【正文】 廣東東莞 ∴∠ CAO=∠ AOD=30176。﹣ 230176。 由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)知： ∠ COA=∠ CAO=∠ B=30176。； ∵ OD=CD， ∴∠ COD=∠ OCD=60176。﹣ 30176。聯(lián)考） 如圖， △ OBD 中， OD=BD， △ OBD 繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到 △ OAC，此時 B， D， C 三點正好在一條直線上，且點 D 是 BC 的中點． （ 1）求 ∠ COD 度數(shù)； （ 2）求證：四邊形 ODAC 是菱形． 【考點】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；菱形的判定． 【分析】 （ 1）如圖，根據(jù)題意證明 △ OBC 為直角三角形，結(jié)合 OC= ，求出 ∠ B 即可解決問題． （ 2）首先證明 AC∥ OD，結(jié)合 AC=OD，判斷四邊形 ADOC 為平行四邊形，根據(jù)菱形的定義即可解決問題． 【解答】 解： （ 1）如圖，由題意得： OC=OD=BD； ∵ 點 D 是 BC 的中點， ∴ CD=BD， OD=BC， ∴△ OBC 為直角三角形，而 OC= ， ∴∠ B=30176。聯(lián)考） 在由 m n（ mn＞ 1）個小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對角線所穿過的小正方形個 數(shù) f， （ 1）當 m、 n 互質(zhì)（ m、 n 除 1 外無其他公因數(shù)）時，觀察下列圖形并完成下表： m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 3 4 7 猜想：當 m、 n 互質(zhì)時，在 mn 的矩形網(wǎng)格中，一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù) f 與 m、n 的關(guān)系式是 f=m+n﹣ 1 （不需要證明）； （ 2）當 m、 n 不互質(zhì)時，請畫圖驗證你猜想的關(guān)系式是否依然成立． 【考點】 作圖 —應(yīng)用與設(shè)計作圖；規(guī)律型：圖形的變化類． 【分析】 （ 1）通過觀察即可得出當 m、 n 互質(zhì)時，在 mn 的矩形網(wǎng)格中 ，一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù) f 與 m、 n 的關(guān)系式， （ 2）當 m、 n 不互質(zhì)時，畫出圖即可驗 證猜想的關(guān)系式不成立． 【解答】 解：（ 1）表格中分別填 6， 6 m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 6 3 4 7 6 f 與 m、 n 的關(guān)系式是： f=m+n﹣ 1． 故答案為： f=m+n﹣ 1． （ 2） m、 n 不互質(zhì)時，猜想的關(guān)系 式不一定成立，如下圖： ． 【點評】 此題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，關(guān)鍵是通過觀察表格，總結(jié)出一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù) f 與 m、 n 的關(guān) 系式，要注意 m、 n 互質(zhì)的條件． 21.（ 2022 在 Rt△ ADB 和 Rt△ ACB 中， ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ ACB， ∴ AD=BC， 又 ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴ AB≠CD， ∴ 四邊形 ABCD 是對等四邊形． （ 3）如圖 3，點 D 的位置如圖所示： ①若 CD=AB，此時點 D 在 D1 的位置， CD1=AB=13； ②若 AD=BC=11，此時點 D 在 D D3 的位置， AD2=AD3=BC=11， 過點 A 分別作 AE⊥ BC， AF⊥ PC，垂足為 E， F， 設(shè) BE=x， ∵ tan∠ PBC= ， ∴ AE= ， 在 Rt△ ABE 中， AE2+BE2=AB2，即 ，解得： x1=5， x2﹣ 5（舍去）， ∴ BE=5， AE=12， ∴ CE=BC﹣ BE=6， 由四邊形 AECF 為矩形，可得 AF=CE=6， CF=AE=12，在 Rt△ AFD2 中， ∴ ， ， 綜上所述， CD 的長度為 1 12﹣ 或 12+ ． 20.（ 2022一 模） （ 本題滿分 10 分）定義：數(shù)學(xué)活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一 組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形． 理解：（ 1）如圖 1，已知 A、 B、 C 在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點， AB、 BC 為邊的兩個對等四邊形 ABCD； （ 2）如圖 2，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， AB 是 ⊙ O 的直徑， AC=BD．求證：四邊形 ABCD是對等四邊形； （ 3）如圖 3，在 Rt△ PBC 中， ∠ PCB=90176。＝∠ PAF ∴△ KAP≌△ GAP ∴ KP=PG, ∴ KB＋ BP=DG＋ BP＝ PG 即， PG＝ PB＋ DG； （ 3）存在 . 如圖，在直線 AB 上取一點 M，使四邊形 DMPF 是平行四邊形， 則 MD∥ PF，且 MD＝ FP， 又∵ PF=AP， ∴ MD=AP ∵四邊形 ABCD 是正方形， ∴ AB=AD，∠ ABP=∠ DAM ∴△ ABP≌△ DAM ∴ AM＝ BP=2， ∴ BM＝ AB－ AM=5－ 2=3. ∴當 BM=3， BM+AM=AB 時，四邊形 DMPF 是平行四邊形． 19.（ 2022,AP=PF ∴∠ PAF＝∠ PFA＝ 45 186。 ∴∠ GCF＝∠ FCE （ 2） PG＝ PB＋ DG 證明：延長 PB 至 K，使 BK=DG, ∵四邊形 ABCD 是正方形 ∴ AB=AD, ∠ ABK＝ ADG=90186。－ 45186。. ∴∠ FCH＝ CFH＝ 45186。 ∵ AP⊥ PF, ∴∠ APB＋∠ FPH＝ 90186。一模） (本題 11 分）如 圖，在正方形 ABCD 中， AB=5， P 是 BC邊上任意一點， E 是 BC 延長 線上一點，連接 AP，作 PF⊥ AP，使 PF＝ PA，連接 CF， AF，AF 交 CD 邊于點 G，連接 PG． （ 1）求證：∠ GCF＝∠ FCE； （ 2）判斷線段 PG， PB 與 DG 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （ 3）若 BP＝ 2，在直線 AB 上是否存在一點 M，使四 邊形 DMPF 是平行四邊形，若存在，求出 BM 的 長度，若不存在，說明理由． 答案： （ 1）證明：過點 F 作 FH⊥ BE 于點 H， ∵四邊形 ABCD 是正方形， ∴∠ ABC＝∠ PHF＝∠ DCB＝ 90186。. ∴ EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD. ∴四邊形 AEFD 為平行四邊形 . 在 Rt△ ABE 中，根據(jù)勾股定理得： AE=2 2 2 2A B B E 3 4 5? ? ? ? ∵ AD=5, ∴ AD=AE. ∴ 四邊形 AEFD 為菱形 . （ 2）連結(jié) DE、 AF. 求出 DE=10. 求出 AF=310. 18.（ 2022黑龍江齊齊哈爾一模） 如圖，在 □ ABCD 中， E、 F 分別是邊 AB、 CD 的中點，BG∥ AC 交 DA 的延長線于點 G． （ 1）求證： △ ADF≌△ CBE； （ 2）若四邊形 AGBC 是矩形，判斷四邊形 AECF 是什么特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論． GF CEA BD 答案： （ 1）證明：∵ □ ABCD，∴ AD=CB，∠ D=∠ ABC， AB=CD， 又∵ E、 F 分別是邊 AB、 CD 的中點，∴ DF=BE，∴ △ ADF∽≌△ CBE； （ 2） 四邊形 AECF 為菱形；∵矩形 AGBC，∴∠ ACB=90176。 ∴∠ BAE=∠ CEF ∴ 在 △ AME 和 △ ECF 中， ， ∴△ AME≌△ ECF（ ASA）， ∴ AE=EF． 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，要注意題目之間的聯(lián)系，正確作出輔助線構(gòu)造全等的三角形是本題的關(guān)鍵． 16.（ 2022 ∴∠ AME=∠ ECF ∵∠ AEB+∠ BAE=90176。 ∵ CF 是外角平分線， ∴∠ DCF=45176。． ∴∠ AME=∠ ECF， ∴ 在 △ AME 和 △ ECF 中， ， ∴△ AME≌△ ECF， ∴ AE=EF； （ 3）在 AB 上取一點 M，使 AM=EC，連接 ME． ∴ BM=BE， ∴∠ BME=45176。﹣ 45176。 又 ∵∠ ECF=180176。 ∴∠ BAE=∠ FEG； （ 2）作 AB 的中點 M，連接 ME． ∵ 正方形 ABCD 中， AB=BC， 又 ∵ AM=MB= AB， BE=CE= BC， ∴ MB=BE， ∴△ ABE 是等腰直角三角形， ∴∠ BME=45176。 ∴∠ AEB+∠ FEG=90176。在直角 △ ABE 中，利用三角形內(nèi)角和定理得到 ∠ BAE+∠ AEB=90176。且 EF交正方形外角 ∠ DCG的平分線于點 F，求證： AE=EF． 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB 的中點 M，連接 ME，則 AM=EC，易證 △ AME≌△ ECF，所以 AE=EF．請借助圖 1 完成小明的證明； 在（ 2）的基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進一步的研究： （ 3）小聰提出：如圖 2，如果把 “點 E 是邊 BC 的中點 ”改為 “點 E 是邊 BC 上（除 B， C 外）的任意一點 ”，其它條件不變，那么結(jié)論 “AE=EF”仍然成立，你認為小聰?shù)挠^點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù) ∠ AEF=90176。 湖南省岳陽市十二校聯(lián)考 上海市閘北區(qū)一模） （ 7 分） 已知：如圖，正方形 ABCD 的邊長為 6， BM， DN 分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠ MAN=45176。 90D???， 由勾股定理，得 22(2 ) 1xx? ? ? ． 解得 54x?． ∴ 54AE?． 13.（ 20222D E x?? ． 在 Rt 39。CBE? ． ∴ 39。AED C BE? ? ? ， ∴ 39。BC AD? ． ∵ 39。AD AD? ， ∴ 39。39。 9 0AD BC D ABC? ? ? ? ? ?． ∵ 39。D 39。BC BC? ． （ 2）∵四邊形 ABCD 為矩形， FED CBA（第 11 題） AB CDB 39。AB CC? ． 由旋轉(zhuǎn)，得 39。AC ，如圖． ∵四邊形 ABCD為矩形， ∴∠ ABC= 90176。B 39。BC BC? ． （ 2）若 2AB? ， 1BC? ，求 AE 的長． ED 39。39。ABCD ，點 C 的對應(yīng)點 39。 39。吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬 )如圖，已知 △ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O，且 AB=AC，直徑 AD 交 BC于點 E， F 是 OE 上的一點，使 CF∥ BD． （ 1）求證： BE=CE； （ 2）試判斷四邊形 BFCD 的形狀，并說明理由； （ 3）若 BC=8， AD=10，求 CD 的長． 【考點】 垂徑定理；勾股定理；菱形的判定． 【分析】 （ 1）證明 △ ABD≌△ ACD，得到 ∠ BAD=∠ CAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明； （ 2）菱形 ，證明 △ BFE≌△ CDE，得到 BF=DC，可知四邊形 BFCD 是平行四邊形，易證BD=CD，可證明結(jié)論； （ 3）設(shè) DE=x，則根據(jù) CE2=DE?AE 列方程求出 DE，再用勾股定理求出 CD． 【解答】 （ 1）證明： ∵ AD 是直徑， ∴∠ ABD=∠ A CD=90176。 AB=CD， AD=BC， ∵ 點 E 是 AD 的中點，點 F 是 BC 的中點， ∴ DE= AD BF= BC， ∴ BF=DE， 在 △ ABF 和 △ CDE 中， ， ∴△ ABF≌△ CDE（ SAS）． 【點評】 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定；熟練掌握矩形的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定方法 SAS 是解決問題的關(guān)鍵． 10． (2022二模 )如圖 ，四邊形 ABCD 是矩形 ，點 E 是 AD 的中點，點 F 是 BC 的中點．求證： △ ABF≌△ CDE． 【考點】 矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定． 【專題】 證明題． 【分析】 由矩形的性質(zhì)得出 ∠ B=∠ D=90176。=6 =3 ， ∴ S 菱形 BCFE=BC?