC=10, ∴ DC=6,∴ BC=BD+DC=14, ∵∠ EBC=∠ DEC,∠ BCE=∠ ECD, ∴ △ BCE∽ △ ECD, ∴ ? =? ,即 CE2=BC1