【文章內(nèi)容簡介】 DE 的周長為 。 答案： 8 cm 19. （ 2022?廣東深圳?聯(lián)考）如圖，已知矩形 OABC 與矩形 ODEF 是位似圖形， P 是位似中心，若點 B 的坐標為（ 2， 4），點 E 的坐標為（﹣ 1， 2），則點 P 的坐標為 答案：（ 2， 0） 20.（ 2022廣東 河源 一模） 如圖，矩形 ABCD的對角線 AC，BD相交于點 O， CE∥ BD， DE∥ AC，若 AC = 4 cm，則四邊形 CODE的周長為 。 答案： 8 cm 21.（ 2022廣東河源一模） 如圖，三個小正方形的邊長都為 1，則圖中陰影部分面積的和是 __________。（結(jié)果保留π） 答案： 8π3 22. （ 2022廣東深圳聯(lián) 考） 如圖，已知矩形 OABC 與矩形 ODEF 是位似圖形， P 是位似中心，若點 B 的坐標為（ 2， 4），點 E 的坐標為（﹣ 1， 2），則點 P 的坐標為 答案： （ 2， 0） 23. （ 2022廣東深圳聯(lián)考） 如圖，矩形 ABCD 中， AD=4， ∠ CAB=30o，點 P 是線段 AC 上的動點，點 Q 是線段 CD 上的動點，則 AQ+QP 的最小值是 PQA BCD 答案： 34 三、解答題 1． (2022浙江鎮(zhèn)江 模擬 )（本小題滿分 6 分） 如圖 ， E、 F 分別是 □ ABCD 的邊 BC、 AD 上的中點 . （ 1） 求證 ： △ ABE≌△ CDF； （ 2） 當(dāng) ∠ BAC= 176。 時，四邊形 AECF 是菱形 . （ 1） 證明：在 □ ABCD 中， AD=BC， AB=CD， ∠ B=∠ D， ∵ E、 F 分別是 □ ABCD 的邊 BC、 AD 上的中點 , ∴ BE= 21BC， DF= 21AD，則 BE= DF. 在 △ ABE 和△ CDF 中， BE= DF， ∠ B=∠ D， AB=CD， 則 △ ABE≌△ CDF； （ 2） 當(dāng) ∠ BAC= 90 176。 時，四邊形 AECF 是菱形 . 2.（ 2022 齊河三模） 如圖，正方形 ABCD 中，點 E， F 分別在邊 AB， BC 上， AF＝ DE， AF 和DE相交于點 G. (1)觀察圖形，寫出圖中所有與 ∠ AED相等的角； (2)選擇圖中與 ∠ AED相等的任意一個角，并加以證明． 答案：（ 1）由圖可知，∠ DAG，∠ AFB，∠ CDE與∠ AED相等； DFAE CBDFAE CB（ 2）選擇∠ DAG=∠ AED，證明如下： ∵正方形 ABCD， ∴∠ DAB=∠ B=90176。， AD=AB， ∵ AF=DE， 在△ DAE與△ ABF 中， ， ∴△ DAE≌△ ABF（ SAS）， ∴∠ ADE=∠ BAF， ∵∠ DAG+∠ BAF=90176。，∠ GDA+∠ AED=90176。， ∴∠ DAG=∠ AED． 3.（ 2022青島一模） 已知：如圖，在矩形 ABCD中，點 E在邊 AD上，點 F在邊 BC上，且 AE=CF，作 EG∥FH ，分別與對角線 BD交于點 G、 H，連接 EH， FG． （ 1）求證： △BFH≌△DEG ； （ 2）連接 DF，若 BF=DF，則四邊形 EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論． 【考點】 矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 【分析】 （ 1）由 平行四邊形的性質(zhì)得出 AD∥BC ， AD=BC， OB=OD，由平行線的性質(zhì)得出∠FBH=∠EDG ， ∠OHF=∠OGE ，得出 ∠BHF=∠DGE ，求出 BF=DE，由 AAS即可得出結(jié)論； （ 2）先證明四邊形 EGFH是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得出 EF⊥GH ，即可得出四邊形 EGFH是菱形． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC ， AD=BC， OB=OD， ∴∠FBH=∠EDG ， ∵AE=CF ， ∴BF=DE ， ∵EG∥FH ， ∴∠OHF=∠OGE ， ∴∠BHF=∠DGE ， 在 △BFH 和 △ DEG中， ， ∴BFH≌△DEG （ AAS）； （ 2）解：四邊形 EGFH 是菱形；理由如下： 連接 DF，如圖所示： 由（ 1）得： BFH≌△DEG ， ∴FH=EG ， 又 ∵EG∥FH ， ∴ 四邊形 EGFH是平行四邊形， ∵BF=DF ， OB=OD， ∴EF⊥BD ， ∴EF⊥GH ， ∴ 四邊形 EGFH是菱形． 4． （ 2022天津南開區(qū)二模） 如圖 1，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一點， F 是 AD 延長線上一點，且 DF= :CE=CF. (1)在圖 1 中，若 G 在 AD 上，且 ∠ GCE= GE， BE， GD 三 線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 . (2)運用 (1)中解答所積累的經(jīng)驗和知識，完成下面兩題： ① 如圖 2，在四邊形 ABCD 中 ∠ B=∠ D=900， BC=CD，點 E，點 G 分別是 AB 邊， AD 邊上的動點 .若 ∠ BCD=α， ∠ ECG=β，試探索當(dāng) α 和 β 滿足什么關(guān)系時，圖 1 中 GE， BE， GD 三線段之間的關(guān)系仍然成立，并說明理由 . ② 在平面直角坐標中，邊長為 1 的正方形 OABC 的兩頂點 A， C 分別在 y 軸、 x 軸的正半軸上，點 O 在原點．現(xiàn)將正方形 OABC 繞 O 點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A 點第一次落在直線 y=x 上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中， AB 邊交 直線 y=x 于點 M， BC 邊交 x 軸于點 N(如圖 3).設(shè) △MBN 的周長為 p，在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC 的過程中， p 值是否有變化？若不變，請直接寫出結(jié)論． 考點：四邊形綜合題 答案：見解析 試題解析：（ 1） ∵ 在 △EBC 和 △FDC 中， ∴△ EBC≌△ FDC， ∴∠ DCF=∠ BCE， ∵∠ GCE=45176。， ∴∠ BCE+∠ DCG=90176。﹣ 45176。=45176。，即 ∠ DCG+∠ DCF=45176。， ∴ GC=GC， ECG=∠ FCG， 在 △ECG 和 △FCG 中， ， ∴△ ECG≌△ FCG， ∴ EG=GF，即 GE=BE+GD． （ 2） ① α=2β．如圖， 延長 AD 到 F 點，使 DF=BE，連接 CF，可證 △EBC≌△ FDC， 則 ∠ BCE+∠ DCG=∠ GCF，由 α=2β 可知 ∠ ECG=∠ GCF，可證 △ECG≌△ FCG，故 EG=GF，即GE=BE+GD． ② 在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC 的過程中， P 值無變化．證明：如圖， 延長 BA 交 y 軸于 E 點，則 ∠ AOE=45176。﹣ ∠ AOM， ∠ CON=90176。﹣ 45176。﹣ ∠ AOM=45176。﹣ ∠ AOM， ∴∠ AOE=∠ CON．又 ∵ OA=OC， ∠ OAE=180176。﹣ 90176。=90176。=∠ OCN． 在 △OAE 和 △OCN 中， ． ∴△ OAE≌△ OCN（ ASA）． ∴ OE=ON， AE=CN． 在 △OME 和 △OMN 中 ． ∴△ OME≌△ OMN（ SAS）． ∴ MN=ME=AM+AE． ∴ MN=AM+CN， ∴ P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2． ∴ 在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC 的過程中， P 值無變化． 5． (2022山西大同 一模）如圖，已知： AB是 O 的弦， CD是 O 的直徑， CD⊥ AB， 垂足為 E，且點 E是 OD的中點， O 的切 線 BM 與 AO的延長線相交于點 M，連接 AC、 CM （ 1）若 AB=43，求 O 的半徑及弧 AB的長度 . （ 2）求證：四邊形 ABMC是菱形 . 答案： 解（ 1）連接 OB ∵ OA=OB， E是 AB 的中點 ∴∠ AOE=∠ BOE, OE⊥ AB 又∵ OE=12 OA ∴∠ OAB=30176。，∠ AOE=60176。 設(shè) AO為 x，則 OE=12 x ∴ x=4 ∴弧 AB 長 l= （ 2）由（ 1）∠ OAB=∠ OBA=30176。 ∠ BOM=∠ COM=60176。，∠ AMB=30176。 ∴ AB=BM 在△ COM和△ BOM中 OC=OB ∠ COM=∠ BOM OM=OM ∴△ COM≌△ BOM（ SAS） ∴ CM=BM=AB ∴ AB∥ CM ∴ ABCD是菱形 6． (2022山西大同 一模） 問題情境： 如圖將邊長為 8cm的正方形紙片 ABCD 折疊，使點B 恰好落在 AD邊的中點 F處，折痕 EG 分別交 AB、 CD 于點 E、 G， FN與 DC交于點 M，連接 BF交 EG于點 P. 獨立思考： （ 1） AE=_______cm，△ FDM 的周長為 _____cm （ 2）猜想 EG與 BF之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系， 并證明你的結(jié)論 . 拓展延伸： 如圖 2，若點 F不是 AD的中點，且不與點 A、 D重合： ①△ FDM的周長是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論 . ②判斷（ 2）中的結(jié)論是否仍然成立，若不成立請直接寫出新的結(jié)論（不需證明） . 答案： （ 1） 3， 16 (2)EG⊥ BF, EG=BF 則 ∠ EGH+∠ GEB=90176。 090M B OC D C M A B? ? ?? ? ?Q又 MCO= 　 　 且 CD由折疊知，點 B、 F關(guān)于直線 GE所在直線對稱 ∴∠ FBE=∠ EGH ∵ ABCD是正方形 ∴ AB=BC ∠ C=∠ ABC=90176。 四邊形 GHBC是矩形，∴ GH=BC=AB ∴△ AFB全等△ HEG ∴ BF=EG (3)①△ FDM的周長不發(fā)生變化 由折疊知∠ EFM=∠ ABC=90176。 ∴∠ DFM+∠ AFE=90176。 ∵四邊形 ABCD為正方形，∠ A=∠ D=90176。 ∴∠ DFM+∠ DMF=90176。 ∴∠ AFE=∠ DMF ∴△ AEF∽△ DFM ∴ =FMDAEF FDAE的 周 長的 周 長VV 設(shè) AF為 x， FD=8x ∴ 23 2 2 2(8 )x A E A E? ? ? 26416xAE ?? ∴ 88 xx A E A E A EF M D ??? ? ?的 周 長 △ FMD的周長 = 22 2( 8 ) ( 8 ) 16( 64 ) 1616 6416x x xx x? ? ???? ? ∴△ FMD的周長不變 ②（ 2）中結(jié)論成立 7． (2022云南省曲靖市羅平縣二模 )在 △ ABC 中， D 是 BC 邊的中點， E、 F 分別在 AD及其延長線上， CE∥ BF，連接 BE、 CF． （ 1）求證： △ BDF≌△ CDE； （ 2）若 DE=BC，試判斷四邊 形 BFCE 是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論． 【考點】 矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）根據(jù)平行線得出 ∠ CED=∠ BFD，根據(jù) AAS 推出兩三角形全等即可； （ 2）根據(jù)全等得出 DE=DF，根據(jù) BD=DC 推出四邊形是平行四邊形，求出 ∠ BEC=90176。，根據(jù)矩形的判定推出即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵ CE∥ BF， ∴∠ CED=∠ BFD， ∵ D 是 BC 邊的中點， ∴ BD=DC， 在 △ BDF 和 △ CDE 中 ， ∴△ BDF≌△ CDE（ AAS）； （ 2）四邊形 BFCE 是矩形， 證明： ∵△ BDF≌△ CDE， ∴ DE=DF， ∵ BD=DC， ∴ 四邊形 BFCE 是平行四邊形， ∵ BD=CD， DE=BC， ∴ BD=DC=DE， ∴∠ BEC=90176。， ∴ 平行四邊形 BFCE 是矩形． 【點評】 本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，平行四邊形的判定的應(yīng)用，注意：有一個角是直角的平行四邊形是矩形． 8． (2022云南省一模 )如圖，在 △ ABC 中， DE 分別是 AB， AC 的中點， BE=2DE，延長DE 到點 F，使得 EF=BE，連 CF （ 1）求證：四邊形 BCFE 是菱形； （ 2）若 CE=6， ∠ BEF=120176。，求菱 形 BCFE 的面積． 【考點】 菱形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）從所給的條件可知， DE 是 △ ABC 中位線，所以 DE∥ BC 且 2DE=BC，所以BC 和 EF 平行且相等，所以四邊形 BCFE 是平行四邊形，又因為 BE=FE，所以是菱形； （ 2）由 ∠ BEF 是 120176。，可得 ∠ EBC 為 60176。，即可得 △