【文章內(nèi)容簡介】 AFCE是菱形。理由：∵ AE∥ CF，∴∠ EAO=∠ FCO，又∵ AO＝ CO，∠ AOE=∠ COF，∴△ AOE≌△ COF，∴ AE=CF，又 AE∥ CF，∴四邊形 AFCE為平行四邊形，又 AF=FC，所以平行四邊形 AFCE為菱形． 18. （ 2020江蘇泰州， 28， 12分）在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，邊長為 a（ a為大于 0的常數(shù)）的正方形 ABCD的對角線 AC、 BD相交于點 P，頂點 A在 x軸正半軸上運動，頂點 B在 y軸正半軸上運動（ x軸的正半軸、 y軸的正半軸都不包含原點 O），頂點 C、 D都在第一象限． （ 1）當(dāng)∠ BAO=45176。時，求點 P的坐標(biāo) 。 (2)求證：無論點 A在 x軸正半軸上、點 B在 y 軸正半軸上怎樣運動，點 P 都在∠ AOB的平分線上； （ 3）設(shè)點 P到 x軸的距離為 h，試確定 h的取值范圍，并說明理由． yOPDCxBA 【答案】 解：（ 1）當(dāng)∠ BAO=45176。時，∠ PAO=90176。，在 Rt⊿ AOB中， OA＝ 22 AB＝ a22 ，在 Rt⊿ APB中， PA＝ 22 AB＝ a22 ?！帱c P的坐標(biāo)為（ a22 ， a22 ） （ 2）過點 P分別作 x軸、 y軸的垂線垂 足分別為 M、 N，則有∠ PMA=∠ PNB=∠ NPM=∠ BPA=90176。，∴∠ MPA=∠ NPB，又 PA＝ PB，∴ △ PAM≌ △ PBN，∴ PM=PN，于是，點 P都在∠ AOB的平分線上； yOPDCxBANM （ 3） 2a ＜ h≤ a22 。當(dāng)點 B與點 O重合時，點 P到 AB的距離為 2a ，然后頂點 A在 x軸正半軸上向左運動，頂點 B在 y軸正半軸上向上運動時，點 P到 AB的距離逐漸增大，當(dāng)∠BAO=45176。時， PA⊥ x軸，這時點 P到 AB的距離最大為 a22 ，然后又逐漸減小到 2a ， ∵ x軸的正半軸、 y軸的正半軸都不包含原點 O ，∴點 P到 x軸的距離的取值范圍是 2a ＜ h≤ a22 。 19. （ 2020山東濟寧， 17， 5分）如圖，在平行四邊形 ABCD中，對角線 AC、 BD相交于點O，過點 O作直線 EF⊥ BD，分別交 AD、 BC于點 E和點 F，求證：四邊形 BEDF是菱形． 【答案】證明： ∵ 四邊形 ABCD是菱形， ∴ AD∥ BC， OB=OD， ????????????????1 分 ∴∠ EDO=∠ FBO， ∠ OED=∠ OFB， ??????????2 分 ∴ △OED≌△OFB ， ∴ DE=BF， ?????????????????????3 分 又 ∵ DE∥ BF， ∴ 四邊形 BEDF是平行四邊形， ??????????? ?4 分 OFE DCBA第 17 題 ∵ EF⊥ BD， ∴ 四邊形 BEDF是菱形． ???????????????5 分 20． （ 2020山東聊城， 25， 12分）如圖，在矩形 ABCD中， AB＝ 12cm， BC＝ 8cm，點 E、 F、 G分別從點 A、 B、 C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點 E、 G的速度均為2cm/s，點 F的速度為 4cm/s，當(dāng)點 F追上點 G（即點 F與點 G重合）時，三個點隨之停止移動．設(shè)移動開始后第 t秒時， △ EFG的面積為 S（ cm2）． （ 1）當(dāng) t＝ 1秒時， S的值是多少？ （ 2）寫出 S和 t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量 t的取值范圍． （ 3）若點 F在矩形的邊 BC上移動，當(dāng) t為何值時，以點 E、 B、 F為頂點的三角形與以F、 C、 G為頂點的三角形相似？請說明理由． 【答案】（ 1）如圖甲，當(dāng) t＝ 1秒時， AE＝ 2， EB＝ 10， BF＝ 4， FC＝ 4， CG＝ 2，由 S＝ S梯形 EGCG－ SEBF－ SFCG＝ 21 (10＋ 2)8 － 21 104 － 21 42 ＝ 24 (2)如圖（甲），當(dāng) 0≤t≤2 時，點 E、 F、 G分別在 AB、 BC、 CD上移動，此時 AE＝ 2t，EB＝ 12－ 2t， BF＝ 4t， FC＝ 8－ 4t， S＝ 8t2－ 32t＋ 48（ 0≤t≤2 ） （ 3）如圖乙，當(dāng) 點 F追上點 G時， 4t＝ 2t＝ 8，解得 t＝ 4，當(dāng) 2＜ t≤4 時， CF＝ 4t－ 8，CG＝ 2t， FG＝ CG－ CF＝ 8－ 2t，即 S＝－ 8t＋ 32(2＜ t≤4) ， (3)如圖（甲），當(dāng)點 F在矩形的邊 BC上移動時， 0≤t≤2 ，在 EFF和 FCG中， B＝ C＝ 90，① 若 CGBFFCEB? ，即 tttt 2448 212 ??? ，解得 t＝ 32 ，又 t＝ 32 滿足 0≤t≤2 ，所以當(dāng) t＝ 32 時△ EBF∽△ GCF② 若 CFBFGCEB? ，即 ttt t 48 42 212 ??? ，解得 t＝ 23 ，又 t＝ 23 滿足 0≤t≤2 ，所以當(dāng) t＝ 23 時 △ EBF∽△ GCF，綜上知，當(dāng) t＝ 32 或 23 時，以點 E、 B、 F為頂點的三角形與以 F、 C、 G為頂點的三角形相似 21. （ 2020山東濰坊， 18， 8分）已知正方形 ABCD的邊長為 a，兩條對角線 AC、 BD相交于點 O， P是射線 AB上任意一點，過 P點分別做直線 AC、 BD的垂線 PE、 PF，垂足為 E、F. （ 1）如圖 1，當(dāng) P點在線段 AB 上時，求 PE+PF的值； （ 2）如圖 2，當(dāng) P點在線段 AB 的延長線上時，求 PE－ PF的值 . 【解】（ 1）∵四邊形 ABCD為正方形，∴ AC⊥ BD. ∵ PF⊥ BD，∴ PF//AC，同理 PE//BD. ∴四邊形 PFOE為矩形，故 PE=OF. 又∵∠ PBF=45176。，∴ PF=BF. ∴ PE+PF=OF+FB=OB= 2cos 452aa??. （ 2）∵四邊形 ABCD為正方形，∴ AC⊥ BD. ∵ PF⊥ BD，∴ PF//AC，同理 PE//BD. ∴四邊形 PFOE為矩形，故 PE=OF. 又∵∠ PBF=45176。，∴ PF=BF. ∴ PE－ PF=OF－ BF= OB= 2cos 452aa??. 22. （ 2020四川廣安， 23， 8分）如圖 5所示，在菱形 ABCD中， ∠ ABC= 60176。， DE∥ AC交 BC的延長線于點 E．求證： DE=12 BE EDCBA 【答案】 證明： ∵ ABCD是菱形， ∠ ABC= 60176。 ∴ BC=AC=AD 又 ∵ DE∥ AC ∴ ACED為平行四邊形 ∴ CE=AD=BC DE=AC ∴ DE=CE=BC 圖 5 ∴ DE=12BE 23. (2020江蘇南京， 21， 7分 )如圖，將 □ABCD 的邊 DC延長到點 E，使 CE=DC，連接 AE，交 BC于點 F． ⑴ 求證： △ ABF≌△ ECF ⑵ 若 ∠ AFC=2∠ D，連接 AC、 BE．求證：四邊形 ABEC是矩形． 【答案】 證明： ⑴∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AB∥ CD,AB=CD． ∴∠ ABF=∠ ECF. ∵ EC=DC, ∴ AB=EC． 在 △ ABF和 △ ECF中， ∵∠ ABF=∠ ECF， ∠ AFB=∠ EFC， AB=EC， ∴⊿ ABF≌⊿ ECF． （ 2）解法一： ∵ AB=EC ， AB∥ EC， ∴ 四邊形 ABEC是平行四邊形． ∴ AF=EF， BF=CF． ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴∠ ABC=∠ D，又 ∵∠ AFC=2∠ D， ∴∠ AFC=2∠ ABC． ∵∠ AFC=∠ ABF+∠ BAF， ∴∠ ABF=∠ BAF． ∴ FA=FB． ∴ FA=FE=FB=FC, ∴ AE=BC． ∴ 口 ABEC是矩形． 解法二： ∵ AB=EC ， AB∥ EC， ∴ 四 邊形 ABEC是平行四邊形． ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ D=∠ BCE． 又 ∵∠ AFC=2∠ D， ∴∠ AFC=2∠ BCE， ∵∠ AFC=∠ FCE+∠ FEC， ∴∠ FCE=∠ FEC． ∴∠ D=∠ FEC． ∴ AE=AD． 又 ∵ CE=DC， ∴ AC⊥ DE．即 ∠ ACE=90176。 ． ∴ 口 ABEC是矩形． 24. （ 2020江蘇南通， 26， 10分）（本體滿分 10分） 已知：如圖 1， O為正方形 ABCD的中心，分別延長 OA到點 F， OD到點 E，使 OF＝ 2OA，OE＝ 2OD，連結(jié) EF，將△ FOE繞點 O逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到 △ 39。39。FOE （如圖 2） . （ 1） 探究 AE′與 BF39。的數(shù)量關(guān)系，并給予證明； （ 2） 當(dāng)α＝ 30176。時，求證：△ AOE′為直角三角形 . A B C D E F (第 21 題 ) 【答案】（ 1） AE′＝ BF 證明：如圖 2， ∵在正方形 ABCD中， AC⊥ BD ∴∠ 39。39。FOE ＝∠ AOD＝∠ AOB＝ 90176。 即∠ AOE′＋∠ AOF′＝∠ BOF′＋∠ AOF′ ∴∠ AOE′＝∠ BOF′ 又∵ OA＝ OB＝ OD， OE′＝ 2OD， OF′＝ 2OA ∴ OE′＝ OF′ ∴△ OAE′≌△ OBF′ ∴ AE′＝ BF （ 2）作△ AOE′的中線 AM，如圖 3. 則 OE′＝ 2OM＝ 2OD＝ 2OA ∴ OA＝ OM ∵α＝ 30176。 ∴∠ AOM＝ 60176。 ∴△ AOM為等邊三角形 ∴ MA＝ MO＝ ME′，∠ 39。AEM ＝∠ 39。EAM 又∵∠ 39。AEM ＋∠ 39。EAM ＝∠ AMO 即 2∠ 39。AEM ＝ 60176。 ∴∠ 39。AEM ＝ 30176。 ∴∠ 39。AEM ＋∠ AOE′＝ 30176。＋ 60176。＝ 90176。 ∴△ AOE′為直角三角形 . 25. （ 2020山東臨沂， 22， 7分）如圖，△ ABC中， AB＝ AC， AD、 CD分別是△ ABC兩個外角的平分線．在直角梯形 ABCD中， AB∥ CD， ∠ ABC＝ 90176。 ，＝ 2CD，對角線 AC與 BD相交于點 O，線段 OA， OB的中點分別為點 E， F （ 1）求證： AC＝ AD； （ 2）若 ∠ B＝ 60176。，求證：四邊形 ABCD是菱形； 【解】（ 1）證明：∵ AB＝ AC， ∴∠ B＝∠ BCA， ∴∠ EAC＝∠ B＋∠ BCA＝ 2∠ B， ∵ AD平分∠ FAC， ∴∠ FAD＝∠ B， ∴ AD∥ BC，??????????????????????????（ 2分） ∴∠ D＝∠ DCE， ∵ CD平分∠ ACE， ∴∠ ACD＝∠ DCE， ∴∠ D＝∠ ACD，????????????????????????（ 3分） ∴ AC＝ AD；??????????????????????????（ 4分） （ 2）證明： ∵ ∠ B＝ 60176。 ， ∴∠ ACB＝ 60176。 ，∠ FAC＝∠ ACE＝ 120176。 ， ∴∠ DCE＝∠ B＝ 60176。 ，?????????????????????（ 5分） ∴ DC∥ AB, ∵ AD∥ BC， ∴四邊形 ABCD為平行四邊形，?????????????????（ 6分） 又由（ 1）知 AC＝ AD， ∴ AB＝ AD， ∴四邊形 ABCD是菱形．????????????????????（ 7分） 26. （ 2020 山東臨沂， 25， 11 分 )如圖 1，獎三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角頂點 E 與正方形 ABCD 的頂點 A 重合，三角板的一邊交 CD 于點 F，另一邊交 CB 的延長線于點 G． （ 1）求證： EF＝ EG； （ 2）如圖 2，移動三角板，使頂點 E始終在正方形 ABCD的對角線 AC上，其他條件不變 ． （ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，情給予證明；若不成立，請說明理由； （ 3）如圖 3，將（ 2）中的“正方形 ABCD”改為“矩形 ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點 B，其他條件不變，若 AB＝ a,BC＝ b，求 EGEF 的值 ． 圖 1 圖 2 圖 3 （ 1）證明：∵∠ GEB＋∠ BEF＝ 90176。，∠ DEF＋∠ BEF＝ 90176。， ∴∠ DEF＝ GEB，??????????????????（ 1分） 又∵ ED＝ BE， ∴ Rt△ FED≌ Rt△ GEB，???????????