【文章內(nèi)容簡介】 t＜ 4） . ②當 4＜ t≤ 5 時，（如備用圖 1）， 連接 QO， QP，作 QN⊥ OB 于 N. 同理可得 QN＝ 45t. ∴ S＝ 12OPQN＝ 12179。（ t－ 4）179。 45t. ＝ 25t2－ 85t（ 4＜ t≤ 5） . ③當 5＜ t≤ 6 時，（如備用圖 2）， 連接 QO， QP. S＝ 12179。 OP179。 OD＝ 12（ t－ 4）179。 4＝ 2t－ 8（ 5＜ t≤ 6） . （ 3）①在 0＜ t＜ 4 時， 當 t＝ 8522 ( )5??＝ 2 時， S 最大 ＝ 28()524 ( )5???＝ 85 . ②在 4＜ t≤ 5 時，對于拋物線 S＝ 25 t2－ 85 t，當 t＝－ 85225??＝ 2 時， S 最小 ＝ 25179。 22－ 85179。 2＝－ 85. ∴ 拋物 線 S＝ 25t2－ 85t 的頂點為（ 2，－ 85） . ∴在 4＜ t≤ 5 時， S 隨 t 的增大而增大 . ∴當 t＝ 5 時， S 最大 ＝ 25179。 52－ 85179。 5＝ 2.[來源 :Z,xx,] ③在 5＜ t≤ 6 時， 在 S＝ 2t－ 8 中，∵ 2＞ 0，∴ S 隨 t 的增大而增大 . ∴當 t＝ 6 時， S 最大 ＝ 2179。 6－ 8＝ 4. ∴綜合三種情況，當 t＝ 6 時， S 取得最大值，最大值是 4. （說明：（ 3）中的②也可以省略，但需要 說明：在 （ 2） 中的②與③的△ OPQ，③中的底邊 OP 和高 CD 都大于②中的底邊 OP 和高 .所以③中的△ OPQ 面積一定大于②中的△OPQ 的面積 .） 9. （ 2020 四川南充市， 22， 8 分） 拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸的交點為 A（ m－ 4,0）和B(m,0)，與直線 y=－ x+p 相交于點 A 和點 C(2m－ 4,m－ 6). (1)求拋物線的解析式； （ 2）若點 P 在拋物線上，且以點 P 和 A,C 以及另一點 Q 為頂點的平行 四邊形 ACQP面積為 12，求點 P,Q 的坐標； （ 3）在（ 2）條件下，若點 M 是 x 軸下方拋物線上的動點，當 ⊿ PQM 的面積最大時，請求出 ⊿ PQM 的最大面積及點 M 的坐標。 【答案】 解：（ 1） ∵點 A(m4,0)和 C(2m4,m6)在直線 y=x+p 上 ∴ 0 ( 4)6 (2 4)mpm m p? ? ? ??? ? ? ? ? ??解得： 31mp??? ??? ∴ A(1,0) B(3,0), C(2,3) 設拋物線 y=ax2+bx+c=a(x3)(x+1), ∵ C(2,3) ∴ a=1 ∴拋物線解析式為： y=x22x3 （ 2） AC=3 2 ,AC 所在直線的解析式為： y=x1， ∠ BAC=450 ∵ 平行四邊形 ACQP 的面積為 12. ∴ 平行四邊形 ACQP 中 AC 邊上的高為2312=2 2 過點 D 作 DK⊥ AC 與 PQ 所在直線相交于點 K,DK= 2 2 ,∴ DN=4 ∵ ACPQ,PQ 所在直線在直線 ACD 的兩側(cè)，可能各有一條， ∴ PQ 的解析式或為 y=x+3 或 y=x5 ∴ 2 233y x xyx? ? ? ?? ?? ??解得： 1130xy??? ?? 或 2225xy???? ?? 2 235y x xyx? ? ? ?? ?? ??，此方程組無解 . 即 P1(3,0), P2(2,5) ∵ ACPQ 是 平行四邊形 ， A(1,0) C(2,3) ∴當 P(3,0)時， Q(6， 3) 當 P(2,5)時， Q(1， 2) ∴滿足條件的 P,Q 點是 P1(3,0), Q1(6， 3)或 P2(2,5)， Q2(1， 2) （ 1） 設 M(t,t22t3),(1＜ t＜ 3),過點 M 作 y 軸的平行線，交 PQ 所在直線雨點 T,則T(t,t+3) MT=(t+3)( t22t3)= t2+t+6 過點 M 作 MS⊥ PQ 所在直線于點 S， MS=22MT=22 ( t2+t+6)= 22(t21)2+8225 ∴當 t=21時， M（21， 415），⊿ PQM 中 PQ 邊上高的最大值為 8225 10． （ 2020 浙江杭州 ， 24， 12)圖形既關于點 O 中心對稱，又關于直線 AC， BD 對稱，AC＝ 10， BD＝ 6，已知點 E， M 是線段 AB 上的動點 (不與端點重合 )，點 O 到 EF，MN 的距離分別為 1h ， 2h ． △ OEF 與 △ OGH 組成的圖形稱為蝶形． [來源 :學?？?。網(wǎng) Z。 X。 X。 K] (1)求蝶形面積 S 的最大值； (2)當以 EH 為直徑的圓與以 MQ 為直徑的圓重合時，求 1h 與 2h 滿足的關系式，并求1h 的取值范圍． ODCBAyx 【答案】 (1) 如圖，設 EF 與 AC 交于點 K，由△ OEF∽△ ABD，得 AK EFAO BD? ， 15 56h EF? ? ， 16 (5 )5EF h??，111 1 62 2 ( 5 )2 2 5S O K E F h h? ? ? ? ? ? ?，整理得 216 5 15()5 2 2Sh? ? ? ?，當1 52h?時，蝶形面積 S 的最大，最大值為 152 ． (2) 如圖，設 MN 與 AC 交于點 L，由 (1)得16 (5 )5EF h??，則13(5 )5EK h??，23 (5 )5ML h?? 由 OK2+EK2＝ OE2， OL2+ML2＝ OM2，得 OK2+EK2＝ OL2+ML2，22221 1 2 233( 5 ) ( 5 )55h h h h? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，整理得 ? ?1 2 1 2( ) 17 ( ) 45 0h h h h? ? ? ?，當點 E， M 不重合時， 120hh??，124517hh??．當 OE⊥ AB 時，1 4534h?，所以1 450 17h?? 2）當點 ,EM重合時，則 12hh? ，此時 1h 的取值范圍為 105h??. 解法二 ：（ 1）由題意，得四邊形 ABCD 是菱形 . LKSERO ABM由 //EF BD ，得 ABD AEF??， 1565hEF ???，即 ? ?16 55EF h?? ? ? 21 1 1 16 6 5 1 525 5 5 2 2O E FS S E F h h h h? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 所以當1 52h?時，max 152S ?. （ 2）根據(jù)題意，得 OE OM? . 如圖，作 OR AB? 于 R ， OB 關于 OR 對稱線段為 OS ， 1）當點 ,EM不重合時，則 ,OEOM 在 OR 的兩側(cè)，易知 RE RM? . 225 3 3 4AB ? ? ?， 1534OR?? 22 15 9334 34BR ??? ? ? ????? 由 // //ML EK OB，得 ,O K BE O L BMO A AB O A AB?? 2O K O L B E B M B RO A O A A B A B A B? ? ? ? ?，即 1295 5 17hh?? 124517hh? ? ?，此時 1h 的取值范圍為1 450 17h??且1 4534h? 2）當點 ,EM重合時，則 12hh? ，此時 1h 的取值范圍為 105h??. 11. (2020 浙江湖州， 24， 14)如圖 1．已知正方形 OABC 的邊長為 2，頂點 A、 C 分別在 x、 y 軸的正半軸上 ,M 是 BC 的中點． P(0， m)是線段 OC 上一動點（ C 點除外），直線 PM 交 AB 的延長線于點 D． (1) 求點 D 的坐標（用含 m 的代數(shù)式表示）； (2) 當△ APD 是等腰三角形時，求 m 的值； (3) 設過 P、 M、 B 三點的 拋物線與 x 軸正半軸交于點 E，過點 O 作直線 ME 的垂線，垂足為 H（如圖 2）．當點 P 從點 O 向點 C 運動時，點 H 也隨之運動．請直接寫出點 H 所經(jīng)過 的路徑長．（不必寫解答過程） 【答案】 解：（ 1）由題意得 CM=BM，∵∠ PMC＝ ∠ DMB，∴ Rt△ PMC≌ Rt△ DMB，∴DB＝ PC，∴ DB＝ 2－ m， AD＝ 4－ m，∴點 D 的坐標為（ 2， 4－ m） . （ 2）分三種情況： ① 若 AP＝ AD，則 224 (4 )mm? ? ? ，解得 32m? . ② 若 PD＝ PA，過 P 作 PF⊥ AB 于點 F（如圖），則 AF＝ FD, 11 ( 4 )22A F F D A D m? ? ? ?，又 OP＝ AF，∴ 1(4 )2mm??，解得 43m? ， ③ 若 DP＝ DA，∵ △PMC≌ △DMB，∴ 11( 4 )22PM PD m? ? ?，∵ 2 2 2PC CM PM??，∴ 221( 2 ) 1 ( 4 )4mm? ? ? ?， 解得122 ,23mm??（ 舍 去 ）. 綜上所述，當△ APD 是等腰三角形時，過 m 的值為 342233或 或 . （ 3）點 H 經(jīng)過的路徑長為 54? . 12. （ 2020 寧波市， 26， 10 分）如圖．平面直角坐標系 xOy 中，點 B 的坐標為（－ 2，2），點 B 的坐標為（ 6， 6），拋物線經(jīng)過 A、 O、 B 三點，線段 AB 交 y 軸與點 E． （ 1）求點 E 的坐標； （ 2）求拋物線的函數(shù)解析式； （ 3）點 F 為線段 OB 上的一個動點（不與 O、 B 重合），直線 EF 與拋物線交與 M、 N兩點（點 N 在 y 軸右側(cè)），連結 ON、 BN，當點 F 在線段 OB 上運動時，求 ? BON 的面積的最大 值，并求出此時點 N 的坐標； （ 4）連結 AN，當 ? BON 的面積的最大時，在坐標平面內(nèi)使得 ? BOP 與 ? OAN 相似（點B、 O、 N 對應）的點 P 的坐標． 【答案】 26．解：（ 1）設直線 AB 的函數(shù)解析式為 y＝ mx＋ n 將點 A（－ 2， 2）， B（ 6， 6）代入得： ?????－ 2m＋ n＝ 26m＋ n＝ 6 得 m＝ 12， n＝ 3 ∴ y＝ 12x＋ 3 當 x＝ 0 時 y＝ 3 ∴ E(0， 3) 設拋物線的函數(shù)解析式為 y＝ ax＋ bx 將 A（－ 2， 2） B(6， 6)代入得 ?????4a－ 2b＝ 236a＋ 6b＝ 6解得 a＝ 14， b＝－ 12 ∴拋物線的解析式為 y＝ 14x2－ 12x （ 3） 過點 N 做 x 軸的垂線 NG，垂足為 G，交 OB 于點 Q，過 B 作 BH⊥ x 軸于 H，設 N(x， 14x2－ 12x) 則 Q（ x， x） 則 S? BON ＝ S? BON ＋ S? BON ＝ 12179。 QN179。 OG＋ 12179。 QN179。 HG ＝ 12179。 QN179。 (OG＋ HG)＝ 12179。 QN179。 OH＝ 12〔 x－ (14x2－ 12x) 〕179。 6＝－ 34x2＋ 92x＝－ 34(x－ 3)2＋ 274 (0＜ x＜ 6) ∴當 x＝ 3 時， ? BON 面積最大，最大值為 274 此時點 N 的坐標為（ 3， 34） （ 4）過點 A 作 AS⊥ GQ 于 S ∵ A(－ 2， 2)， B(6， 6)， N（ 3， 34） ∴∠ AOE＝∠ OAS＝∠ BOH＝ 45176。， OG＝ 3， NG＝ 34， NS＝ 54， AS＝ 5 在 Rt? SAN 和 Rt? NOG 中 ∴ tan∠ SAN＝ tan∠ NOG＝ 14 ∴∠ SAN＝∠ NOG ∴∠ OAS－∠ ASN＝∠ BOG－∠ NOG ∴∠ OASN＝∠ BON ∴ ON 的延長線上存在一點 P，使 ? BOP～ ? OAN ∵ A(－ 2， 2)， N（ 3， 34） 在 Rt? ASN 中 AN＝ AS2+SN2＝ 5 174 當 ? BOP～ ? OAN 時 OBOA＝ OPAN ∴ 2 22 2＝ OP5 174 ∴ OP＝ 15 174 過點 P 作 PT⊥ x 軸于點 T ∴ ? OPT～ ? ONG ∴ PTOT＝ NGOG＝ 14 設 P（ 4t