【文章內(nèi)容簡介】 解： （ 1）由 題意， △ ＝ 4 2－ 4( a 2＋ 2a＋ 5 )＝ － 4( a＋ 1 )2＝ 0 ∴ a＝ － 1 原方程可化為 x 2－ 4＋ 4＝ 0，解得∴ x1＝ x2＝ 2 ∴ AB＝ AD＝ 2 （ 2）作 AH⊥ BC 于 H，交 EG 于 O， DK⊥ EF 于 K， PM⊥ DA 交 DA 的延長線于 M ∵ AD∥ BC，∠ A＝ 120176。， AB＝ AD＝ 2 ∴∠ B＝ 60176。， AH＝ 3 A B D Q C P E F G A B C O A′ x P Q H D C′ y A B C O A′ x P Q H E C′ y ∵ E 是 AB 中點，且 EF∥ BC，∴ AO＝ DK＝ 3 2 ∵ AP＝ t，∴ PM＝ 3 2 t ∵ t ＞ 1，∴點 P 在點 E 下方 延長 FE 交 PM 于 S，設(shè) DP 與 EF 交于點 N 則 PS＝ 3 2 t－ 3 2 ∵ AD∥ BC， EF∥ BC，∴ EF∥ AD ∴ EN AD ＝ PE PA ，∴ EN 2 ＝ t－ 1 t ∴ EN＝ 2( t－ 1 ) t ，∴ QN＝ 2t－ 2( t－ 1 ) t ∴ S＝ 1 2 ( 2t－ 2( t－ 1 ) t )( 3 2 t－ 3 2 ＋ 3 2 ) ＝ 3 2 t 2－ 3 2 t＋ 3 2 即 S＝ 3 2 t 2－ 3 2 t＋ 3 2 （ t ＞ 1） （ 3）由題意， AM＝ 1 2 t，∴ DM＝ 2＋ 1 2 t ∴ DP 2＝ DM 2＋ PM 2＝ ( 2＋ 1 2 t )2＋ ( 3 2 t )2＝ t 2＋ 2t＋ 4 又 DQ 2＝ DK 2＋ KQ 2＝ ( 3 2 )2＋ ( 2t－ 1 2 － 2 )2＝ 4t 2－ 10t＋ 7 PQ 2＝ PS 2＋ SQ 2＝ ( 3 2 t－ 3 2 )2＋ ( 2t＋ t－ 1 2 )2＝ 7t 2－ 4t＋ 1 ①若∠ PDQ＝ 90176。，則 DP 2＋ DQ 2＝ PQ 2 ∴ t 2＋ 2t＋ 4＋ 4t 2－ 10t＋ 7＝ 7t 2－ 4t＋ 1 解得 t＝ 6－ 1（舍 去 負(fù) 值 ） ② 若 ∠ DPQ＝ 90176。， 則 PD 2＋ PQ 2＝ DQ 2 ∴ t 2＋ 2t＋ 4＋ 7t 2－ 4t＋ 1＝ 4t 2－ 10t＋ 7 解得 t＝ 6 2 － 1（舍 去 負(fù) 值 ） ③ 若 ∠ DQP＝ 90176。， 則 DQ 2＋ PQ 2＝ PD 2 ∴ 4t 2－ 10t＋ 7＋ 7t 2－ 4t＋ 1＝ t 2＋ 2t＋ 4 解得 t＝ 4177。 65 綜上所述 ， 存在 △ DPQ 是直角三角形的情況， 此時 t＝ 6－ 1， t＝ 6 2 － 1， t＝ 4177。 65 8． （天津模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直 y＝ － x＋ 4 2 交 x 軸于點 A，交 y 軸于點 B． 在線段 OA上有一動點 P，以每秒 2 個單位長度的速度由點 O 向點 A勻速運(yùn)動，以 OP為邊作正方形 OPQM 交 y 軸于點 M，連接 QA 和 QB，并從 QA 和 QB 的中點 C 和 D 向 AB作垂線，垂足分別為 點 F和點 E． 設(shè) P 點運(yùn)動的時間為 t 秒，四邊形 CDEF 的面積為 S1，正方形 OPQM 與四邊形 CDEF 重疊部分的面積為 S2． （ 1）直接寫出 A 點和 B 點坐標(biāo)及 t 的取值范圍； A B D Q C P E F N G S ON K H M （ 2） 當(dāng) t＝ 1 時，求 S1的值； （ 3）試求 S2 與 t 的函數(shù)關(guān)系 式 （ 4） 直接寫出在整個運(yùn)動過程中，點 C 和點 D 所 走過 的路程之和 ． 解：（ 1） A（ 4 2， 0）、 B（ 0， 4 2）， 0≤ t ≤ 4 （ 2） 過 Q 作 QH⊥ AB 于 H ∵ C、 D 分別是 QA 和 QB 的中點 ∴ CD∥ AB， CD＝ 1 2 AB＝ 1 2 4 2 2＝ 4 ∵ CF⊥ AB， DE⊥ AB， ∴ CF∥ DE ∴四邊形 CDEF 是平行四邊形 又∵ CF⊥ AB，∴ 四邊形 CDEF 是矩形 ∵ CF⊥ AB， QH⊥ AB，∴ CF∥ QH 又∵ C 是 QA 中點，∴ CF＝ 1 2 QH 連接 OQ ∵正方形 OPQM，∴ ∠ 1＝ ∠ 2， OP＝ PQ＝ QM＝ MO ∵ OA＝ OB，∴ PA＝ MB ∴ Rt△ QPA≌ Rt△ QMB，∴ QA＝ QB， ∠ PQA＝ ∠ MQB ∵ QH⊥ AB，∴ ∠ 3＝ ∠ 4 ∴ ∠ 1＋ ∠ MQB＋ ∠ 3＝ 180176。，∴ O、 Q、 H 三點共線 ∴ QH＝ OH－ OQ ∵ t＝ 1，點 P 的運(yùn)動速度為每秒 2 個單位長度 ∴ OP＝ 2，∴ OQ＝ 2 又∵ OA＝ 4 2，∴ OH＝ 4 ∴ QH＝ OH－ OQ＝ 4－ 2＝ 2，∴ CF＝ 1 ∴ S1＝ CD178。 CF＝ 4 1＝ 4 （ 3）當(dāng) 點 Q 落在 AB 上時 ， OQ⊥ AB，△ QOA 是等腰直角三角形 ∴ t＝ 2 2247。 2＝ 2 當(dāng) 0≤ t ≤ 2 時， S2＝ 0 當(dāng)點 E 落在 QM 上，點 F 落在 PQ 上時， △ CFK 和△ DEG 都是等腰直角三角形 過 C 作 CT⊥ PQ 于 T 則 CT＝ 1 2 AP＝ 1 2 ( 4 2－ 2t )＝ 2 2 ( 4－ t ) ∴ CF＝ 2CT＝ 4－ t 連接 OQ， 分別交 AB、 CD 于 N、 R 則 ON＝ 2 2 OA＝ 2 2 4 2＝ 4 ∵ OP＝ 2t，∴ OQ＝ 2t，∴ QN＝ 2t－ 4 y P A Q x O D C F B M E y P A Q x O D C F B M E H 1 2 3 4 y P A Q x O D C F B M E G K N R T ∴ CF＝ 1 2 QN＝ t－ 2 ∴ 4－ t＝ t－ 2，∴ t＝ 3 當(dāng) 2＜ t ≤ 3 時，重疊部分為等腰梯形 GHIK △ QGK 和△ QHI 都是等腰直角三角形 ∵ QN＝ 2t－ 4， RN＝ CF＝ t－ 2，∴ QR＝ t－ 2 ∴ GK＝ 2QR＝ 2t－ 4， HI＝ 2QN＝ 4t－ 8 ∴ S2＝ 1 2 ( GK＋ HI )178。 RN＝ 1 2 ( 2t－ 4＋ 4t－ 8 )( t－ 2 )＝ 3( t－ 2 )2 當(dāng) 3＜ t ≤ 4 時，重疊部分為六邊形 GHEFIK 易知 Rt△ CIK≌ Rt△ DHG，∴ GH＝ KI＝ 2CT＝ 2( 4－ t ) ∴ S2＝ S 矩形 CDEF － 2S△ CIK ＝ CD178。 CF－ KI178。 CT ＝ 4( t－ 2 )－ 2( 4－ t )178。 2 2 ( 4－ t )＝ － t 2＋ 12t－ 24 綜上得 S2 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式 為： S2＝ ???0（ 0≤ t ≤ 2）3( t－ 2 )2（ 2＜ t ≤ 3）－ t 2＋ 12t－ 24（ 3＜ t ≤ 4） （ 4） 8 提示： 點 C 和點 D 走過的路程分別為以 OP 為邊 的正方形的對角線的一半 9． （上海模擬） 如圖，正方形 ABCD中， AB＝ 5，點 E 是 BC延長線上一點， CE＝ BC，連接 BD． 動點 M從 B 出發(fā)，以每 秒 2 個 單位長度的速度沿 BD 向 D 運(yùn)動；動點 N 從 E出發(fā)，以每秒 2 個單位長度的速度沿 EB 向 B 運(yùn)動，兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點后另一點也停止運(yùn)動 ． 設(shè)運(yùn)動時間為 t秒，過 M 作BD 的垂線 MP 交 BE 于 P． （ 1）當(dāng) PN＝ 2 時，求運(yùn)動時間 t； （ 2）是否存在這樣的 t，使△ MPN 為等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理由； （ 3）設(shè)△ MPN 與 △ BCD 重疊部分的面積為 S，直接寫出 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式和函數(shù)的定義域 ． 解：（ 1）∵正方形 ABCD，∴ ∠ DBC＝ 45176。 ∵ MP⊥ DB，∴△ BMP 是等腰直角三角形 ∵ BM＝ 2t，∴ BP＝ 2BM＝ 2t 又 PN＝ 2， NE＝ 2t 當(dāng) 0＜ t ＜ 時， BP＋ PN＋ NE＝ BE ∴ 2t＋ 2＋ 2t＝ 10，∴ t＝ 2 當(dāng) ＜ t ＜ 5 時， BP－ PN＋ NE＝ BE ∴ 2t－ 2＋ 2t＝ 10，∴ t＝ 3 A B D N C P M E y P A Q x O D C F B M E G H I K N R y P A Q x O D C F B M E G H I K N R T A B D N C P M E Q H （ 2）過 M 作 MH⊥ BC 于 H 則△ NQC∽△ NMH，∴ QC CN ＝ MH HN ∴ QC 5－ 2t ＝ t 10－ t－ 2t ，∴ QC＝ 5t－ 2t 2 10－ 3t 令 QC＝ y，則 y＝ 5t－ 2t 2 10－ 3t 整理得 2t 2－ ( 3y＋ 5 )t＋ 10y＝ 0 ∵ t 為實數(shù)，∴ [－ ( 3y＋ 5 )]2－ 4 2 10y ≥ 0 即 9y 2－ 50y＋ 25≥ 0，解得 y ≥ 5（舍去）或 y ≤ 5 9 ∴ 線段 QC 長度的最大值為 5 9 （ 3） 當(dāng) 0＜ t ＜ 時 ∵ ∠ MPN＝ ∠ DBC＋ ∠ BMP＝ 45176。＋ 90176。＝ 135176。 ∴ ∠ MPN 為鈍角，∴ MN ＞ MP， MN ＞ PN 若 PM＝ PN，則 2t＝ 10－ 4t 解得 t＝ 5 7 ( 4－ 2 ) 當(dāng) ＜ t ＜ 5 時 ∵ ∠ MNP＞ ∠ MBP＝ ∠ MPB，∴ MP ＞ MN 若 MN＝ PN，則 ∠ PMN＝ ∠ MPN＝ 45176。 ∴ ∠ MNP＝ 90176。，即 MN⊥ BP ∴ BN＝ NP， BP＝ 2BN ∴ 2t＝ 2( 10－ 2t )， 解得 t＝ 10 3 若 PM＝ PN ∵ PN＝ BP－ BN＝ BP－ ( BE－ NE )＝ BP＋ NE－ BE ∴ 2t＝ 2t＋ 2t－ 10， 解得 t＝ 5 7 ( 4＋ 2 ) ∴當(dāng) t＝ 5 7 ( 4－ 2 )， t＝ 10 3 ， t＝ 5 7 ( 4＋ 2 )時， △ MPN 為等腰三角形 （ 4） S＝ ????? 8t 3－ 50t 2＋ 75t 20－ 6t （ 0＜ t ＜ ）5t－ 25 2 （ ＜ t ＜ 5） 10． （重慶模擬） 如圖，已知 △ ABC 是等邊三角形，點 O 是 AC 的中點， OB＝ 12，動點 P 在線段 AB 上從點 A 向點 B 以每秒 3 個單位的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為 t 秒．以點 P 為頂點，作等邊 △ PMN，點 M， N在直線 OB 上 ， 取 OB 的中點 D，以 OD 為邊在 △ AOB 內(nèi)部作如圖所示的矩形 ODEF，點 E 在線段 AB上． （ 1）求當(dāng)?shù)冗?△ PMN 的頂點 M 運(yùn)動到與點 O 重合時 t 的值； （ 2）求等邊 △ PMN 的邊長（用 含 t 的代數(shù)式表示）； （ 3）設(shè)等邊 △ PMN 和矩形 ODEF 重疊部分的面積為 S， 請 直接寫出 S 與 t的函數(shù)關(guān)系式 及 自變量 t 的取值范圍 ； A B D P C N E M A B D N C P E M A B D P C N M E A D B P C N M E A D B P C N M E R A D B N C P M E Q （ 4） 點 P 在運(yùn)動過程中 ，是否存在點 M，使 得 △ EFM 是等腰三角形 ？ 若存在，求出對應(yīng)的 t 的值；若不