【文章內容簡介】 矩形ABCD其他條件不變，若AB=m，BC=n，直接寫出的值．考點：正方形的性質；垂線；全等三角形的判定與性質．2097170分析：（1）過點P分別作AB、AD的垂線，垂足分別為G、H，有材料提供的證明思路可證明△PGE≌△PHF，再根據全等三角形的性質：對應邊相等可得：PE=PF；（2）有（1）證題思路可知方形ABCD改為矩形ABCD其他條件不變，則△PGE∽△PHF，再根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等可得：的比值．解答：解：（1）成立．證明如下：如圖，過點P分別作AB、AD的垂線，垂足分別為G、H，則∠GPH=90176。，PG=PH，∠PGE=∠PHF=90176。，∵∠EPF=90176。，∴∠1=∠2，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF；（2）．點評：本題是一個動態(tài)幾何題，考查了正方形性質、矩形的性質、全等三角形的判定以及性質，三角形相似的條件和性質及進行有條理的思考和表達能力，還考查按要求畫圖能力．　11．如圖，邊長一定的正方形ABCD，Q為CD上一個動點，AQ交BD于點M，過M作MN⊥AQ交BC于點N，作NP⊥BD于點P，連接NQ，下列結論：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④為定值．其中一定成立的是（　?。．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；確定圓的條件．2097170專題：動點型．分析：由題可知A，B，N，M四點共圓，進而可得出∠ANM=∠NAM=45176。，由等角對等邊知，AM=MN，故①正確；由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，所以Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出結論，故②正確；先由題意得出四邊形SMWB是正方形，進而證出△AMS≌△NMW，因為AS=NW，所以AB+BN=SB+BW=2BW，而BW：BM=1：，所以==，故③正確．因為∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45176。，在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ=90176。，BN=NU，DQ=UQ，即可得出結論，故④正確；解答：解：如圖：作AU⊥NQ于U，連接AN，AC，∵∠AMN=∠ABC=90176。，∴A，B，N，M四點共圓，∴∠NAM=∠DBC=45176。，∠ANM=∠ABD=45176。，∴∠ANM=∠NAM=45176。，∴由等角對等邊知，AM=MN，故①正確．由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，∴Rt△AHM≌Rt△MPN∴MP=AH=AC=BD，故②正確，如圖，作MS⊥AB，垂足為S，作MW⊥BC，垂足為W，點M是對角線BD上的點，∴四邊形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，∴△AMS≌△NMW，∴AS=NW，∴AB+BN=SB+BW=2BW，∵BW：BM=1：，∴==，故④正確．∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45176。，∴在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，∴△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ，BN=NU，DQ=UQ，∴點U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正確．故選D．點評：本題利用了正方形的性質，四點共圓的判定，圓周角定理，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質求解．　12．（1）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90176。，點D為BC邊上一點（與點B、C不重合），連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．可猜想線段CF，BD之間的數量關系是　相等　，位置關系是　垂直??；（2）當點D在線段BC的延長線時，如圖②，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，給出證明，如果不成立，說明理由．考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．2097170專題：幾何綜合題．分析：（1）可通過證明三角形ABD和三角形ACF全等來實現．因為AD=AF，AB=AC，只要證明∠BAD=∠CAF即可，∠BAD=90176。﹣∠DAC=∠FAC，這樣就構成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因為∠B+∠ACB=90176。，那么∠ACF+ACD=90176。，即FC⊥BC，也就是FC⊥BD．（2）當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結合∠BAC=90176。，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．解答：解：（1）CF與BD的數量關系是：CF=BD；位置關系是：CF⊥BD；故答案為：相等、垂直．（2）當點D在BC的延長線上時（1）中的結論仍成立．（5分）理由如下：由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90176。．∵∠BAC=90176。，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，（4分）∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．（6分）∵∠BAC=90176。，AB=AC，∴∠ABC=45176。，∴∠ACF=45176。，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90176。．即CF⊥BD．點評：本題中綜合考查了正方形的性質，全等三角形的判定等知識，關鍵是證明三角形全等，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．　13．已知點O為正方形ABCD的中心，M為射線OD上一動點（M與點O，D不重合），以線段AM為一邊作正方形AMEF，連接FD．（1）當點M在線段OD上時（如圖1），線段BM與DF有怎樣的數量及位置關系？請判斷并直接寫出結果；（2）當點M在線段OD的延長線上時（如圖2），（1）中的結論是否仍然成立？請結合圖2說明理由．考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質．2097170專題：證明題；探究型．分析：（1）根據正方形性質求出AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90176。，推出∠FAD=∠MAB，證△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45176。，求出∠ADB=45176。即可；（2）根據正方形性質求出AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90176。，推出∠FAD=∠MAB，證△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45176。，求出∠ADB=45176。即可．解答：解：（1）BM=DF，BM⊥DF理由是：∵四邊形ABCD、AMEF是正方形，∴AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90176。，∴∠FAM﹣∠DAM=∠DAB﹣∠DAM，即∠FAD=∠MAB，∵在△FAD和△MAB中，∴△FAD≌△MAB，∴BM=DF，∠FDA=∠ABD=45176。，∵∠ADB=45176。，∴∠FDB=45176。+45176。=90176。，∴BM⊥DF，即BM=DF，BM⊥DF．（2）解：成立，理由是：∵四邊形ABCD和AMEF均為正方形，∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90176。，∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM，即∠FAD=∠MAB，∵在△FAD和△MAB中，∴△FAD≌△MAB，∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45176。，∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90176。，即BM⊥DF，∴（1）中的結論仍成立．點評：本題考查了正方形的性質和全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出△FAD≌△MAB，本題具有一定的代表性，主要培養(yǎng)學生運用性質進行推理的能力和猜想能力．　14．以△ABC的各邊，在邊BC的同側分別作三個正方形．他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：（1）如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說明理由．（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？考點：正方形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定；矩形的判定．2097170分析：（1）根據全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的對應邊DE=AG．然后利用正方形對角線的性質、周角的定義推知∠EDA+∠DAG=180176。，易證ED∥GA；最后由“一組對邊平行且相等”的判定定理證得結論；（2）根據“矩形的內角都是直角”易證∠DAG=90176。．然后由周角的定義求得∠BAC=135176。；（3）由“正方形的內角都是直角，四條邊都相等”易證∠DAG=90176。，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性質證得，AC=AB．解答：解：（1）圖中四邊形ADEG是平行四邊形．理由如下：∵四邊形ABDI、四邊形BCFE、四邊形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90176。．∴∠ABC=∠EBD（同為∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的對角線，∴∠BDA=∠BAD=45176。．∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45176。，∠DAG=360176。﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360176。﹣90176。﹣∠BAC﹣45176。=225176。﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45176。+225176。﹣∠BAC=180176?！郉E∥AG，∴四邊形ADEG是平行四邊形（一組對邊平行且相等）．（2）當四邊形ADEG是矩形時，∠DAG=90176。．則∠BAC=360176。﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360176。﹣45176。﹣90176。﹣90176。=135176。，即當∠BAC=135176。時，平行四邊形ADEG是矩形；（3）當四邊形ADEG是正方形時，∠DAG=90176。，且AG=AD．由（2）知，當∠DAG=90176。時，∠BAC=135176。．∵四邊形ABDI是正方形，∴AD=AB．又∵四邊形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=AB．∴當∠BAC=135176。且AC=AB時，四邊形ABDI是正方形．點評：本題綜合考查了正方形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質等知識點．解題時，注意利用隱含在題干中的已知條件：周角是360176。．　15．在直角三角形ABC中，∠C=90176。，BC=2，以AB為邊作正方形ABDE，連接AD、BE交O，CO=，則AC的長為（　?。．2B．3C．4D．考點：全等三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的判定與性質．2097170專題：數形結合．分析：延長CB過點D作CB延長線的垂線，交點為F，過點O作OM⊥CF，先證明RT△ACB≌RT△BFD，然后分別表示出OM、CM的長度，在RT△OCM中利用勾股定理可得出答案．解答：解：延長CB過點D作CB延長線的垂線，交點為F，過點O作OM⊥CF，則可得OM是梯形ACFD的中位線，∵∠ABC+∠FBD=∠CAB+∠ABC=90176。，∴∠CAB=∠FBD，在RT△ACB和RT△BFD中，∵，∴RT△ACB≌RT△BFD，∴AC=BF，BC=DF，設AC=x，則OM==，CM==，在RT△OCM中，OM2+CM2=OC2，即2（）2=18，解得：x=4，即AC的長度為4．故選C．點評：此題考查了正方形的性質、勾股定理、梯形的中位線定理、全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是正確作出輔助線，構造全等三角形，難度較大．　16．如圖，已知正方形ABCD，點E是BC上一點，以AE為邊作正方形AEFG．（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；（2）連接FC，求證：∠FCN=45176。；（3）請問在AB邊上是否存在一點Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形？若存在，請證明；若不存在，請說明理由．考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定．2097170專題：證明題；開放型．分析：（1）根據同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根據“SAS”證得△ADG≌△ABE；（2）過F作BN的垂線，設垂足為H，首先證△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根據AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可得證．（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，首先證△DAQ、△ABE、△ADG三個三角形全等，易證得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得證．解答：證明：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴DA=BA，EA=GA，∴∠BAD=∠EAG=90176。，∴∠DAG=∠BAE，∴△ADG≌△ABE；（2）過F作BN的垂線，設垂足為H，∵∠BAE+∠AEB=90176。，∠FEH+∠AEB=90176。，∴∠BAE=∠HEF，∵AE=EF，∴△ABE≌△EHF，∴AB=EH，BE=FH，∴AB=BC=EH，∴BE+EC=EC+CH，∴CH=BE=FH，∴∠FCN=45176。；（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，∵AB=AD，∴△DAQ≌△ABE，∵△ABE≌△EHF，∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，∴∠GAD=∠ADQ，∴AG、QD平行且相等，又∵AG、EF平行且相等，∴QD、EF平行且相等，∴四邊形DQEF是平行四邊形．∴在AB邊上存在一點Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形．點評：考查全等三角形